La règle d'or de Fermi - Fermi's golden rule

En physique quantique , la règle d'or de Fermi est une formule qui décrit le taux de transition (la probabilité d'une transition par unité de temps) d'un état propre d' énergie d'un système quantique à un groupe d'états propres d'énergie dans un continuum, à la suite d'une faible perturbation . Ce taux de transition est effectivement indépendant du temps (tant que la force de la perturbation est indépendante du temps) et est proportionnel à la force du couplage entre les états initial et final du système (décrit par le carré de l' élément de matrice de la perturbation) ainsi que la densité d'états. Elle est également applicable lorsque l'état final est discret, c'est-à-dire qu'il ne fait pas partie d'un continu, s'il y a une certaine décohérence dans le processus, comme la relaxation ou la collision des atomes, ou comme le bruit dans la perturbation, auquel cas la densité de états est remplacé par l'inverse de la bande passante de décohérence.

Général

Bien que nommé d'après Enrico Fermi , la plupart des travaux menant à la "règle d'or" sont dus à Paul Dirac , qui a formulé 20 ans plus tôt une équation pratiquement identique, comprenant les trois composantes d'une constante, l'élément matriciel de la perturbation et une énergie différence. On lui a donné ce nom car, en raison de son importance, Fermi l'appelait "règle d'or n°2".

La plupart des utilisations du terme règle d'or de Fermi font référence à la « règle d'or n° 2 », cependant, la « règle d'or n° 1 » de Fermi est d'une forme similaire et considère la probabilité de transitions indirectes par unité de temps.

Le taux et sa dérivation

La règle d'or de Fermi décrit un système qui commence dans un état propre d'un hamiltonien $H$ ₀ non perturbé et considère l'effet d'un hamiltonien perturbateur $H'$ appliqué au système. Si $H'$ est indépendant du temps, le système ne passe que dans les états du continuum qui ont la même énergie que l'état initial. Si $H »$ oscille de façon sinusoïdale en fonction du temps (il est une perturbation harmonique) avec une fréquence angulaire $ω$ , la transition est dans des états avec des énergies qui diffèrent par $ħω$ de l'énergie de l'état initial. $|i\rangle$

Dans les deux cas, la probabilité de transition par unité de temps de l'état initial à un ensemble d'états finaux est essentiellement constante. Elle est donnée, au premier ordre, par $|i\rangle$ $|f\rangle$

\Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle f|H'|i\rangle \right|^{2}\rho (E_ {F}),

où est l' élément de matrice (en notation bra-ket ) de la perturbation $H'$ entre les états final et initial, et est la densité d'états (nombre d'états continus divisé par dans l'intervalle d'énergie infiniment petit à ) à l'énergie du états finaux. Cette probabilité de transition est également appelée "probabilité de décroissance" et est liée à l'inverse de la durée de vie moyenne . Ainsi, la probabilité de trouver le système en état est proportionnelle à . $\langle f|H'|i\rangle$ ${\style d'affichage \rho (E_{f})}$ ${\style d'affichage dE}$ ${\style d'affichage E}$ ${\style d'affichage E+dE}$ ${\style d'affichage E_{f}}$ $|f\rangle$ $e^{-\Gamma _{i\to f}t}$

La façon standard de dériver l'équation est de commencer par la théorie des perturbations dépendantes du temps et de prendre la limite d'absorption en supposant que le temps de la mesure est beaucoup plus grand que le temps nécessaire pour la transition.

Dérivation dans la théorie des perturbations dépendantes du temps

Énoncé du problème

La règle d'or est une conséquence directe de l' équation de Schrödinger , résolue à l'ordre le plus bas dans la perturbation $H'$ de l'hamiltonien. L'hamiltonien total est la somme d'un hamiltonien « original » $H 0$ et d'une perturbation : . Dans l' image d'interaction , nous pouvons étendre l'évolution temporelle d'un état quantique arbitraire en termes d'états propres d'énergie du système non perturbé , avec . $H=H_{0}+H'(t)$ ${\style d'affichage |n\rangle }$ $H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle$

Spectre discret d'états finaux

Nous considérons d'abord le cas où les états finaux sont discrets. Le développement d'un état dans le système perturbé à un instant $t$ est . Les coefficients $a$ $n$ $($ $t$ $)$ sont encore des fonctions inconnues du temps donnant les amplitudes de probabilité dans l' image de Dirac . Cet état obéit à l'équation de Schrödinger dépendante du temps : $|\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle$

H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle .

