Série de Hilbert et polynôme de Hilbert - Hilbert series and Hilbert polynomial

En algèbre commutative , la fonction de Hilbert , le polynôme de Hilbert et la série de Hilbert d'une algèbre commutative graduée de type fini sur un corps sont trois notions fortement liées qui mesurent la croissance de la dimension des composants homogènes de l'algèbre.

Ces notions ont été étendues aux algèbres filtrées , et aux modules gradués ou filtrés sur ces algèbres, ainsi qu'aux faisceaux cohérents sur les schémas projectifs .

Les situations typiques où ces notions sont utilisées sont les suivantes :

• Le quotient par un idéal homogène d'un anneau polynomial multivarié , gradué par le degré total.
• Le quotient par un idéal d'un anneau polynomial multivarié, filtré par le degré total.
• La filtration d'un anneau local par les puissances de son idéal maximal . Dans ce cas, le polynôme de Hilbert est appelé polynôme de Hilbert-Samuel .

La série de Hilbert d'une algèbre ou d'un module est un cas particulier de la série de Hilbert-Poincaré d'un espace vectoriel gradué .

Le polynôme de Hilbert et les séries de Hilbert sont importants en géométrie algébrique computationnelle , car ils constituent le moyen le plus simple connu pour calculer la dimension et le degré d'une variété algébrique définie par des équations polynomiales explicites. De plus, ils fournissent des invariants utiles pour les familles de variétés algébriques car une famille plate a le même polynôme de Hilbert sur tout point fermé . Ceci est utilisé dans la construction du schéma de Hilbert et du schéma de Quot . ${\displaystyle \pi :X\to S}$${\displaystyle s\in S}$

Définitions et propriétés principales

Considérons une algèbre commutative graduée de type fini S sur un corps K , qui est de type fini par des éléments de degré positif. Cela signifie que

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

et ça . ${\style d'affichage S_{0}=K}$

La fonction de Hilbert

${\displaystyle HF_{S}:n\longmapsto \dim _{K}S_{n}}$

fait correspondre l'entier n à la dimension de l' espace vectoriel K S _n . La série de Hilbert, appelée série de Hilbert-Poincaré dans le cadre plus général des espaces vectoriels gradués, est la série formelle

${\displaystyle HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)t^{n}.}$

Si S est engendré par h éléments homogènes de degrés positifs , alors la somme de la série de Hilbert est une fraction rationnelle ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{h}}$

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}\left(1-t^{d_{i}}\right)} },}$

où Q est un polynôme à coefficients entiers.

Si S est généré par des éléments de degré 1 alors la somme de la série de Hilbert peut être réécrite comme

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},}$

où P est un polynôme à coefficients entiers, et est la dimension de Krull de S . ${\style d'affichage \delta }$

Dans ce cas, le développement en série de cette fraction rationnelle est

${\displaystyle HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\ cdots \right)}$

où

${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\ delta -1)!}}}$

est le coefficient binomial pour et vaut 0 sinon. ${\style d'affichage n>-\delta ,}$

Si

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$

le coefficient de in est donc ${\style d'affichage t^{n}}$${\displaystyle HS_{S}(t)}$

${\displaystyle HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.}$

Car le terme d'indice i dans cette somme est un polynôme en n de degré à coefficient dominant Cela montre qu'il existe un polynôme unique à coefficients rationnels qui est égal à pour n assez grand. Ce polynôme est le polynôme de Hilbert et a la forme ${\displaystyle n\geq i-\delta +1,}$${\displaystyle \delta -1}$${\displaystyle a_{i}/(\delta -1)!.}$${\displaystyle HP_{S}(n)}$${\style d'affichage HF_{S}(n)}$

${\displaystyle HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ termes de degré inférieur en }} n.}$

Le moins n ₀ de telle sorte que pour n ≥ n ₀ est appelée la régularité de Hilbert . Il peut être inférieur à . ${\displaystyle HP_{S}(n)=HF_{S}(n)}$${\displaystyle \deg P-\delta +1}$

Le polynôme de Hilbert est un polynôme numérique , puisque les dimensions sont des nombres entiers, mais le polynôme n'a presque jamais de coefficients entiers ( Schenck 2003 , pp. 41).

Toutes ces définitions peuvent être étendues aux modules gradués de génération finie sur S , à la seule différence qu'un facteur t ^m apparaît dans la série de Hilbert, où m est le degré minimal des générateurs du module, qui peut être négatif.

