Théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés - Fermat's theorem on sums of two squares

Dans la théorie additive des nombres , le théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés stipule qu'un nombre premier impair p peut être exprimé par :

${\style d'affichage p=x^{2}+y^{2},}$

avec des entiers x et y , si et seulement si

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

Les nombres premiers pour lesquels cela est vrai sont appelés nombres premiers de Pythagore . Par exemple, les nombres premiers 5, 13, 17, 29, 37 et 41 sont tous congrus à 1 modulo 4, et ils peuvent être exprimés comme des sommes de deux carrés des manières suivantes :

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\ quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}$

D'autre part, les nombres premiers 3, 7, 11, 19, 23 et 31 sont tous congrus à 3 modulo 4, et aucun d'entre eux ne peut être exprimé comme la somme de deux carrés. C'est la partie la plus facile du théorème, et découle immédiatement de l'observation que tous les carrés sont congrus à 0 ou 1 modulo 4.

Puisque l' identité de Diophante implique que le produit de deux entiers dont chacun peut s'écrire comme la somme de deux carrés est lui-même exprimable comme la somme de deux carrés, en appliquant le théorème de Fermat à la factorisation première de tout entier positif n , on voit que si tous les facteurs premiers de n congruents à 3 modulo 4 se présentent à un exposant pair, alors n est exprimable comme somme de deux carrés. L'inverse est également valable. Cette généralisation du théorème de Fermat est connue sous le nom de théorème de la somme des deux carrés .

Histoire

Albert Girard a été le premier à faire l'observation, décrivant tous les nombres entiers positifs (pas nécessairement premiers) exprimables comme la somme de deux carrés d'entiers positifs; cela a été publié en 1625. L'affirmation selon laquelle chaque premier p de la forme 4n+1 est la somme de deux carrés est parfois appelée théorème de Girard . De son côté, Fermat rédige une version élaborée de l'énoncé (dans laquelle il donne également le nombre d'expressions possibles des puissances de p comme somme de deux carrés) dans une lettre à Marin Mersenne datée du 25 décembre 1640 : pour cette raison cette version du théorème est parfois appelée théorème de Noël de Fermat.

nombres premiers gaussiens

Le théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés est fortement lié à la théorie des nombres premiers gaussiens .

Un entier gaussien est un nombre complexe tel que a et b sont des entiers. La norme d'un entier gaussien est un entier égal au carré de la valeur absolue de l'entier gaussien. La norme d'un produit d'entiers gaussiens est le produit de leur norme. C'est l'identité de Diophante , qui résulte immédiatement de la propriété similaire de la valeur absolue. ${\style d'affichage a+ib}$ ${\style d'affichage N(a+ib)=a^{2}+b^{2}}$

Les entiers gaussiens forment un domaine idéal principal . Cela implique que les nombres premiers gaussiens peuvent être définis de la même manière que les nombres premiers, c'est-à-dire comme les entiers gaussiens qui ne sont pas le produit de deux non-unités (ici les unités sont 1, −1, i et − i ).

La propriété multiplicative de la norme implique qu'un nombre premier p est soit un nombre premier gaussien, soit la norme d'un nombre premier gaussien. Le théorème de Fermat affirme que le premier cas se produit quand et que le second cas se produit quand et Le dernier cas n'est pas considéré dans l'énoncé de Fermat, mais est trivial, car${\style d'affichage p=4k+3,}$${\style d'affichage p=4k+1}$${\style d'affichage p=2.}$${\style d'affichage 2=1^{2}+1^{2}=N(1+i).}$

Résultats associés

Le point de vue ci-dessus sur le théorème de Fermat est un cas particulier de la théorie de la factorisation des idéaux en anneaux d'entiers quadratiques . En résumé, si est l'anneau d' entiers algébriques dans le corps quadratique , alors un nombre premier impair p , ne divisant pas d , est soit un élément premier dans soit la norme idéale d'un idéal dont l' idéal est nécessairement premier. De plus, la loi de réciprocité quadratique permet de distinguer les deux cas en termes de congruences. Si est un domaine idéal principal , alors p est une norme idéale si et seulement ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}},}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}}$

${\displaystyle 4p=a^{2}-db^{2},}$

avec a et b deux entiers.

Dans une lettre à Blaise Pascal datée du 25 septembre 1654, Fermat annonce les deux résultats suivants qui sont essentiellement les cas particuliers et Si p est un nombre premier impair, alors ${\style d'affichage d=-2}$${\style d'affichage d=-3.}$

${\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ ou }}p\equiv 3{\pmod {8}},}$

${\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}\iff p\equiv 1{\pmod {3}}.}$

Fermat a aussi écrit :

Si deux nombres premiers qui se terminent par 3 ou 7 et dépassent par 3 un multiple de 4 sont multipliés, alors leur produit sera composé d'un carré et du quintuple d'un autre carré.

