Solutions exactes en relativité générale - Exact solutions in general relativity

En relativité générale , une solution exacte est une solution des équations de champ d'Einstein dont la dérivation n'invoque pas d'hypothèses simplificatrices, bien que le point de départ de cette dérivation puisse être un cas idéalisé comme une forme parfaitement sphérique de la matière. Mathématiquement, trouver une solution exacte signifie trouver une variété lorentzienne équipée de champs de tenseurs modélisant des états de la matière ordinaire, comme un fluide , ou des champs non gravitationnels classiques comme le champ électromagnétique .

Contexte et définition

Ces champs tenseurs doivent obéir à toutes les lois physiques pertinentes (par exemple, tout champ électromagnétique doit satisfaire les équations de Maxwell ). Suivant une recette standard largement utilisée en physique mathématique , ces champs de tenseurs devraient également donner lieu à des contributions spécifiques au tenseur contrainte-énergie . (Un champ est décrit par un Lagrangien , variant par rapport au champ devrait donner les équations de champ et variant par rapport à la métrique devrait donner la contribution d'énergie de contrainte due au champ.) $T^{\alpha \beta }$

Enfin, lorsque toutes les contributions au tenseur contrainte-énergie sont additionnées, le résultat doit être une solution des équations du champ d'Einstein (écrites ici en unités géométrisées , où la vitesse de la lumière c = Constante de gravitation G = 1)

G^{\alpha \beta }=8\pi \,T^{\alpha \beta }.

Dans les équations de champ ci-dessus, est le tenseur d'Einstein , calculé uniquement à partir du tenseur métrique qui fait partie de la définition d'une variété lorentzienne. Puisque donner le tenseur d'Einstein ne détermine pas complètement le tenseur de Riemann , mais laisse le tenseur de Weyl non spécifié (voir la décomposition de Ricci ), l'équation d'Einstein peut être considérée comme une sorte de condition de compatibilité : la géométrie de l'espace-temps doit être cohérente avec la quantité et le mouvement de toute matière ou champs non gravitationnels, dans le sens où la présence immédiate "ici et maintenant" d'énergie-impulsion non gravitationnelle provoque une quantité proportionnelle de courbure de Ricci "ici et maintenant". De plus, en prenant des dérivées covariantes des équations de champ et en appliquant les identités de Bianchi , on constate qu'une quantité/mouvement convenablement variable d'énergie non gravitationnelle peut provoquer la propagation d'ondulations de courbure sous forme de rayonnement gravitationnel , même à travers les régions du vide , qui contiennent sans matière ou champs non gravitationnels. $G^{\alpha \beta }$

Difficultés avec la définition

Toute variété lorentzienne est une solution de l' équation du champ d'Einstein pour un membre de droite. Ceci est illustré par la procédure suivante :

prendre n'importe quelle variété lorentzienne , calculer son tenseur d' Einstein , ce qui est une opération purement mathématique $G^{\alpha \beta }$
diviser par ${\style d'affichage 8\pi }$
déclarer le champ de tenseur symétrique résultant de second rang comme étant le tenseur contrainte-énergie . $T^{\alpha \beta }$

Cela montre qu'il existe deux manières complémentaires d'utiliser la relativité générale :

On peut fixer la forme du tenseur contrainte-énergie (pour des raisons physiques, disons) et étudier les solutions des équations d'Einstein avec un tel membre de droite (par exemple, si le tenseur contrainte-énergie est choisi pour être celui du parfait fluide, une solution à symétrie sphérique peut servir de modèle stellaire )
Alternativement, on peut fixer certaines propriétés géométriques d'un espace-temps et rechercher une source de matière qui pourrait fournir ces propriétés. C'est ce que font les cosmologistes depuis les années 2000 : ils supposent que l'Univers est homogène, isotrope, et en accélération et tentent de se rendre compte de ce que la matière (appelée énergie noire ) peut supporter une telle structure.

