Quaternion hyperbolique - Hyperbolic quaternion

Multiplication de quaternions hyperboliques

×	1	je	j	k
1	1	je	j	k
je	je	+1	k	- j
j	j	- k	+1	je
k	k	j	- je	+1

En algèbre abstraite , l' algèbre des quaternions hyperboliques est une algèbre non associative sur les nombres réels avec des éléments de la forme

${\ displaystyle q = a + bi + cj + dk, \ quad a, b, c, d \ in \ mathbb {R} \!}$

où les carrés de i, j et k sont +1 et les éléments distincts de {i, j, k} se multiplient avec la propriété anti-commutative .

L'algèbre à quatre dimensions des quaternions hyperboliques incorpore certaines des caractéristiques de l'algèbre plus ancienne et plus grande des biquaternions . Ils contiennent tous les deux des sous-algèbres isomorphes au plan des nombres complexes fractionnés . De plus, tout comme l'algèbre quaternionale H peut être considérée comme une union de plans complexes , l'algèbre quaternionique hyperbolique est une union de plans de nombres complexes divisés partageant la même ligne réelle .

C'est Alexander Macfarlane qui a promu ce concept dans les années 1890 comme son Algebra of Physics , d'abord à travers l' American Association for the Advancement of Science en 1891, puis à travers son livre de 1894 de cinq articles sur l'analyse spatiale , et dans une série de conférences à Lehigh. Université en 1900.

Structure algébrique

Comme les quaternions , l'ensemble des quaternions hyperboliques forme un espace vectoriel sur les nombres réels de dimension 4. Une combinaison linéaire

${\ displaystyle q = a + bi + cj + dk}$

est un quaternion hyperbolique lorsque et sont des nombres réels et que l'ensemble de base a ces produits: ${\ Displaystyle a, b, c,}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ {1, i, j, k \}}$

${\ displaystyle ij = k = -ji}$

${\ displaystyle jk = i = -kj}$

${\ displaystyle ki = j = -ik}$

${\ displaystyle i ^ {2} = + 1 = j ^ {2} = k ^ {2}}$

En utilisant la propriété distributive , ces relations peuvent être utilisées pour multiplier deux quaternions hyperboliques quelconques.

Contrairement aux quaternions ordinaires, les quaternions hyperboliques ne sont pas associatifs . Par exemple,, tandis que . En fait, cet exemple montre que les quaternions hyperboliques ne sont même pas une algèbre alternative . ${\ displaystyle (ij) j = kj = -i}$${\ displaystyle i (jj) = i}$

Les trois premières relations montrent que les produits des éléments de base (non réels) sont anti-commutatifs . Bien que cet ensemble de base ne forme pas un groupe , l'ensemble

${\ Displaystyle \ {1, i, j, k, -1, -i, -j, -k \}}$

forme un quasi-groupe . On note également que tout sous-plan de l'ensemble M des quaternions hyperboliques qui contient l'axe réel forme un plan de nombres complexes scindés . Si

${\ displaystyle q ^ {*} = a-bi-cj-dk}$

est le conjugué de , puis le produit ${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle q (q ^ {*}) = a ^ {2} -b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2}}$

est la forme quadratique utilisée dans la théorie de l' espace-temps . En fait, pour les événements p et q , la forme bilinéaire

${\ displaystyle \ eta (p, q) = - p_ {0} q_ {0} + p_ {1} q_ {1} + p_ {2} q_ {2} + p_ {3} q_ {3}}$

apparaît comme le négatif de la partie réelle du produit de quaternion hyperbolique pq *, et est utilisé dans l'espace de Minkowski .

Notez que l'ensemble des unités U = { q  : qq * ≠ 0} n'est pas fermé par multiplication. Voir les références (lien externe) pour plus de détails.