En d'autres termes, si p, q sont de la forme 20 k + 3 ou 20 k + 7 , alors pq = x ² + 5 y ² . Euler a étendu plus tard cela à la conjecture que

${\displaystyle p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ ou }}p\equiv 9{\pmod {20}},}$

${\displaystyle 2p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 3{\mbox{ ou }}p\equiv 7{\pmod {20}}.}$

L'affirmation de Fermat et la conjecture d'Euler ont été établies par Joseph-Louis Lagrange . Cette formulation plus compliquée repose sur le fait qu'il ne s'agit pas d'un domaine idéal principal, contrairement à et${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-2}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-3}}.}$

Algorithme

Il existe un algorithme trivial pour décomposer un nombre premier de la forme en une somme de deux carrés : Pour tout n tel , testez si la racine carrée de est un entier. Si c'est le cas, on a la décomposition. ${\style d'affichage p=4k+1}$${\displaystyle 1\leq n<{\sqrt {p}}}$${\displaystyle pn^{2}}$

Cependant, la taille d'entrée de l'algorithme est le nombre de chiffres de p (jusqu'à un facteur constant qui dépend de la base numérique ). Le nombre de tests nécessaires est de l'ordre de et donc exponentiel dans la taille de l'entrée. La complexité de calcul de cet algorithme est donc exponentielle . ${\displaystyle \log p,}$${\displaystyle {\sqrt {p}}=\exp \left({\frac {\log p}{2}}\right),}$

Un algorithme à complexité polynomiale a été décrit par Stan Wagon en 1990, à partir des travaux de Serret et Hermite (1848) et de Cornacchia (1908).

La description

Étant donné un nombre premier impair sous la forme , trouvez d'abord tel que . Cela peut être fait en trouvant un modulo de non-résidus quadratique , disons , et en laissant . ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage 4k+1}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle x=q^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}}$

Un tel satisfera la condition puisque les non-résidus quadratiques satisfont . ${\style d'affichage x}$${\displaystyle q^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}$

Une fois déterminé, on peut appliquer l' algorithme d'Euclide avec et . Notons les deux premiers restes inférieurs à la racine carrée de as et . Ce sera alors le cas . ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage a^{2}+b^{2}=p}$

Exemple

Prenez . Un non-résidu quadratique possible pour 97 est 13, puisque . alors on laisse . L'algorithme d'Euclide appliqué à 97 et 22 donne : ${\style d'affichage p=97}$${\displaystyle 13^{\frac {97-1}{2}}\equiv -1{\pmod {97}}}$${\displaystyle x=13^{\frac {97-1}{4}}=22{\pmod {97}}}$

Les deux premiers restes plus petits que la racine carrée de 97 sont 9 et 4 ; et en effet nous avons , comme prévu. ${\style d'affichage 97=9^{2}+4^{2}}$

Preuves

Fermat n'a généralement pas écrit de preuves de ses affirmations, et il n'a pas fourni de preuve de cette déclaration. La première preuve a été trouvée par Euler après beaucoup d'efforts et est basée sur une descente infinie . Il l'annonça dans deux lettres à Goldbach , le 6 mai 1747 et le 12 avril 1749 ; il en publia la preuve détaillée dans deux articles (entre 1752 et 1755). Lagrange a donné une preuve en 1775 qui était basée sur son étude des formes quadratiques . Cette preuve a été simplifiée par Gauss dans ses Disquisitiones Arithmeticae (art. 182). Dedekind a donné au moins deux preuves basées sur l'arithmétique des entiers gaussiens . Il existe une preuve élégante utilisant le théorème de Minkowski sur les ensembles convexes. Simplifiant une preuve courte antérieure due à Heath-Brown (qui s'inspirait de l'idée de Liouville ), Zagier a présenté une preuve non constructive en une phrase en 1990. Et plus récemment Christopher a donné une preuve de théorie de la partition .

Preuve d'Euler par descendance infinie

Euler réussit à prouver le théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés en 1749, alors qu'il avait quarante-deux ans. Il l'a communiqué dans une lettre à Goldbach datée du 12 avril 1749. La preuve repose sur une descendance infinie et n'est que brièvement esquissée dans la lettre. La preuve complète consiste en cinq étapes et est publiée en deux articles. Les quatre premières étapes sont les propositions 1 à 4 du premier article et ne correspondent pas exactement aux quatre étapes ci-dessous. La cinquième étape ci-dessous provient du deuxième article.

Pour éviter toute ambiguïté, zéro sera toujours un constituant possible valide des "sommes de deux carrés", ainsi, par exemple, chaque carré d'un entier est trivialement exprimable comme la somme de deux carrés en définissant l'un d'eux à zéro.

