Groupe électrogène d'un groupe - Generating set of a group

Les racines 5 de l'unité dans le plan complexe forment un groupe sous multiplication. Chaque élément non identitaire génère le groupe.

En algèbre abstraite , un ensemble générateur d'un groupe est un sous - ensemble de l'ensemble du groupe tel que chaque élément du groupe peut être exprimé comme une combinaison (sous l'opération de groupe) d'un nombre fini d'éléments du sous-ensemble et de leurs inverses .

En d'autres termes, si S est un sous-ensemble d'un groupe G , alors ⟨ S ⟩, le sous - groupe généré par S , est le plus petit sous - groupe de G contenant chaque élément de S , qui est égal à l'intersection de tous les sous-groupes contenant les éléments de S ; de manière équivalente, ⟨ S ⟩ est le sous-groupe de tous les éléments de G qui peuvent être exprimés comme le produit fini des éléments de S et de leurs inverses. (Notez que les inverses ne sont nécessaires que si le groupe est infini ; dans un groupe fini, l'inverse d'un élément peut être exprimé comme une puissance de cet élément.)

Si G = ⟨ S ⟩, alors on dit que S génère G , et les éléments de S sont appelés générateurs ou générateurs de groupe . Si S est l'ensemble vide, alors ⟨ S ⟩ est le groupe trivial { e }, puisque nous considérons que le produit vide est l'identité.

Lorsqu'il n'y a qu'un seul élément x dans S , ⟨ S ⟩ s'écrit généralement ⟨ x ⟩. Dans ce cas, ⟨ x ⟩ est le sous - groupe cyclique des puissances de x , un groupe cyclique , et nous disons que ce groupe est généré par x . L'équivalent de dire qu'un élément x génère un groupe revient à dire que ⟨ x ⟩ est égal à l'ensemble du groupe G . Pour les groupes finis , cela revient aussi à dire que x est d' ordre | G |.

Si G est un groupe topologique alors un sous-ensemble S de G est appelé un ensemble de générateurs topologiques si ⟨ S est dense dans G , c'est-à-dire que la clôture de ⟨ S ⟩ est l'ensemble G .

Groupe de génération finie

Si S est fini, alors un groupe G  = ⟨ S ⟩ est dit de type fini . La structure des groupes abéliens de type fini en particulier est facilement décrite. De nombreux théorèmes qui sont vrais pour les groupes de type fini échouent pour les groupes en général. Il a été prouvé que si un groupe fini est généré par un sous-ensemble S, alors chaque élément du groupe peut être exprimé comme un mot de l'alphabet S de longueur inférieure ou égale à l'ordre du groupe.

Tout groupe fini est de type fini puisque ⟨ G ⟩ =  G . Les entiers sous l'addition sont un exemple d'un groupe infini qui est de façon finie généré à la fois par 1 et -1, mais le groupe de rationnels sous addition ne peut pas être généré de manière finie. Aucun groupe indénombrable ne peut être généré de manière finie. Par exemple, le groupe de nombres réels sous addition, ( R , +).

Différents sous-ensembles du même groupe peuvent générer des sous-ensembles. Par exemple, si p et q sont des entiers avec pgcd ( p ,  q ) = 1 , alors { p ,  q } génère également le groupe d'entiers sous addition par l'identité de Bézout .

S'il est vrai que chaque quotient d'un groupe de type fini est de type fini (les images des générateurs dans le quotient donnent un ensemble fini), un sous - groupe d' un groupe de type fini n'a pas besoin d'être de type fini. Par exemple, soit G le groupe libre en deux générateurs, x et y (qui est clairement de type fini, puisque G = { x , y }⟩), et soit S le sous-ensemble constitué de tous les éléments de G de la forme y ⁿ xy ^{− n} pour n un nombre naturel . ⟨ S ⟩ est isomorphe au groupe libre dans une infinité de générateurs dénombrables, et ne peut donc pas être généré de manière finie. Cependant, chaque sous-groupe d'un groupe abélien de type fini est en lui-même de type fini. En fait, on peut en dire plus : la classe de tous les groupes de type fini est fermée sous les extensions . Pour voir cela, prenez un groupe électrogène pour le sous - groupe normal (généré de manière finie) et le quotient. Ensuite, les générateurs pour le sous-groupe normal, ainsi que les pré-images des générateurs pour le quotient, génèrent le groupe.