Discussion

Les quaternions hyperboliques forment un anneau non associatif ; l'échec de l' associativité dans cette algèbre limite la facilité de cette algèbre dans la théorie de la transformation. Néanmoins, cette algèbre met l'accent sur la cinématique analytique en suggérant un modèle mathématique : Quand on sélectionne un vecteur unitaire r dans les quaternions hyperboliques, alors r ² = +1. Le plan à multiplication de quaternions hyperboliques est une sous-algèbre commutative et associative isomorphe au plan des nombres complexes fractionnés. Le verseur hyperbolique transforme D _r par ${\ displaystyle D_ {r} = \ lbrace t + xr: t, x \ in R \ rbrace}$ ${\ Displaystyle \ exp (ar) = \ cosh (a) + r \ sinh (a)}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} t + xr && \ mapsto \ quad & \ exp (ar) (t + xr) \\ && = \ quad & (\ cosh (a) t + x \ sinh (a)) + (\ sinh (a) t + x \ cosh (a)) r. \ end {aligné}}}$

Puisque la direction r dans l'espace est arbitraire, cette multiplication de quaternions hyperboliques peut exprimer n'importe quel boost de Lorentz en utilisant le paramètre a appelé rapidité . Cependant, l'algèbre des quaternions hyperboliques est déficiente pour représenter le groupe de Lorentz complet (voir biquaternion à la place).

Écrivant en 1967 sur le dialogue sur les méthodes vectorielles dans les années 1890, un historien a commenté

L'introduction d'un autre système d'analyse vectorielle, voire d'une sorte de système de compromis comme celui de Macfarlane, ne pouvait guère être bien accueillie par les partisans des systèmes déjà existants et aurait d'ailleurs probablement permis d'élargir la question au-delà de la compréhension du lecteur encore non initié. .

Géométrie

Plus tard, Macfarlane a publié un article dans les Actes de la Royal Society of Edinburgh en 1900. Il y traite un modèle d' espace hyperbolique H ³ sur l' hyperboloïde

${\ displaystyle H ^ {3} = \ {q \ in M: q (q ^ {*}) = 1 \}.}$

Ce modèle isotrope est appelé le modèle hyperboloïde et se compose de tous les verseurs hyperboliques dans l'anneau des quaternions hyperboliques.

Revue historique

Les années 1890 ressentirent l'influence des publications posthumes de WK Clifford et des groupes continus de Sophus Lie . Un exemple de groupe à un paramètre est le verseur hyperbolique avec le paramètre d' angle hyperbolique . Ce paramètre fait partie de la décomposition polaire d'un nombre complexe divisé. Mais c'est un aspect surprenant des mathématiques finies qui rend l'anneau de quaternion hyperbolique différent:

La base de l'espace vectoriel des quaternions hyperboliques n'est pas fermée par multiplication: par exemple ,. Néanmoins, l'ensemble est fermé sous multiplication. Il satisfait toutes les propriétés d'un groupe abstrait à l'exception de la propriété d'associativité; étant fini, c'est un carré latin ou quasigroupe , une structure mathématique périphérique . La perte de la propriété d'associativité de la multiplication telle que trouvée dans la théorie des quasigroupes n'est pas cohérente avec l'algèbre linéaire puisque toutes les transformations linéaires se composent de manière associative. Pourtant, dans les années 1890, les physiciens appelaient à la mutation des carrés de , et au lieu de  : Le physicien de l'Université de Yale Willard Gibbs avait des brochures avec le carré plus un dans son système vectoriel tridimensionnel. Oliver Heaviside, en Angleterre, a écrit des articles dans l' Electrician , un journal spécialisé, préconisant le carré positif. En 1892, il a rassemblé son travail dans Transactions of the Royal Society A où il dit que son système vectoriel est ${\ Displaystyle \ {1, \, i, \, j, \, k \}}$${\ displaystyle ji = - \! k}$${\ Displaystyle \ {1, \, i, \, j, \, k, \, - \! 1, \, - \! i, \, - \! j, \, - \! k \}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$

simplement les éléments de Quaternions sans quaternions, avec la notation simplifiée à l'extrême, et avec le signe moins très gênant avant le produit scalaire supprimé.