En développant l'hamiltonien et l'état, on voit que, au premier ordre,

$\left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t) |n\rangle e^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,$ où $E n$ et $| n ⟩$ sont les valeurs propres et fonctions propres stationnaires de $H$ ₀ .

Cette équation peut être réécrite comme un système d'équations différentielles spécifiant l'évolution temporelle des coefficients : ${\style d'affichage a_{n}(t)}$

\mathrm {i} \hbar {\frac {da_{k}(t)}{dt}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t) e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.

Cette équation est exacte, mais ne peut normalement pas être résolue dans la pratique.

Pour une perturbation constante faible $H'$ qui s'active à $t$ = 0, nous pouvons utiliser la théorie des perturbations. A savoir, si , il est évident que , qui dit simplement que le système reste dans l'état initial . ${\style d'affichage H'=0}$ $a_{n}(t)=\delta _{n,i}$ ${\style d'affichage i}$

Pour les états , devient non nul en raison de , et ceux-ci sont supposés petits en raison de la faible perturbation. Le coefficient qui est l'unité à l'état non perturbé, aura une faible contribution de . Par conséquent, on peut brancher la forme d'ordre zéro dans l'équation ci-dessus pour obtenir la première correction pour les amplitudes : ${\style d'affichage k\neq i}$ $a_{k}(t)$ $H'\neq 0$ ${\style d'affichage a_{i}(t)}$ ${\style d'affichage H'}$ $a_{n}(t)=\delta _{n,i}$ $a_{k}(t)$

\mathrm {i} \hbar {\frac {da_{k}(t)}{dt}}=\langle k|H'|i\rangle e^{\mathrm {i} t(E_{k }-E_{i})/\hbar },

dont l'intégrale peut être exprimée par

\mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=\int \langle k|H'|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{ki}t}dt

avec , pour un état avec $a$ $i$ $(0)$ = 1, $a$ $k$ $(0)$ = 0, transition vers un état avec $a$ $k$ $($ $t$ $)$ . $\omega _{ki}\equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar$

La probabilité de transition de l'état initial (ith) à l'état final (fth) est donnée par

w_{fi}=|a_{f}(t)|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int \langle f|H'|i \rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t}dt\right|^{2}

Il est important d'étudier une perturbation périodique avec une fréquence donnée car des perturbations arbitraires peuvent être construites à partir de perturbations périodiques de différentes fréquences. Puisque doit être hermitien, nous devons supposer , où est un opérateur indépendant du temps. La solution pour ce cas est $\omega$ ${\style d'affichage H'(t)}$ $H'(t)=Fe^{-\mathrm {i} \omega t}+F^{\dagger }e^{\mathrm {i} \omega t}$ ${\style d'affichage F}$

a_{f}(t)=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}-\langle f|F^{\dagger }|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}+\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}+\omega )}}.

Cette expression n'est valide que lorsque les dénominateurs de l'expression ci-dessus sont non nuls, c'est-à-dire que pour un état initial donné avec énergie , l'énergie de l'état final doit être telle que Non seulement les dénominateurs doivent être non nuls, mais aussi ne doivent pas être petit car est censé être petit. ${\style d'affichage E_{i}}$ $E_{f}-E_{i}\neq \pm \hbar \omega .$ ${\style d'affichage a_{f}}$

