Théorème de syzygie de Hilbert - Hilbert's syzygy theorem

En mathématiques , le théorème de syzygie de Hilbert est l'un des trois théorèmes fondamentaux sur les anneaux polynomiaux sur les champs , d'abord prouvé par David Hilbert en 1890, qui ont été introduits pour résoudre d'importantes questions ouvertes en théorie des invariants , et sont à la base de la géométrie algébrique moderne . Les deux autres théorèmes sont le théorème de base de Hilbert qui affirme que tous les idéaux des anneaux polynomiaux sur un champ sont finis, et le Nullstellensatz de Hilbert , qui établit une correspondance bijective entre les variétés algébriques affines et les idéaux premiers d'anneaux polynomiaux.

Le théorème de syzygie de Hilbert concerne les relations , ou syzygies dans la terminologie de Hilbert, entre les générateurs d'un idéal , ou, plus généralement, d'un module . Comme les relations forment un module, on peut considérer les relations entre les relations; Le théorème de syzygie de Hilbert affirme que, si l'on continue ainsi, en commençant par un module sur un anneau polynomial en n indéterminés sur un corps, on finit par trouver un module nul de relations, après au plus n pas.

Le théorème de syzygie de Hilbert est maintenant considéré comme un résultat précoce de l'algèbre homologique . C'est le point de départ de l'utilisation de méthodes homologiques en algèbre commutative et en géométrie algébrique.

Histoire

Le théorème de syzygie est apparu pour la première fois dans l'article fondateur de Hilbert "Über die Theorie der algebraischen Formen" (1890). Le papier est divisé en cinq parties: la partie I prouve le théorème de base de Hilbert sur un champ, tandis que la partie II le prouve sur les nombres entiers. La partie III contient le théorème de syzygie (théorème III), qui est utilisé dans la partie IV pour discuter du polynôme de Hilbert. La dernière partie, la partie V, prouve la génération finie de certains anneaux d'invariants . Incidemment, la troisième partie contient également un cas particulier du théorème de Hilbert-Burch .

Syzygies (relations)

À l'origine, Hilbert définissait des syzygies pour les idéaux dans les anneaux polynomiaux , mais le concept se généralise de manière triviale aux modules (de gauche) sur n'importe quel anneau .

Etant donné un groupe électrogène d'un module M sur un anneau R , une relation ou première syzygie entre les générateurs est un k -tuple d'éléments de R tel que ${\ displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {k}}$${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {k})}$

${\ displaystyle a_ {1} g_ {1} + \ cdots + a_ {k} g_ {k} = 0.}$

Soit un module libre avec base Le k - uplet peut être identifié à l 'élément ${\ displaystyle L_ {0}}$${\ displaystyle (G_ {1}, \ ldots, G_ {k}).}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {k})}$

${\ displaystyle a_ {1} G_ {1} + \ cdots + a_ {k} G_ {k},}$

et les relations forment le noyau de la carte linéaire définie par En d'autres termes, on a une suite exacte${\ displaystyle R_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {0} \ à M}$${\ displaystyle G_ {i} \ mapsto g_ {i}.}$

${\ displaystyle 0 \ à R_ {1} \ à L_ {0} \ à M \ à 0.}$

Ce premier module de syzygie dépend du choix d'un groupe électrogène, mais, si c'est le module qui est obtenu avec un autre groupe électrogène, il existe deux modules libres et tels que ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle S_ {1}}$${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$

${\ displaystyle R_ {1} \ oplus F_ {1} \ cong S_ {1} \ oplus F_ {2}}$

où dénotent la somme directe des modules . ${\ displaystyle \ oplus}$

Le deuxième module syzygy est le module des relations entre générateurs du premier module syzygy. En continuant ainsi, on peut définir le k ème module de syzygie pour tout entier positif k .

Si le k ème module syzygy est libre pour certains k , alors en prenant une base comme groupe électrogène, le module syzygy suivant (et chaque module suivant) est le module zéro . Si l'on ne prend pas de bases comme groupes électrogènes, alors tous les modules syzygy suivants sont gratuits.