L'apparition des quaternions hyperboliques de Macfarlane avait donc une certaine motivation, mais la désagréable non-associativité précipita une réaction. Cargill Gilston Knott a été invité à offrir ce qui suit:

Théorème (Knott 1892)

Si une 4-algèbre sur la base est associative et que les produits hors diagonale sont donnés par les règles de Hamilton, alors . ${\ Displaystyle \ {1, \, i, \, j, \, k \}}$${\ Displaystyle i ^ {2} = - \! 1 = j ^ {2} = k ^ {2}}$

Preuve:

${\ Displaystyle j = ki = (- ji) i = -j (ii)}$ , donc . Cycle les lettres , , pour obtenir . QED . ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle i ^ {2} = - 1 = j ^ {2} = k ^ {2}}$

Ce théorème avait besoin d'être énoncé pour justifier la résistance à l'appel des physiciens et de l' électricien . Le quasigroupe a suscité un émoi considérable dans les années 1890: la revue Nature était particulièrement propice à une exposition de ce qui était connu en donnant deux résumés des travaux de Knott ainsi que ceux de plusieurs autres théoriciens des vecteurs. Michael J. Crowe consacre le chapitre six de son livre A History of Vector Analysis aux différentes vues publiées et note le quaternion hyperbolique:

Macfarlane a construit un nouveau système d'analyse vectorielle plus en harmonie avec le système de Gibbs – Heaviside qu'avec le système quaternion. ... il ... a défini un produit complet de deux vecteurs qui était comparable au produit du quaternion complet sauf que la partie scalaire était positive et non négative comme dans l'ancien système.

En 1899, Charles Jasper Joly nota le quaternion hyperbolique et la propriété de non-associativité tout en attribuant son origine à Oliver Heaviside.

Les quaternions hyperboliques, comme l' Algèbre de la physique , contredisent l'affirmation selon laquelle les quaternions ordinaires sont faits sur la physique. Quant aux mathématiques, le quaternion hyperbolique est un autre nombre hypercomplexe , comme on appelait de telles structures à l'époque. Dans les années 1890, Richard Dedekind avait introduit le concept d' anneau dans l'algèbre commutative, et le concept d' espace vectoriel était en cours d'abstraction par Giuseppe Peano . En 1899, Alfred North Whitehead a fait la promotion de l'algèbre universelle , plaidant pour l'inclusivité. Les concepts de quasigroupe et d' algèbre sur un champ sont des exemples de structures mathématiques décrivant des quaternions hyperboliques.

Papier quaternion hyperbolique de Macfarlane de 1900

Le Proceedings of the Royal Society of Edinburgh a publié "Hyperbolic Quaternions" en 1900, un article dans lequel Macfarlane retrouve l'associativité pour la multiplication en revenant à des quaternions complexifiés . Là-bas, il a utilisé certaines expressions rendues plus tard célèbres par Wolfgang Pauli : où Macfarlane a écrit

${\ displaystyle ij = k {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle jk = i {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle ki = j {\ sqrt {-1}},}$

les matrices de Pauli satisfont

${\ displaystyle \ sigma _ {1} \ sigma _ {2} = \ sigma _ {3} {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {2} \ sigma _ {3} = \ sigma _ {1} {\ sqrt {-1}}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {3} \ sigma _ {1} = \ sigma _ {2} {\ sqrt {-1}}}$

en se référant aux mêmes quaternions complexifiés.

La phrase d'ouverture de l'article est "Il est bien connu que les quaternions sont intimement liés à la trigonométrie sphérique et en fait ils réduisent le sujet à une branche de l'algèbre." Cette affirmation peut être vérifiée en se référant au travail contemporain Vector Analysis qui fonctionne avec un système de quaternions réduit basé sur le produit scalaire et le produit croisé . Dans l'article de Macfarlane, il y a un effort pour produire "la trigonométrie à la surface des hyperboloïdes équilatéraux" à travers l'algèbre des quaternions hyperboliques, maintenant réidentifiés dans un anneau associatif de huit dimensions réelles. L'effort est renforcé par une planche de neuf figures à la page 181. Elles illustrent la puissance descriptive de sa méthode «d'analyse spatiale». Par exemple, la figure 7 est le diagramme de Minkowski couramment utilisé aujourd'hui en relativité restreinte pour discuter du changement de vitesse d'un cadre de référence et de la relativité de la simultanéité .

À la page 173, Macfarlane développe sa plus grande théorie des variables de quaternions. A titre de contraste, il note que Felix Klein semble ne pas regarder au-delà de la théorie des quaternions et de la rotation spatiale .

Les références