Dans la première approche, le prétendu tenseur contrainte-énergie doit provenir de la manière standard d'une distribution de matière "raisonnable" ou d'un champ non gravitationnel. En pratique, cette notion est assez claire, surtout si l'on restreint les champs non gravitationnels admissibles au seul connu en 1916, le champ électromagnétique . Mais idéalement, nous aimerions avoir une caractérisation mathématique qui énonce un test purement mathématique que nous pouvons appliquer à n'importe quel "tenseur énergie-contrainte" putatif, qui passe tout ce qui pourrait résulter d'un scénario physique "raisonnable", et rejette tout le reste. Malheureusement, une telle caractérisation n'est pas connue. Au lieu de cela, nous avons des tests bruts connus sous le nom de conditions d'énergie , qui sont similaires à l'imposition de restrictions sur les valeurs propres et les vecteurs propres d'un opérateur linéaire . D'une part, ces conditions sont beaucoup trop permissives : elles admettraient des « solutions » que presque personne ne croit physiquement raisonnables. D'autre part, elles peuvent être beaucoup trop restrictives : les conditions énergétiques les plus populaires sont apparemment violées par l' effet Casimir .

Einstein a également reconnu un autre élément de la définition d'une solution exacte : il devrait s'agir d'une variété lorentzienne (répondant à des critères supplémentaires), c'est-à-dire une variété lisse . Mais en travaillant avec la relativité générale, il s'avère très utile d'admettre des solutions qui ne sont pas partout lisses ; les exemples incluent de nombreuses solutions créées en faisant correspondre une solution intérieure fluide parfaite à une solution extérieure sous vide et des ondes planes impulsives. Une fois de plus, la tension créative entre l'élégance et la commodité, respectivement, s'est avérée difficile à résoudre de manière satisfaisante.

En plus de ces objections locales , nous avons le problème beaucoup plus difficile qu'il existe de très nombreuses solutions exactes qui sont localement irréprochables, mais présentent globalement des caractéristiques causalement suspectes telles que des courbes ou des structures temporelles fermées avec des points de séparation (« mondes de pantalons »). Certaines des solutions exactes les plus connues ont en effet globalement un caractère étrange.

Types de solution exacte

De nombreuses solutions exactes bien connues appartiennent à l'un de plusieurs types, en fonction de l'interprétation physique envisagée du tenseur contrainte-énergie :

Solutions de vide : ; ceux-ci décrivent des régions dans lesquelles aucun champ de matière ou non gravitationnel n'est présent, $T^{\alpha \beta }=0$
Solutions d'électrovide : doivent provenir entièrement d'un champ électromagnétique qui résout les équations de Maxwell sans source sur la variété lorentzienne courbe donnée ; cela signifie que la seule source du champ gravitationnel est l'énergie de champ (et la quantité de mouvement) du champ électromagnétique, $T^{\alpha \beta }$
Les solutions de poussières nulles : doivent correspondre à un tenseur contrainte-énergie qui peut être interprété comme résultant d'un rayonnement électromagnétique incohérent, sans nécessairement résoudre les équations du champ de Maxwell sur la variété lorentzienne donnée, $T^{\alpha \beta }$
Solutions fluides : doivent provenir entièrement du tenseur contrainte-énergie d'un fluide (souvent considéré comme un fluide parfait ) ; la seule source du champ gravitationnel est l'énergie, la quantité de mouvement et la contrainte (pression et cisaillement) de la matière constituant le fluide. $T^{\alpha \beta }$

En plus de phénomènes aussi bien établis que les fluides ou les ondes électromagnétiques, on peut envisager des modèles dans lesquels le champ gravitationnel est entièrement produit par l'énergie de champ de divers champs hypothétiques exotiques :

Solutions de champ scalaire : doivent provenir entièrement d'un champ scalaire (souvent un champ scalaire sans masse) ; ceux-ci peuvent survenir dans les traitements classiques de la théorie des champs des faisceaux de mésons , ou comme quintessence , $T^{\alpha \beta }$
Solutions lambdavacuum (pas un terme standard, mais un concept standard pour lequel aucun nom n'existe encore) : découle entièrement d'une constante cosmologique non nulle . $T^{\alpha \beta }$

Une possibilité qui a reçu peu d'attention (peut-être parce que les mathématiques sont si difficiles) est le problème de la modélisation d'un solide élastique . Actuellement, il semble qu'aucune solution exacte pour ce type spécifique ne soit connue.