Spectre continu d'états finaux

Puisque le spectre continu se situe au-dessus du spectre discret, et il ressort clairement de la section précédente, un rôle majeur est joué par les énergies situées près de l'énergie de résonance , c'est-à-dire quand . Dans ce cas, il suffit de ne garder que le premier terme pour . En supposant que les perturbations soient activées à partir du temps , nous avons alors ${\style d'affichage E_{f}-E_{i}>0}$ ${\style d'affichage E_{f}}$ $E_{i}+\hbar \omega$ $\omega _{fi}\approx \omega$ ${\style d'affichage a_{f}(t)}$ ${\style d'affichage t=0}$

a_{f}(t)=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\int _{0}^{t}\langle f|H'|i\rangle e^{ \mathrm {i} \omega _{fi}t}dt=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t} -1}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}

Le module au carré de est ${\style d'affichage a_{f}}$

|a_{f}|^{2}=4|\langle f|F|i\rangle |^{2}{\frac {\sin ^{2}(\omega _{fi}-\omega )t/2}{\hbar ^{2}(\omega _{fi}-\omega )^{2}}}

Pour les grands , cela réduira à ${\style d'affichage t}$

|a_{f}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|F|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}- E_{i}-\hbar \omega )t,

une dépendance linéaire sur . ${\style d'affichage t}$

La probabilité de transition du ième état aux états finaux compris dans un intervalle (densité d'états dans un élément infinitésimal autour de ) est . La probabilité de transition par unité de temps est donc donnée par ${\style d'affichage d\nu _{f}}$ ${\style d'affichage E_{f}}$ $dw_{fi}=|a_{f}|^{2}d\nu _{f}$

{\frac {dw_{fi}}{t}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|F|i\rangle |^{2}\delta (E_{ f}-E_{i}-\hbar \omega )d\nu _{f}.

La dépendance temporelle a disparu et le taux de décroissance constant de la règle d'or suit. En tant que constante, elle sous-tend les lois de décroissance exponentielle des particules de la radioactivité. (Pour des durées excessivement longues, cependant, la croissance séculaire de l' $un k (t)$ termes Invalide ordre le plus bas théorie des perturbations, ce qui nécessite $un k « un i$ .)

Seule la grandeur de l'élément matriciel entre dans la règle d'or de Fermi. La phase de cet élément de matrice, cependant, contient des informations distinctes sur le processus de transition. Il apparaît dans des expressions qui complètent la règle d'or de l' approche semi-classique de l' équation de Boltzmann pour le transport des électrons. $\langle f|H'|i\rangle$

Alors que la règle d'or est communément énoncée et dérivée dans les termes ci-dessus, la fonction d'onde de l'état final (continuum) est souvent assez vaguement décrite et n'est pas correctement normalisée (et la normalisation est utilisée dans la dérivation). Le problème est que pour produire un continu, il ne peut y avoir de confinement spatial (ce qui discrétiserait nécessairement le spectre), et donc les fonctions d'onde du continu doivent avoir une étendue infinie, ce qui signifie à son tour que la normalisation est infinie, pas l'unité. Si les interactions dépendent de l'énergie de l'état du continu, mais pas d'autres nombres quantiques, il est habituel de normaliser les fonctions d'onde du continu avec l'énergie étiquetée , en écrivant où est la fonction delta de Dirac , et effectivement un facteur de la racine carrée de la densité d'états est inclus dans . Dans ce cas, la fonction d'onde continue a des dimensions de [énergie], et la règle d'or est maintenant $\langle f|f\rangle =\int d^{3}r|f(\mathbf {r} )|^{2}$ ${\style d'affichage \epsilon }$ $|\epsilon \rangle$ $\langle \epsilon |\epsilon '\rangle =\delta (\epsilon -\epsilon ')$ ${\style d'affichage \delta }$ $|\epsilon _{i}\rangle$ $1/\surd$

\Gamma _{i\to \epsilon _{i}}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle \epsilon _{i}|H'|i\rangle |^{ 2}.

où fait référence à l'état continu avec la même énergie que l'état discret . Par exemple, des fonctions d'onde continue correctement normalisées pour le cas d'un électron libre à proximité d'un atome d'hydrogène sont disponibles dans Bethe et Salpeter. $\epsilon _{i}$ ${\style d'affichage i}$

