Cercle généralisé - Generalised circle

Un cercle généralisé , également appelé "cline" ou "circline", est une ligne droite ou un cercle . Le concept est principalement utilisé en géométrie inversive , car les lignes droites et les cercles ont des propriétés très similaires dans cette géométrie et sont mieux traités ensemble.

La géométrie plane inversée est formulée sur le plan prolongé d'un point à l'infini . Une ligne droite est alors considérée comme l'un des cercles passant par le point asymptotique à l'infini. Les transformations fondamentales en géométrie inversive, les inversions , ont la propriété de mapper des cercles généralisés en cercles généralisés. Les transformations de Möbius , qui sont des compositions d'inversions, héritent de cette propriété. Ces transformations ne mappent pas nécessairement les lignes aux lignes et les cercles aux cercles: elles peuvent mélanger les deux.

Les inversions sont de deux types: les inversions au niveau des cercles et les réflexions au niveau des lignes. Puisque les deux ont des propriétés très similaires, nous les combinons et parlons d'inversions en cercles généralisés.

Étant donné trois points distincts dans le plan étendu, il existe précisément un cercle généralisé qui passe par les trois points.

Le plan étendu peut être identifié avec la sphère à l' aide d'une projection stéréographique . Le point à l'infini devient alors un point ordinaire sur la sphère, et tous les cercles généralisés deviennent des cercles sur la sphère.

Équation dans le plan complexe étendu

Le plan étendu de la géométrie inversive peut être identifié avec le plan complexe étendu , de sorte que des équations de nombres complexes peuvent être utilisées pour décrire des lignes, des cercles et des inversions.

Un cercle Γ est l' ensemble des points z dans un plan situés au rayon r d'un point central γ .

${\ displaystyle \ Gamma (\ gamma, r) ​​= \ {z: {\ text {la distance entre}} z {\ text {et}} \ gamma {\ text {est}} r \}}$

En utilisant le plan complexe , nous pouvons traiter γ comme un nombre complexe et le cercle Γ comme un ensemble de nombres complexes.

En utilisant la propriété qu'un nombre complexe multiplié par son conjugué nous donne le carré du module du nombre, et que son module est sa distance euclidienne à l'origine, nous pouvons exprimer l'équation pour Γ comme suit:

${\ Displaystyle {\ left | z- \ gamma \ right |} = r}$

${\ displaystyle {\ left | z- \ gamma \ right |} ^ {2} = r ^ {2}}$

${\ displaystyle (z- \ gamma) {\ overline {(z- \ gamma)}} = r ^ {2}}$

${\ displaystyle z {\ bar {z}} - z {\ bar {\ gamma}} - {\ bar {z}} \ gamma + \ gamma {\ bar {\ gamma}} = r ^ {2}}$

${\ displaystyle z {\ bar {z}} - z {\ bar {\ gamma}} - {\ bar {z}} \ gamma + \ gamma {\ bar {\ gamma}} - r ^ {2} = 0 .}$

On peut multiplier cela par une vraie constante A pour obtenir une équation de la forme

${\ displaystyle Az {\ bar {z}} + Bz + C {\ bar {z}} + D = 0}$

où A et D sont réels , et B et C sont des conjugués complexes . En inversant les étapes, nous voyons que pour que ce soit un cercle, le rayon au carré doit être égal à BC / A ² - D / A > 0. L'équation ci-dessus définit donc un cercle généralisé chaque fois que AD <BC . Notez que lorsque A est zéro, cette équation définit une ligne droite.

La transformation w = 1 / z

Il est maintenant facile de voir que la transformation w = 1 / z mappe les cercles généralisés en cercles généralisés:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} Az {\ bar {z}} + Bz + C {\ bar {z}} + D & = 0 \\ [6pt] A {\ frac {1} {w}} {\ frac {1} {\ bar {w}}} + B {\ frac {1} {w}} + C {\ frac {1} {\ bar {w}}} + D & = 0 \\ [6pt] A + B {\ bar {w}} + Cw + Dw {\ bar {w}} & = 0 \\ [6pt] D {\ bar {w}} w + Cw + B {\ bar {w}} + A & = 0. \ End {aligné}}}$

On voit que les lignes passant par l'origine ( A  =  D  = 0) sont mappées aux lignes passant par l'origine, les lignes ne passant pas par l'origine ( A  = 0; D  ≠ 0) par des cercles passant par l'origine, les cercles passant par l'origine ( A  ≠ 0; D  = 0) aux lignes ne passant pas par l'origine, et les cercles ne passant pas par l'origine ( A  ≠ 0; D  ≠ 0) aux cercles ne passant pas par l'origine.

Représentation par des matrices hermitiennes

Les données définissant l'équation d'un cercle généralisé

${\ displaystyle Az {\ bar {z}} + Bz + C {\ bar {z}} + D = 0}$

peut être utilement mis sous la forme d'une matrice hermitienne inversible

${\ displaystyle {\ mathfrak {C}} = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}} = {\ mathfrak {C}} ^ {\ dagger}.}$

Deux de ces matrices hermitiennes inversibles spécifient le même cercle généralisé si et seulement si elles diffèrent d'un multiple réel.

Pour transformer un cercle généralisé décrit par la transformation de Möbius , prenez l'inverse de la transformation et faites ${\ displaystyle {\ mathfrak {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {G}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {C}} \ mapsto {\ mathfrak {G}} ^ {\ text {T}} {\ mathfrak {C}} {\ bar {\ mathfrak {G}}}.}$

Les références

• Hans Schwerdtfeger , Géométrie des nombres complexes , Courier Dover Publications , 1979
• Michael Henle, "Modern Geometry: Non-Euclidean, Projective, and Discrete", 2e édition, Prentice Hall , 2001