La fonction de Hilbert , la série de Hilbert et le polynôme de Hilbert d'une algèbre filtrée sont ceux de l'algèbre graduée associée.

Le polynôme de Hilbert d'une variété projective V dans P ⁿ est défini comme le polynôme de Hilbert de l' anneau de coordonnées homogène de V .

Algèbre graduée et anneaux polynomiaux

Les anneaux polynomiaux et leurs quotients par des idéaux homogènes sont des algèbres graduées typiques. Inversement, si S est une algèbre graduée engendrée sur le corps K par n éléments homogènes g ₁ , ..., g _n de degré 1, alors l'application qui renvoie X _i sur g _i définit un homomorphisme d'anneaux gradués de sur S . Son noyau est un idéal homogène I et cela définit un isomorphisme d'algèbre graduée entre et S . ${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$${\style d'affichage R_{n}/I}$

Ainsi, les algèbres graduées générées par les éléments de degré 1 sont exactement, à un isomorphisme près, les quotients d'anneaux polynomiaux par des idéaux homogènes. Par conséquent, le reste de cet article sera limité aux quotients des anneaux polynomiaux par les idéaux.

Propriétés de la série de Hilbert

Additivité

La série de Hilbert et le polynôme de Hilbert sont additifs relativement aux suites exactes . Plus précisément, si

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0}$

est une séquence exacte de modules classés ou filtrés, alors nous avons

${\displaystyle HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}}$

et

${\displaystyle HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.}$

Cela découle immédiatement de la même propriété pour la dimension des espaces vectoriels.

Quotient par un diviseur non nul

Soit A une algèbre graduée et f un élément homogène de degré d dans A qui n'est pas un diviseur nul . Ensuite nous avons

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.}$

Il résulte de l'additivité sur la suite exacte

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,}$

où la flèche étiquetée f est la multiplication par f , et est le module gradué qui est obtenu à partir de A en décalant les degrés par d , afin que la multiplication par f ait le degré 0. Cela implique que${\style d'affichage A^{[d]}}$${\displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.}$

Série de Hilbert et polynôme de Hilbert d'un anneau polynomial

La série de Hilbert de l'anneau polynomial dans les indéterminés est ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\style d'affichage n}$

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.}$

Il s'ensuit que le polynôme de Hilbert est

${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choisissez {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)} {(n-1)!}}\,.}$

La preuve que la série de Hilbert a cette forme simple est obtenue en appliquant récursivement la formule précédente du quotient par un diviseur non nul (ici ) et en remarquant que${\style d'affichage x_{n}}$${\displaystyle HS_{K}(t)=1\,.}$

Forme de la série Hilbert et dimension

Une algèbre graduée A engendrée par des éléments homogènes de degré 1 a une dimension de Krull nulle si l'idéal homogène maximal, c'est-à-dire l'idéal engendré par les éléments homogènes de degré 1, est nilpotent . Cela implique que la dimension de A en tant qu'espace vectoriel K est finie et que la série de Hilbert de A est un polynôme P ( t ) tel que P (1) est égal à la dimension de A en tant qu'espace vectoriel K.

Si la dimension de Krull de A est positive, il existe un élément homogène f de degré un qui n'est pas un diviseur nul (en fait presque tous les éléments de degré un ont cette propriété). La dimension de Krull de A / (f) est la dimension de Krull de A moins un.

L'additivité de la série de Hilbert montre que . En itérant un nombre de fois égal à la dimension de Krull de A , on obtient finalement une algèbre de dimension 0 dont la série de Hilbert est un polynôme P ( t ) . Cela montre que la série de Hilbert de A est ${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)}$

${\displaystyle HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}}$

où le polynôme P ( t ) est tel que P (1) ≠ 0 et d est la dimension de Krull de A .

Cette formule pour la série de Hilbert implique que le degré du polynôme de Hilbert est d , et que son coefficient dominant est . ${\displaystyle {\frac {P(1)}{d !}}}$

Degré d'une variété projective et théorème de Bézout

La série de Hilbert permet de calculer le degré d'une variété algébrique comme la valeur à 1 du numérateur de la série de Hilbert. Ceci fournit aussi une preuve assez simple du théorème de Bézout .