1. Le produit de deux nombres, dont chacun est une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés.

Il s'agit d'une propriété bien connue, basée sur l'identité

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

dû à Diophante .

2. Si un nombre qui est une somme de deux carrés est divisible par un nombre premier qui est une somme de deux carrés, alors le quotient est une somme de deux carrés. (C'est la première proposition d'Euler).

En effet, supposons par exemple que soit divisible par et que ce dernier soit un nombre premier. puis divise ${\style d'affichage a^{2}+b^{2}}$${\style d'affichage p^{2}+q^{2}}$${\style d'affichage p^{2}+q^{2}}$

${\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^ {2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).}$

Puisque est un nombre premier, il divise l'un des deux facteurs. Supposons qu'il se divise . Depuis ${\style d'affichage p^{2}+q^{2}}$${\displaystyle pb-aq}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

(l'identité de Diophante) il s'ensuit que doit diviser . L'équation peut donc être divisée par le carré de . En divisant l'expression par les rendements : ${\style d'affichage p^{2}+q^{2}}$${\style d'affichage (ap+bq)^{2}}$${\style d'affichage p^{2}+q^{2}}$${\style d'affichage (p^{2}+q^{2})^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2 }+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

et exprime ainsi le quotient comme une somme de deux carrés, comme revendiqué.

D'autre part, si divise , un argument similaire tient en utilisant la variante suivante de l'identité de Diophante : ${\style d'affichage p^{2}+q^{2}}$${\style d'affichage pb+aq}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}. }$

3. Si un nombre qui peut être écrit comme une somme de deux carrés est divisible par un nombre qui n'est pas une somme de deux carrés, alors le quotient a un facteur qui n'est pas une somme de deux carrés. (C'est la deuxième proposition d'Euler).

Supposons qu'un nombre ne s'exprime pas comme une somme de deux carrés, qui divise . Écrivez le quotient, factorisé dans ses facteurs premiers (éventuellement répétés), de telle sorte que . Si tous les facteurs peuvent être écrits comme des sommes de deux carrés, alors nous pouvons diviser successivement par , , etc., et en appliquant l'étape (2.) ci-dessus, nous en déduisons que chaque quotient successif, plus petit, est une somme de deux carrés. Si nous descendons jusqu'au bout, alors lui-même devrait être égal à la somme de deux carrés, ce qui est une contradiction. Donc au moins un des nombres premiers n'est pas la somme de deux carrés.${\style d'affichage q}$${\style d'affichage a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$${\style d'affichage p_{i}}$${\style d'affichage a^{2}+b^{2}}$${\style d'affichage p_{1}}$${\style d'affichage p_{2}}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage p_{i}}$

4. Si et sont des entiers positifs relativement premiers, alors chaque facteur de est une somme de deux carrés. ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage a^{2}+b^{2}}$ (C'est l'étape qui utilise l'étape (3.) pour produire une "descente infinie" et était la proposition 4 d'Euler. La preuve esquissée ci-dessous comprend également la preuve de sa proposition 3).

Soit des entiers positifs relativement premiers : sans perte de généralité n'est pas lui-même premier, sinon il n'y a rien à prouver. Soit donc un facteur propre de , pas nécessairement premier : on veut montrer que c'est une somme de deux carrés. Encore une fois, on ne perd rien à supposer puisque le cas est évident.${\style d'affichage a,b}$ ${\style d'affichage a^{2}+b^{2}}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage a^{2}+b^{2}}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle q>2}$${\style d'affichage q=2=1^{2}+1^{2}}$

Soit des entiers non négatifs tels que les multiples les plus proches de (en valeur absolue) à respectivement. Notez que les différences et sont des entiers de valeur absolue strictement inférieurs à : en effet, quand est pair, pgcd ; sinon depuis pgcd , nous aurions aussi pgcd .${\style d'affichage m,n}$${\style d'affichage mq,nq}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage a,b}$${\displaystyle c=a-mq}$${\style d'affichage d=b-nq}$${\style d'affichage q/2}$${\displaystyle q>2}$${\style d'affichage (a,q/2)=1}$${\displaystyle (a,q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}}$${\style d'affichage (a,q/2)\mid b}$

En multipliant on obtient

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{ 2}=Aq+(c^{2}+d^{2})}$

définissant de manière unique un entier non négatif . Puisque divise les deux extrémités de cette séquence d'équations, il s'ensuit que doit également être divisible par : disons . Soit le pgcd de et qui par le co-prime de est relativement premier à . Ainsi divise , donc en écrivant , et , nous obtenons l'expression pour relativement premier et , et avec , puisque ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage c^{2}+d^{2}}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage c^{2}+d^{2}=qr}$${\style d'affichage g}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage d}$${\style d'affichage a,b}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage g^{2}}$${\style d'affichage r}$${\style d'affichage e=c/g}$${\style d'affichage f=d/g}$${\displaystyle s=r/g^{2}}$${\displaystyle e^{2}+f^{2}=qs}$${\style d'affichage e}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage s<q/2}$