Soit n le plus petit entier, s'il y en a un, tel que le n ième module de syzygie d'un module M soit libre ou projectif . La propriété d'invariance ci-dessus, jusqu'à la somme directe avec les modules libres, implique que n ne dépend pas du choix des groupes électrogènes. La dimension projective de M est cet entier, s'il existe, ou ∞ sinon. Cela équivaut à l'existence d'une séquence exacte

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow R_ {n} \ longrightarrow L_ {n-1} \ longrightarrow \ cdots \ longrightarrow L_ {0} \ longrightarrow M \ longrightarrow 0,}$

où les modules sont libres et projectifs. On peut montrer que l'on peut toujours choisir les groupes électrogènes pour être libres, c'est-à-dire pour que la séquence exacte ci-dessus soit une résolution libre . ${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle R_ {n}}$${\ displaystyle R_ {n}}$

Déclaration

Le théorème de syzygie de Hilbert stipule que, si M est un module de génération finie sur un anneau polynomial en n indéterminés sur un champ k , alors le n ème module de syzygie de M est toujours un module libre . ${\ displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

En langage moderne, cela implique que la dimension projective de M est au plus n , et donc qu'il existe une résolution libre

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow L_ {k} \ longrightarrow L_ {k-1} \ longrightarrow \ cdots \ longrightarrow L_ {0} \ longrightarrow M \ longrightarrow 0}$

de longueur k ≤ n .

Cette borne supérieure de la dimension projective est nette, c'est-à-dire qu'il existe des modules de dimension projective exactement n . L'exemple standard est le champ k , qui peut être considéré comme un -module en définissant pour chaque i et chaque c ∈ k . Pour ce module, le n ème module syzygy est libre, mais pas le ( n - 1) ème (pour une preuve, voir § Complexe de Koszul , ci-dessous). ${\ displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle x_ {i} c = 0}$

Le théorème est également vrai pour les modules qui ne sont pas de génération finie. Comme la dimension globale d'un anneau est le suprême des dimensions projectives de tous les modules, le théorème de syzygie de Hilbert peut être reformulé comme suit: la dimension globale de est n${\ displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ .

Faible dimension

Dans le cas de zéro indéterminé, le théorème de syzygie de Hilbert est simplement le fait que chaque espace vectoriel a une base .

Dans le cas d'un seul indéterminé, le théorème de syzygie de Hilbert est une instance du théorème affirmant que sur un anneau idéal principal , chaque sous-module d'un module libre est lui-même libre.

Complexe de Koszul

Le complexe de Koszul , également appelé "complexe d'algèbre extérieure", permet, dans certains cas, une description explicite de tous les modules de syzygie.

Soit un système générateur d'un idéal I dans un anneau polynomial , et soit un module libre de base L' algèbre extérieure de est la somme directe${\ displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {k}}$${\ displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k}.}$${\ displaystyle L_ {1}}$

${\ displaystyle \ Lambda (L_ {1}) = \ bigoplus _ {t = 0} ^ {k} L_ {t},}$

où est le module gratuit, qui a pour base les produits extérieurs${\ displaystyle L_ {t}}$

${\ displaystyle G_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge G_ {i_ {t}},}$

tel qu'en particulier, on a (du fait de la définition du produit vide ), les deux définitions de coïncident, et pour t > k . Pour tout t positif , on peut définir une application linéaire par ${\ displaystyle i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {t}.}$${\ displaystyle L_ {0} = R}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle L_ {t} = 0}$${\ displaystyle L_ {t} \ à L_ {t-1}}$

${\ displaystyle G_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge G_ {i_ {t}} \ mapsto \ sum _ {j = 1} ^ {t} (- 1) ^ {j + 1} g_ {i_ {j}} G_ {i_ {1}} \ wedge \ cdots \ wedge {\ widehat {G}} _ {i_ {j}} \ wedge \ cdots \ wedge G_ {i_ {t}},}$

où le chapeau signifie que le facteur est omis. Un calcul simple montre que la composition de deux de ces cartes consécutives est nulle, et donc que l'on a un complexe