Dérivation normalisée dans la théorie des perturbations dépendantes du temps

Ce qui suit paraphrase le traitement de Cohen-Tannoudji. Comme précédemment, l'hamiltonien total est la somme d'un hamiltonien « original » $H 0$ et d'une perturbation : . Nous pouvons encore étendre l'évolution temporelle d'un état quantique arbitraire en termes d'états propres d'énergie du système non perturbé, mais ceux-ci se composent maintenant d'états discrets et d'états continus. Nous supposons que les interactions dépendent de l'énergie de l'état continu, mais pas d'autres nombres quantiques. L'expansion dans les états concernés dans l' image de Dirac est ${\style d'affichage H=H_{0}+H'}$

|\psi (t)\rangle =a_{i}e^{-\mathrm {i} \omega _{i}t}|i\rangle +\int _{C}d\epsilon a_{\ epsilon }e^{-\mathrm {i} \omega t}|\epsilon \rangle .

où et sont les énergies des états . L'intégrale est sur le continu , c'est -à- dire dans le continu. $\omega _{i}=\epsilon _{i}/\hbar ,\omega =\epsilon /\hbar$ $\epsilon _{i},\epsilon$ $|i\rangle ,|\epsilon \rangle$ $\epsilon \in C$ $|\epsilon \rangle$

Substitution dans l' équation de Schrödinger dépendante du temps

H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle

et prémultipliant par produit $\langle i|$

{\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \int _{C}d\epsilon \Omega _{i\epsilon }e^{-\mathrm { i} (\omega -\omega _{i})t}a_{\epsilon }(t),

où , et en prémultipliant par produit $\Omega _{i\epsilon }=\langle i|H'|\epsilon \rangle /\hbar$ $\langle \epsilon '|$

{\frac {da_{\epsilon }(t)}{dt}}=-\mathrm {i} \Omega _{\epsilon i}e^{\mathrm {i} (\omega -\omega _ {i})t}a_{i}(t).

Nous avons utilisé la normalisation . Intégrer ce dernier et se substituer au premier, $\langle \epsilon '|\epsilon \rangle =\delta (\epsilon '-\epsilon )$

{\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\epsilon \Omega _{i\epsilon }\Omega _{\epsilon i}\int _{ 0}^{t}dt'e^{-\mathrm {i} (\omega -\omega _{i})(t-t')}a_{i}(t').

On peut voir ici que le temps dépend de tous les temps antérieurs , c'est-à-dire qu'il est non-markovien . On fait l'approximation de Markov, c'est à dire qu'elle ne dépend que du temps (qui est moins restrictive que l'approximation que ≈1 a utilisée plus haut, et permet à la perturbation d'être forte) $da_{i}/dt$ ${\style d'affichage t}$ ${\style d'affichage a_{i}}$ ${\style d'affichage t'}$ ${\style d'affichage a_{i}}$ ${\style d'affichage t}$ ${\style d'affichage a_{i}}$

{\frac {da_{i}(t)}{dt}}=-\int _{C}d\epsilon |\Omega _{i\epsilon }|^{2}a_{i}(t )\int _{0}^{t}dTe^{-\mathrm {i} \Delta T}.

où et . Intégrer sur , $T=t-t'$ $\Delta =\omega -\omega _{i}$ ${\style d'affichage T}$

{\frac {da_{i}(t)}{dt}}=2\pi \hbar \int _{C}d\epsilon |\Omega _{i\epsilon }|^{2}a_{ i}(t){\frac {e^{-\mathrm {i} \Delta t/2}\sin(\Delta t/2)}{\pi \hbar \Delta }},

La fraction de droite est une fonction delta de Dirac naissant , ce qui signifie qu'elle tend à en tant que (sans tenir compte de sa partie imaginaire qui les conduit à un changement d'énergie peu importante, tandis que la partie réelle produit la décomposition). Pour terminer $\delta (\epsilon -\epsilon _{i})$ ${\style d'affichage t\à \infty }$

