Gaussien rationnel - Gaussian rational

En mathématiques , un nombre rationnel gaussien est un nombre complexe de la forme p  +  qi , où p et q sont tous deux des nombres rationnels . L'ensemble de tous les rationnels gaussiens forme le champ rationnel gaussien , noté Q ( i ), obtenu en joignant le nombre imaginaire i au champ des rationnels.

Propriétés du terrain

Le champ des rationnels gaussiens fournit un exemple de champ de nombres algébriques , qui est à la fois un champ quadratique et un champ cyclotomique (puisque i est une 4ème racine de l'unité ). Comme tous les champs quadratiques c'est une extension galoisienne de Q de groupe Galois cyclique d'ordre deux, dans ce cas générée par conjugaison complexe , et est donc une extension abélienne de Q , avec le conducteur 4.

Comme pour les champs cyclotomiques plus généralement, le champ des rationnels gaussiens n'est ni ordonné ni complet (comme un espace métrique). Les entiers gaussiens Z [ i ] forment l' anneau des entiers de Q ( i ). L'ensemble de tous les rationnels gaussiens est infiniment infini .

Sphères Ford

Le concept de cercles de Ford peut être généralisé des nombres rationnels aux rationnels gaussiens, donnant des sphères de Ford. Dans cette construction, les nombres complexes sont incorporés comme un plan dans un espace euclidien tridimensionnel , et pour chaque point rationnel gaussien dans ce plan, on construit une sphère tangente au plan en ce point. Pour un rationnel gaussien représenté en termes les plus bas comme , le rayon de cette sphère doit être où représente le conjugué complexe de . Les sphères résultantes sont tangentes pour les paires de rationnels gaussiens et avec , sinon elles ne se croisent pas. ${\ displaystyle p / q}$${\ displaystyle 1 / q {\ bar {q}}}$${\ displaystyle {\ bar {q}}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle P / Q}$${\ displaystyle p / q}$${\ displaystyle | Pq-pQ | = 1}$

Les références

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