Ci-dessous, nous avons esquissé une classification par interprétation physique. Des solutions peuvent également être organisées en utilisant la classification de Segre des symétries algébriques possibles du tenseur de Ricci :

les électrovides non nuls sont de type Segre et de groupe d'isotropie SO(1,1) x SO(2), ${\style d'affichage \{\,(1,1)(11)\}}$
les électrovides nuls et les poussières nulles sont de type Segre et de groupe d'isotropie E(2), ${\style d'affichage \{\,(2,11)\}}$
les fluides parfaits sont de type Segre et de groupe d'isotropie SO(3), ${\style d'affichage \{\,1,(111)\}}$
Les aspirateurs lambda ont le type Segre et le groupe d'isotropie SO(1,3). ${\style d'affichage \{\,(1,111)\}}$

Les autres types de Segre n'ont pas d'interprétation physique particulière et la plupart d'entre eux ne peuvent correspondre à aucun type connu de contribution au tenseur contrainte-énergie.

Exemples

Des exemples notables de solutions sous vide, de solutions sous vide électrique, etc., sont répertoriés dans des articles spécialisés (voir ci-dessous). Ces solutions contiennent au plus une contribution au tenseur énergie-impulsion , due à un type spécifique de matière ou de champ. Cependant, il existe des solutions exactes notables qui contiennent deux ou trois contributions, notamment :

La solution NUT-Kerr–Newman–de Sitter contient des contributions d'un champ électromagnétique et d'une énergie positive du vide, ainsi qu'une sorte de perturbation du vide de Kerr qui est spécifiée par le paramètre dit NUT,
La poussière de Gödel contient des contributions d'un fluide parfait sans pression (poussière) et d'une énergie positive du vide.

Construire des solutions

Les équations de champ d'Einstein sont un système d' équations aux dérivées partielles non linéaires couplées . En général, cela les rend difficiles à résoudre. Néanmoins, plusieurs techniques efficaces pour obtenir des solutions exactes ont été établies.

Le plus simple consiste à imposer des conditions de symétrie sur le tenseur métrique , telles que la stationnarité (symétrie sous translation temporelle ) ou l'axisymétrie (symétrie sous rotation autour d'un axe de symétrie ). Avec les hypothèses suffisamment habiles de ce genre, il est souvent possible de réduire l'équation de champ Einstein à un système beaucoup plus simple d'équations, même une seule équation différentielle partielle (comme cela se produit dans le cas des solutions stationnaires à vide axisymétrique, qui sont caractérisés par le Ernst équation ) ou un système d' équations différentielles ordinaires (comme cela se produit dans le cas du vide de Schwarzschild ).

Cette approche naïve fonctionne généralement mieux si l'on utilise un champ de trame plutôt qu'une base de coordonnées.

Une idée connexe implique d' imposer des conditions de symétrie algébriques du tenseur Weyl , tenseur de Ricci , ou tenseur de Riemann . Ceux-ci sont souvent énoncés en termes de classification de Petrov des symétries possibles du tenseur de Weyl, ou de la classification de Segre des symétries possibles du tenseur de Ricci. Comme il ressort de la discussion ci-dessus, ces Ansätze ont souvent un certain contenu physique, bien que cela puisse ne pas être apparent à partir de leur forme mathématique.

Ce deuxième type d'approche de symétrie a souvent été utilisé avec le formalisme de Newman-Penrose , qui utilise des quantités spinorielles pour une comptabilité plus efficace.

Même après de telles réductions de symétrie, le système d'équations réduit est souvent difficile à résoudre. Par exemple, l'équation d'Ernst est une équation différentielle partielle non linéaire ressemblant quelque peu à l' équation de Schrödinger non linéaire (NLS).