Groupe gratuit

Le groupe le plus général engendré par un ensemble S est le groupe librement engendré par S . Chaque groupe généré par S est isomorphe à un quotient de ce groupe, une caractéristique qui est utilisée dans l'expression de la présentation d'un groupe .

Sous-groupe Frattini

Un sujet compagnon intéressant est celui des non-générateurs . Un élément x du groupe G est un non-générateur si chaque ensemble S contenant x qui génère G , génère toujours G lorsque x est retiré de S . Dans les entiers avec addition, le seul non-générateur est 0. L'ensemble de tous les non-générateurs forme un sous-groupe de G , le sous-groupe de Frattini .

Exemples

Le groupe d'unités U( Z ₉ ) est le groupe de tous les nombres entiers relativement premiers à 9 sous multiplication mod 9 (U ₉  = {1, 2, 4, 5, 7, 8} ). Toute l'arithmétique ici se fait modulo 9. Seven n'est pas un générateur de U( Z ₉ ), puisque

${\displaystyle \{7^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\}.}$

tandis que 2 est, puisque :

${\displaystyle \{2^{i}{\bmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.}$

D'autre part, pour n > 2, le groupe symétrique de degré n n'est pas cyclique, il n'est donc généré par aucun élément. Cependant, il est généré par les deux permutations (1 2) et (1 2 3 ...  n ) . Par exemple, pour S ₃ nous avons (voir permutation pour une explication de la notation) :

e = (1 2)(1 2)

(1 2) = (1 2)

(1 3) = (1 2)(1 2 3)

(2 3) = (1 2 3)(1 2)

(1 2 3) = (1 2 3)

(1 3 2) = (1 2)(1 2 3)(1 2)

Les groupes infinis peuvent aussi avoir des groupes électrogènes finis. Le groupe additif d'entiers a 1 comme groupe électrogène. L'élément 2 n'est pas un groupe électrogène, car les nombres impairs manqueront. Le sous-ensemble {3, 5} à deux éléments est un ensemble générateur, puisque (−5) + 3 + 3 = 1 (en fait, toute paire de nombres premiers est, en conséquence de l'identité de Bézout ).

Le groupe dièdre d'ordre n est généré par l'ensemble { r , s } , où r représente la rotation de π / n et s est une réflexion sur un axe de symétrie.

Le groupe cyclique d'ordre n , , et les racines n ^ième de l'unité sont tous générés par un seul élément (en fait, ces groupes sont isomorphes les uns aux autres). ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Une présentation d'un groupe est définie comme un ensemble de générateurs et une collection de relations entre eux, donc tous les exemples répertoriés sur cette page contiennent des exemples de groupes générateurs.

Semi-groupes et monoïdes

Si G est un semi - groupe ou un monoïde , on peut toujours utiliser la notion de générateur S de G . S est un ensemble générateur de semi-groupe/monoïde de G si G est le plus petit semi-groupe/monoïde contenant S .

Les définitions d'ensemble générateur d'un groupe utilisant des sommes finies, données ci-dessus, doivent être légèrement modifiées lorsqu'on traite de semi-groupes ou de monoïdes. En effet, cette définition ne devrait plus utiliser la notion d'opération inverse. L'ensemble S est dit semi-groupe générateur de G si chaque élément de G est une somme finie d'éléments de S . De même, un ensemble S est dit générateur de monoïdes de G si chaque élément non nul de G est une somme finie d'éléments de S .

Par exemple {1} est un générateur de monoïde de l'ensemble des nombres naturels non négatifs . L'ensemble {1} est également un générateur de semi-groupe des nombres naturels positifs . Cependant, l'entier 0 ne peut pas être exprimé comme une somme (non vide) de 1, donc {1} n'est pas un générateur de semi-groupe des nombres naturels non négatifs. ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{>0}}$

De même, alors que {1} est un générateur de groupe de l'ensemble d' entiers , {1} n'est pas un générateur de monoïde de l'ensemble d'entiers. En effet, l'entier −1 ne peut pas être exprimé comme une somme finie de 1. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Voir également

• Élément primitif (champ fini)
• Graphique de Cayley
• Ensemble générateur de significations connexes dans d'autres structures
• Présentation d'un groupe

Remarques

Les références

• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Troisième édition révisée), New York : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001
• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980). Générateurs et relations pour les groupes discrets . Springer. ISBN 0-387-09212-9.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Générateurs de groupe" . MathWorld .