{\frac {da_{i}(t)}{dt}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\epsilon _{i}}|^{2}a_{i}(t)

qui a des solutions : , c'est-à-dire, la décroissance de la population dans l'état discret initial est où $a_{i}(t)=\exp(-\Gamma _{i\to \epsilon _{i}}t/2)$ $P_{i}(t)=|a_{i}(t)|^{2}=\exp(-\Gamma _{i\to \epsilon _{i}}t)$

\Gamma _{i\to \epsilon _{i}}=2\pi \hbar |\Omega _{i\epsilon _{i}}|^{2}={\frac {2\pi } {\hbar }}|\langle i|H'|\epsilon \rangle |^{2}

Applications

Semi-conducteurs

La règle d'or de Fermi peut être utilisée pour calculer le taux de probabilité de transition pour un électron excité par un photon de la bande de valence à la bande de conduction dans un semi-conducteur à bande interdite directe, ainsi que pour le moment où l'électron se recombine avec le trou et émet un photon. Considérons un photon de fréquence et de vecteur d'onde , où la relation de dispersion de la lumière est et est l'indice de réfraction. $\omega$ ${\textbf {q}}$ $\omega =(c/n)\left|{\textbf {q}}\right|$ ${\style d'affichage n}$

En utilisant la jauge de Coulomb où et , le potentiel vectoriel de l'onde électromagnétique est donné par où le champ électrique résultant est $\nabla \cdot {\textbf {A}}=0$ ${\style d'affichage V=0}$ ${\textbf {A}}=A_{0}{\vec {\epsilon }}e^{i({\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)} +C$

{\textbf {E}}=-\partial {\textbf {A}}/\partial t=i\omega A_{0}{\vec {\epsilon }}e^{i({\textbf { q}}\cdot {\textbf {r}}-\omega t)}

Pour une particule chargée dans la bande de valence, l'hamiltonien est

H={\frac {({\textbf {p}}-Q{\textbf {A}})^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}})

où est le potentiel du cristal. Si notre particule est un électron ( ) et que nous considérons un processus impliquant un photon et du premier ordre dans . L'hamiltonien résultant est $V({\textbf {r}})$ $Q=-e$ ${\textbf {A}}$

H=H_{0}+H'=\gauche[{\frac {{\textbf {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({\textbf {r}}) \right]+\left[{\frac {e}{2m_{0}}}({\textbf {p}}\cdot {\textbf {A}}+{\textbf {A}}\cdot {\textbf {p}})\droit]

où est la perturbation de l'onde électromagnétique. ${\style d'affichage H'}$

À partir de là, nous avons une probabilité de transition basée sur la théorie des perturbations dépendant du temps qui

\Gamma _{if}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|H'|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i }\pm \hbar \omega )

H'\approx {\frac {eA_{0}}{m_{0}}}{\vec {\epsilon }}\cdot {\vec {p}}

où est le vecteur de polarisation de la lumière. A partir de la perturbation, il est évident que le cœur du calcul réside dans les éléments matriciels représentés dans le bracket. ${\vec {\epsilon }}$

Pour les états initial et final dans les bandes de valence et de conduction respectivement, nous avons et , et si l' opérateur n'agit pas sur le spin, l'électron reste dans le même état de spin et donc nous pouvons écrire les fonctions d'onde comme des ondes de Bloch donc $|i\rangle =\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i},s_{i}}({\textbf {r}})$ $|f\rangle =\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f},s_{f}}({\textbf {r}})$ ${\style d'affichage H'}$

\Psi _{v,{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}} }u_{n_{v},{\textbf {k}}_{i}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{i}\cdot {\textbf { r}}}

\Psi _{c,{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})={\frac {1}{\sqrt {N\Omega _{0}}} }u_{n_{c},{\textbf {k}}_{f}}({\textbf {r}})e^{i{\textbf {k}}_{f}\cdot {\textbf { r}}}

où est le nombre de mailles unitaires de volume . En utilisant ces fonctions d'onde et avec un peu plus de mathématiques, et en se concentrant sur l'émission ( photoluminescence ) plutôt que sur l'absorption, nous sommes conduits à la vitesse de transition ${\style d'affichage N}$ $\Omega _{0}$