Pour montrer la relation entre le degré d'un ensemble algébrique projectif et la série de Hilbert, considérons un ensemble algébrique projectif V , défini comme l'ensemble des zéros d'un idéal homogène , où k est un corps, et soit l'anneau du régulier fonctions sur l'ensemble algébrique. ${\displaystyle I\sous-ensemble k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$

Dans cette section, on n'a pas besoin d'irréductibilité des ensembles algébriques ni de primalité des idéaux. Aussi, comme les séries de Hilbert ne sont pas modifiées en étendant le corps des coefficients, le corps k est supposé, sans perte de généralité, algébriquement clos.

La dimension d de V est égale à la dimension de Krull moins un de R , et le degré de V est le nombre de points d'intersection, comptés avec des multiplicités, de V avec l'intersection des hyperplans en position générale . Ceci implique l'existence, dans R , d'une suite régulière de d + 1 polynômes homogènes de degré un. La définition d'une suite régulière implique l'existence de suites exactes ${\style d'affichage d}$ ${\displaystyle h_{0},\ldots ,h_{d}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,}$

car cela implique que ${\displaystyle k=0,\ldots ,d.}$

${\displaystyle HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={ \frac {P(t)}{1-t}},}$

où est le numérateur de la série de Hilbert de R . ${\style d'affichage P(t)}$

L'anneau a une dimension de Krull et est l'anneau des fonctions régulières d'un ensemble algébrique projectif de dimension 0 constitué d'un nombre fini de points, qui peuvent être plusieurs points. Comme appartient à une suite régulière, aucun de ces points n'appartient à l'hyperplan d'équation Le complément de cet hyperplan est un espace affine qui contient Cela fait un ensemble algébrique affine , qui a pour anneau de fonctions régulières. Le polynôme linéaire n'est pas un diviseur nul en et on a donc une suite exacte ${\displaystyle R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }$${\style d'affichage V_{0}}$${\displaystyle h_{d}}$${\displaystyle h_{d}=0.}$${\style d'affichage V_{0}.}$${\style d'affichage V_{0}}$${\displaystyle R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle }$${\displaystyle h_{d}-1}$${\style d'affichage R_{1},}$

${\displaystyle 0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,}$

ce qui implique que

${\displaystyle HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).}$

Ici, nous utilisons la série de Hilbert d'algèbres filtrées , et le fait que la série de Hilbert d'une algèbre graduée est aussi sa série de Hilbert en tant qu'algèbre filtrée.

Ainsi est un anneau artinien , qui est un k -espace vectoriel de dimension P (1) , et le théorème de Jordan-Hölder peut être utilisé pour prouver que P (1) est le degré de l'ensemble algébrique V . En fait, la multiplicité d'un point est le nombre d'occurrences de l'idéal maximal correspondant dans une série de composition . ${\style d'affichage R_{0}}$

Pour prouver le théorème de Bézout, on peut procéder de la même manière. Si est un polynôme homogène de degré , qui n'est pas un diviseur nul dans R , la suite exacte ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage \delta }$

${\displaystyle 0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,}$

montre que

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).}$

En regardant les numérateurs, cela prouve la généralisation suivante du théorème de Bézout :

Théorème - Si f est un polynôme homogène de degré , qui n'est pas un diviseur nul dans R , alors le degré de l' intersection de V avec l' hypersurface définie par est le produit du degré de V par${\style d'affichage \delta }$${\style d'affichage f}$${\displaystyle \delta .}$

Sous une forme plus géométrique, cela peut être reformulé comme:

Théorème - Si une hypersurface projective de degré d ne contient aucune composante irréductible d'un ensemble algébrique de degré δ , alors le degré de leur intersection est dδ .

Le théorème de Bézout usuel se déduit facilement en partant d'une hypersurface, et en l'intersectant avec n − 1 autres hypersurfaces, l'une après l'autre.

Carrefour complet

Un ensemble algébrique projectif est une intersection complète si son idéal de définition est généré par une séquence régulière . Dans ce cas, il existe une formule explicite simple pour la série de Hilbert.

Laisser être k polynômes homogènes , de degrés respectifs Réglage on a les séquences exactes suivantes ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}}$${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.}$${\displaystyle R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,}$

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\ rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.}$

L'additivité des séries de Hilbert implique donc

${\displaystyle HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.}$

Une simple récursivité donne

${\displaystyle HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{ (1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{ k}})}{(1-t)^{nk}}}\,.}$

Cela montre que l'intersection complète définie par une séquence régulière de k polynômes a une codimension de k , et que son degré est le produit des degrés des polynômes dans la séquence.