Mais rappelons que le groupe conforme sur l'espace - temps de Minkowski est le groupe de symétrie des équations de Maxwell . Rappelons également que les solutions de l' équation de la chaleur peuvent être trouvées en supposant une échelle Ansatz . Ces notions ne sont que des cas particuliers de la notion de Sophus Lie de la symétrie ponctuelle d'une équation différentielle (ou système d'équations), et comme Lie l'a montré, cela peut fournir une voie d'attaque sur toute équation différentielle qui a un groupe de symétrie non trivial. En effet, l'équation d'Ernst et la NLS ont des groupes de symétrie non triviaux, et certaines solutions peuvent être trouvées en tirant parti de leurs symétries. Ces groupes de symétrie sont souvent de dimension infinie, mais ce n'est pas toujours une fonctionnalité utile.

Emmy Noether a montré qu'une généralisation légère mais profonde de la notion de symétrie de Lie peut entraîner une méthode d'attaque encore plus puissante. Ceci s'avère être étroitement lié à la découverte que certaines équations, qui sont dites complètement intégrables , bénéficient d'une séquence infinie de lois de conservation . De manière assez remarquable, l'équation d'Ernst (qui se pose de plusieurs manières dans les études de solutions exactes) et la NLS s'avèrent parfaitement intégrables. Ils sont donc susceptibles d'être résolus par des techniques ressemblant à la transformée de diffusion inverse qui a été développée à l'origine pour résoudre l' équation de Korteweg-de Vries (KdV) , une équation aux dérivées partielles non linéaire qui apparaît dans la théorie des solitons , et qui est également complètement intégrable. Malheureusement, les solutions obtenues par ces méthodes ne sont souvent pas aussi belles qu'on le souhaiterait. Par exemple, d'une manière analogue à la façon dont on obtient une solution de solitons multiples du KdV à partir de la solution de solitons unique (qui peut être trouvée à partir de la notion de symétrie ponctuelle de Lie), on peut obtenir une solution d'objets Kerr multiples, mais malheureusement, cela a certaines caractéristiques qui le rendent physiquement invraisemblable.

Il existe également diverses transformations (voir transformée de Belinski-Zakharov ) qui peuvent transformer (par exemple) une solution sous vide trouvée par d'autres moyens en une nouvelle solution sous vide, ou en une solution électrovide, ou une solution fluide. Celles-ci sont analogues aux transformations de Bäcklund connues de la théorie de certaines équations aux dérivées partielles , y compris quelques exemples célèbres d' équations solitons . Ce n'est pas un hasard, puisque ce phénomène est également lié aux notions de Noether et Lie concernant la symétrie. Malheureusement, même lorsqu'elles sont appliquées à une solution "bien comprise", globalement admissible, ces transformations conduisent souvent à une solution mal comprise et leur interprétation générale est encore inconnue.

Existence de solutions

Étant donné la difficulté de construire de petites familles explicites de solutions, et encore moins de présenter quelque chose comme une solution « générale » de l'équation du champ d'Einstein, ou même une solution « générale » de l' équation du champ du vide , une approche très raisonnable consiste à essayer de trouver des solutions qualitatives. propriétés valables pour toutes les solutions, ou au moins pour toutes les solutions sous vide . L'une des questions les plus fondamentales que l'on puisse se poser est : existe-t-il des solutions, et si oui, combien ?

Pour commencer, nous devrions adopter une formulation de valeur initiale appropriée de l'équation de champ, qui donne deux nouveaux systèmes d'équations, l'un donnant une contrainte sur les données initiales et l'autre donnant une procédure pour faire évoluer ces données initiales en une solution. Ensuite, on peut prouver que des solutions existent au moins localement , en utilisant des idées pas très différentes de celles rencontrées dans l'étude d'autres équations différentielles.