\Gamma _{cv}={\frac {2\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}| {\vec {\epsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}({\textbf {k}})|^{2}\delta (E_{c}-E_{v}-\ hbar \omega )

où est l' élément de matrice de moment dipolaire de transition est qualitativement la valeur attendue et dans cette situation prend la forme ${\boldsymbol {\mu }}_{cv}$ $\langle c|({\text{charge}})\times ({\text{distance}})|v\rangle$

{\boldsymbol {\mu }}_{cv}=-{\frac {i\hbar }{\Omega _{0}}}\int _{\Omega _{0}}d{\textbf { r}}'u_{n_{c},{\textbf {k}}}^{*}({\textbf {r}}')\nabla u_{n_{v},{\textbf {k}}} ({\textbf {r}}')

Enfin, nous voulons connaître le taux de transition total . Par conséquent, nous devons additionner tous les états initiaux et finaux (c'est-à-dire une intégrale de la zone de Brillouin dans l' espace k ), et prendre en compte la dégénérescence de spin, qui, grâce à certaines mathématiques $\Gamma (\omega )$

$\Gamma (\omega )={\frac {4\pi }{\hbar }}\left({\frac {eA_{0}}{m_{0}}}\right)^{2}| {\vec {\epsilon }}\cdot {\boldsymbol {\mu }}_{cv}|^{2}\rho _{cv}(\omega )$

où est la densité d'états conjointe valence-conduction (c'est-à-dire la densité de paires d'états ; un état de valence occupé, un état de conduction vide). En 3D, c'est $\rho _{cv}(\omega )$

\rho _{cv}(\omega )=2\pi \left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\ sqrt {\hbar \omega -E_{g}}}

mais le DOS commun est différent pour 2D, 1D et 0D.

Notons enfin que d'une manière générale on peut exprimer la règle d'or de Fermi pour les semi-conducteurs comme

\Gamma _{vc}={\frac {2\pi }{\hbar }}\int _{\text{BZ}}{\frac {d{\textbf {k}}}{4\pi ^{3}}}|H_{vc}'|^{2}\delta (E_{c}({\textbf {k}})-E_{v}({\textbf {k}})-\hbar \omega )

Microscopie à effet tunnel

Dans un microscope à effet tunnel , la règle d'or de Fermi est utilisée pour dériver le courant à effet tunnel. Il prend la forme

w={\frac {2\pi }{\hbar }}|M|^{2}\delta (E_{\psi }-E_{\chi })

où est l'élément de matrice de tunneling. ${\style d'affichage M}$

Optique quantique

Lorsque l'on considère les transitions de niveau d'énergie entre deux états discrets, la règle d'or de Fermi s'écrit comme suit

\Gamma _{i\to f}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|H'|i\rangle |^{2}g(\hbar \omega ),

où est la densité d'états photoniques à une énergie donnée, est l' énergie photonique et est la fréquence angulaire . Cette expression alternative repose sur le fait qu'il existe un continuum d'états finaux (photons), c'est-à-dire que la gamme d'énergies photoniques autorisées est continue. $g(\hbar \omega )$ $\hbar \omega$ $\omega$

Expérience Drexhage

Le diagramme de rayonnement et la puissance totale émise (qui est proportionnelle au taux de décroissance) d'un dipôle dépendent de sa distance à un miroir.

La règle d'or de Fermi prédit que la probabilité qu'un état excité se désintègre dépend de la densité des états. Cela peut être vu expérimentalement en mesurant le taux de décroissance d'un dipôle près d'un miroir : comme la présence du miroir crée des régions de densité d'états plus élevée et plus faible, le taux de décroissance mesuré dépend de la distance entre le miroir et le dipôle.

Voir également

Décroissance exponentielle – Densité de probabilité
Liste des choses nommées d'après Enrico Fermi - Article de la liste Wikipedia
Désintégration des particules
Fonction Sinc – Fonction mathématique spéciale définie comme sin(x)/x
Théorie des perturbations dépendantes du temps
La règle de Sargent

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