Relation avec les résolutions libres

Chaque module gradué M sur un anneau régulier gradué R a une résolution libre graduée en raison du théorème de syzygie de Hilbert , ce qui signifie qu'il existe une séquence exacte

${\displaystyle 0\à L_{k}\à \cdots \à L_{1}\à M\à 0,}$

où les modules libres gradués et les flèches sont des cartes linéaires graduées de degré zéro. ${\style d'affichage L_{i}}$

L'additivité de la série de Hilbert implique que

${\displaystyle HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).}$

Si est un anneau polynomial, et si l'on connaît les degrés des éléments de base de la alors les formules des sections précédentes permettent de déduire de En fait, ces formules impliquent que, si un module libre gradué L a une base de h éléments homogènes de degrés alors sa série de Hilbert est ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\style d'affichage L_{i},}$${\displaystyle HS_{M}(t)}$${\displaystyle HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.}$${\displaystyle \delta _{1},\ldots ,\delta _{h},}$

${\displaystyle HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n} }}.}$

Ces formules peuvent être considérées comme un moyen de calculer les séries de Hilbert. C'est rarement le cas, car, avec les algorithmes connus, le calcul de la série de Hilbert et le calcul d'une résolution libre partent de la même base de Gröbner , à partir de laquelle la série de Hilbert peut être directement calculée avec une complexité de calcul qui n'est pas supérieure que celle de la complexité du calcul de la résolution libre.

Calcul de la série de Hilbert et du polynôme de Hilbert

Le polynôme de Hilbert est facilement déductible de la série de Hilbert (voir ci - dessus ). Cette section décrit comment la série de Hilbert peut être calculée dans le cas d'un quotient d'un anneau polynomial, filtré ou gradué par le degré total.

Soit donc K un corps, un anneau polynomial et I un idéal dans R . Soit H l'idéal homogène engendré par les parties homogènes de plus haut degré des éléments de I . Si I est homogène, alors H = I . Soit enfin B une base de Gröbner de I pour un ordre monôme raffinant l' ordre partiel de degré total et G l'idéal (homogène) engendré par les monômes dominants des éléments de B . ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Le calcul de la série de Hilbert est basé sur le fait que l'algèbre filtrée R/I et les algèbres graduées R/H et R/G ont la même série de Hilbert .

Ainsi le calcul de la série de Hilbert se réduit, par le calcul d'une base de Gröbner, au même problème pour un idéal engendré par des monômes, ce qui est généralement beaucoup plus facile que le calcul de la base de Gröbner. La complexité de calcul de l'ensemble du calcul dépend principalement de la régularité, qui est le degré du numérateur de la série de Hilbert. En fait la base de Gröbner peut être calculée par algèbre linéaire sur les polynômes de degré bornés par la régularité.

Le calcul des séries de Hilbert et des polynômes de Hilbert est disponible dans la plupart des systèmes de calcul formel . Par exemple, dans Maple et Magma, ces fonctions sont nommées HilbertSeries et HilbertPolynomial .

Généralisation aux faisceaux cohérents

En géométrie algébrique , les anneaux gradués générés par les éléments de degré 1 produisent des schémas projectifs par construction Proj tandis que les modules gradués de génération finie correspondent à des faisceaux cohérents. Si un faisceau de cohérence sur un schéma projectif X , on définit le polynôme de Hilbert en fonction , où χ est la caractéristique d' Euler de faisceau cohérent, et une touche de Serre . La caractéristique d'Euler dans ce cas est un nombre bien défini par le théorème de finitude de Grothendieck . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)}$

Cette fonction est bien un polynôme. Pour grand m, il est en accord avec dim par le théorème de fuite de Serre . Si M est un module gradué de génération finie et le faisceau cohérent associé, les deux définitions du polynôme de Hilbert concordent. ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$

Résolutions gratuites notées

Puisque la catégorie des faisceaux cohérents sur une variété projective est équivalente à la catégorie des modules gradués modulo un nombre fini de morceaux gradués, nous pouvons utiliser les résultats de la section précédente pour construire des polynômes de Hilbert de faisceaux cohérents. Par exemple, une intersection complète de multi-degrés a la résolution ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage (d_{1},d_{2})}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{2} \\-f_{1}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}_ {\mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_ {\mathbb {P} ^{n}}\à {\mathcal {O}}_{X}\à 0}$

Voir également

• Régularité Castelnuovo–Mumford
• schéma de Hilbert
• Schéma de devis

Citations

Les références