${\ displaystyle 0 \ à L_ {t} \ à L_ {t-1} \ à \ cdots \ à L_ {1} \ à L_ {0} \ à R / I.}$

C'est le complexe de Koszul . En général le complexe de Koszul n'est pas une séquence exacte , mais c'est une séquence exacte si l'on travaille avec un anneau polynomial et un idéal généré par une suite régulière de polynômes homogènes .${\ displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

En particulier, la séquence est régulière, et le complexe de Koszul est donc une résolution projective de Dans ce cas, le n ème module de syzygie est libre de dimension un (généré par le produit de tout ); le ( n - 1) ème module de syzygie est donc le quotient d'un module libre de dimension n par le sous-module généré par Ce quotient peut ne pas être un module projectif , sinon, il existerait des polynômes tels que ce qui est impossible (en remplaçant le par 0 dans cette dernière égalité donne 1 = 0 ). Cela prouve que la dimension projective de est exactement n . ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle k = R / \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle.}$${\ displaystyle G_ {i}}$${\ displaystyle (x_ {1}, - x_ {2}, \ ldots, \ pm x_ {n}).}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + \ cdots + p_ {n} x_ {n} = 1,}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle k = R / \ langle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ rangle}$

La même preuve s'applique pour prouver que la dimension projective de est exactement t si la forme une suite régulière de polynômes homogènes. ${\ displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / \ langle g_ {1}, \ ldots, g_ {t} \ rangle}$${\ displaystyle g_ {i}}$

Calcul

À l'époque de Hilbert, aucune méthode n'était disponible pour calculer les syzygies. On savait seulement qu'un algorithme pouvait être déduit de toute borne supérieure du degré des générateurs du module de syzygies. En fait, les coefficients des syzygies sont des polynômes inconnus. Si le degré de ces polynômes est borné, le nombre de leurs monômes est également borné. Exprimer qu'on a une syzygie fournit un système d'équations linéaires dont les inconnues sont les coefficients de ces monômes. Par conséquent, tout algorithme pour les systèmes linéaires implique un algorithme pour les syzygies, dès qu'une borne des degrés est connue.

La première borne pour les syzygies (ainsi que pour le problème d'appartenance idéale ) a été donnée en 1926 par Grete Hermann : Soit M un sous-module d'un module libre L de dimension t sur si les coefficients sur une base de L d'un système générateur de M ont un degré total au plus d , alors il existe une constante c de telle sorte que les degrés se produisant dans un système de génération du premier module de syzygy est au plus la même borne applique pour tester l'adhésion à M d'un élément de l . ${\ displaystyle k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}];}$${\ displaystyle (td) ^ {2 ^ {cn}}.}$

D'autre part, il existe des exemples où un double degré exponentiel se produit nécessairement. Cependant, de tels exemples sont extrêmement rares, et cela pose la question d'un algorithme efficace lorsque la sortie n'est pas trop grande. À l'heure actuelle, les meilleurs algorithmes de calcul des syzygies sont les algorithmes de base de Gröbner . Ils permettent le calcul du premier module syzygy, et aussi, presque sans surcoût, tous les modules syzygies.

Syzygies et régularité

On pourrait se demander quelle propriété de la théorie de l'anneau de cause le théorème de syzygie de Hilbert. Il s'avère que c'est la régularité , qui est une formulation algébrique du fait que le n- espace affine est une variété sans singularités . En fait, la généralisation suivante est valable: Soit un anneau noéthérien. Alors a une dimension globale finie si et seulement si est régulière et la dimension de Krull de est finie; dans ce cas, la dimension globale de est égale à la dimension de Krull. Ce résultat peut être prouvé en utilisant le théorème de Serre sur des anneaux locaux réguliers . ${\ displaystyle A = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Voir également

• Théorème de Quillen – Suslin
• Série de Hilbert et polynôme de Hilbert

Les références

• David Eisenbud , Algèbre commutative. Avec une vue vers la géométrie algébrique . Textes diplômés en mathématiques, 150. Springer-Verlag, New York, 1995. xvi + 785 pages. ISBN   0-387-94268-8 ; ISBN   0-387-94269-6 MR 1322960
• "Théorème de Hilbert" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]