Pour avoir une idée du "combien" de solutions auxquelles nous pouvons nous attendre avec optimisme, nous pouvons faire appel à la méthode de comptage des contraintes d'Einstein . Une conclusion typique de ce style d'argument est qu'une solution de vide générique à l'équation du champ d'Einstein peut être spécifiée en donnant quatre fonctions arbitraires de trois variables et six fonctions arbitraires de deux variables. Ces fonctions spécifient les données initiales, à partir desquelles une solution de vide unique peut être élaborée . (En revanche, les vides d'Ernst, la famille de toutes les solutions stationnaires de vide axisymétrique, sont spécifiés en donnant juste deux fonctions de deux variables, qui ne sont même pas arbitraires, mais doivent satisfaire un système de deux équations aux dérivées partielles non linéaires couplées. Cela peut donner une idée de la petite taille d'une "grande" famille typique de solutions exactes, dans le grand schéma des choses.)

Cependant, cette analyse grossière est loin de répondre à la question beaucoup plus difficile de l'existence globale de solutions. Les résultats d'existence globale qui sont connus jusqu'à présent s'avèrent impliquer une autre idée.

Théorèmes de stabilité globale

Nous pouvons imaginer "perturber" le champ gravitationnel à l'extérieur d'un objet massif isolé en "envoyant un rayonnement de l'infini". On peut se demander : que se passe-t-il lorsque le rayonnement entrant interagit avec le champ ambiant ? Dans l'approche de la théorie des perturbations classique , nous pouvons commencer par le vide de Minkowski (ou une autre solution très simple, telle que le lambdavacuum de Sitter), introduire de très petites perturbations métriques et ne retenir que les termes jusqu'à un certain ordre dans un développement de perturbation approprié—un peu comme évaluer une sorte de série de Taylor pour la géométrie de notre espace-temps. Cette approche est essentiellement l'idée derrière les approximations post-newtoniennes utilisées dans la construction de modèles d'un système gravitationnel tel qu'un pulsar binaire . Cependant, les développements de perturbations ne sont généralement pas fiables pour les questions d'existence et de stabilité à long terme, dans le cas des équations non linéaires.

L'équation de champ complet est hautement non linéaire, nous voulons donc vraiment prouver que le vide de Minkowski est stable sous de petites perturbations qui sont traitées en utilisant l'équation de champ totalement non linéaire. Cela nécessite l'introduction de nombreuses idées nouvelles. Le résultat souhaité, parfois exprimé par le slogan que le vide de Minkowski est non linéairement stable, n'a finalement été prouvé par Demetrios Christodoulou et Sergiu Klainerman qu'en 1993. Des résultats analogues sont connus pour les perturbations lambdavac du lambdavacuum de Sitter ( Helmut Friedrich ) et pour les perturbations électrovide du vide Minkowski ( Nina Zipser ). En revanche, l' espace - temps anti-de Sitter est connu pour être instable dans certaines conditions.

Le théorème de l'énergie positive

Un autre problème qui pourrait nous inquiéter est de savoir si la masse-énergie nette d'une concentration isolée de densité masse-énergie positive (et de quantité de mouvement) donne toujours une masse nette bien définie (et non négative). Ce résultat, connu sous le nom de théorème de l'énergie positive, a finalement été prouvé par Richard Schoen et Shing-Tung Yau en 1979, qui ont fait une hypothèse technique supplémentaire sur la nature du tenseur énergie-contrainte. La preuve originale est très difficile ; Edward Witten a bientôt présenté une "preuve de physicien" beaucoup plus courte, qui a été justifiée par des mathématiciens, en utilisant d'autres arguments très difficiles. Roger Penrose et d'autres ont également proposé des arguments alternatifs pour des variantes du théorème original de l'énergie positive.

Voir également

Métrique de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker
Classification de Petrov , pour les symétries algébriques du tenseur de Weyl

Les références

Lectures complémentaires

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Rendall, Alan M. "Théorèmes d'existence locale et globale pour les équations d'Einstein" . Critiques vivantes en relativité . Récupéré le 11 août 2005 . Un article de synthèse complet et à jour.
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