${\displaystyle qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2} +\gauche({\frac {q}{2}}\droite)^{2}=q^{2}/2.}$

Maintenant enfin, le pas de descente : si ce n'est pas la somme de deux carrés, alors par le pas (3.) il doit y avoir un facteur dont on peut dire qu'il n'est pas la somme de deux carrés. Mais et ainsi en répétant ces étapes (initialement avec à la place de , et ainsi de suite à l' infini ) nous pourrons trouver une suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs qui ne sont pas eux-mêmes les sommes de deux carrés mais qui se divisent en une somme de deux carrés relativement premiers. Puisqu'une telle descente infinie est impossible, nous concluons que doit être exprimable comme une somme de deux carrés, comme on le prétend.${\style d'affichage q}$${\displaystyle q_{1}}$${\style d'affichage s}$${\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q}$${\displaystyle e,f;q_{1}}$${\style d'affichage a,b;q}$${\displaystyle q,q_{1},q_{2},\ldots }$${\style d'affichage q}$

5. Chaque nombre premier de la forme est une somme de deux carrés. ${\style d'affichage 4n+1}$ (C'est le résultat principal du deuxième article d'Euler).

Si , alors par le petit théorème de Fermat chacun des nombres est congru à un modulo . Les différences sont donc toutes divisibles par . Chacune de ces différences peut être prise en compte comme ${\style d'affichage p=4n+1}$${\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}$${\style d'affichage p}$

${\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right). }$

Puisque est premier, il doit diviser l'un des deux facteurs. Si dans l'un des cas, il divise le premier facteur, alors par l'étape précédente, nous concluons que c'est lui-même une somme de deux carrés (puisque et diffèrent de , ils sont relativement premiers). Il suffit donc de montrer qu'on ne peut pas toujours diviser le deuxième facteur. S'il divise toutes les différences , alors il diviserait toutes les différences de termes successifs, toutes les différences des différences, et ainsi de suite. Puisque les e différences de la séquence sont toutes égales à ( Différence finie ), les e différences seraient toutes constantes et égales à , ce qui n'est certainement pas divisible par . Par conséquent, ne peut pas diviser tous les seconds facteurs qui prouvent que c'est bien la somme de deux carrés.${\style d'affichage p}$${\style d'affichage 4n-1}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage 1}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage 4n-1}$${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$${\style d'affichage 4n-2}$${\style d'affichage 4n-3}$${\style d'affichage k}$${\displaystyle 1^{k},2^{k},3^{k},\dots }$${\style d'affichage k!}$${\style d'affichage 2n}$${\style d'affichage (2n) !}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$

La preuve de Lagrange par les formes quadratiques

Lagrange a terminé une preuve en 1775 sur la base de sa théorie générale des formes quadratiques intégrales . La présentation suivante intègre une légère simplification de son argumentation, due à Gauss , qui apparaît à l'article 182 des Disquisitiones Arithmeticae .

Une forme quadratique ( binaire intégrale ) est une expression de la forme avec des nombres entiers. Un nombre est dit représenté par la forme s'il existe des entiers tels que . Le théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés est alors équivalent à l'énoncé qu'un nombre premier est représenté par la forme (c'est-à-dire, , ) exactement quand est congru à modulo . ${\displaystyle hache^{2}+bxy+cy^{2}}$${\style d'affichage a,b,c}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage x,y}$${\displaystyle n=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage x^{2}+y^{2}}$${\style d'affichage a=c=1}$${\style d'affichage b=0}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage 1}$${\style d'affichage 4}$

Le discriminant de la forme quadratique est défini comme étant . Le discriminant de est alors égal à . ${\style d'affichage b^{2}-4ac}$${\style d'affichage x^{2}+y^{2}}$${\style d'affichage -4}$

Deux formes et sont équivalentes si et seulement s'il existe des substitutions à coefficients entiers ${\displaystyle hache^{2}+bxy+cy^{2}}$${\displaystyle a'x'^{2}+b'x'y'+c'y'^{2}}$

${\displaystyle x=\alpha x'+\beta y'}$

${\displaystyle y=\gamma x'+\delta y'}$

avec tel que, lorsqu'il est substitué dans la première forme, céder le second. On voit facilement que les formes équivalentes ont le même discriminant, et donc aussi la même parité pour le coefficient médian , qui coïncide avec la parité du discriminant. De plus, il est clair que des formes équivalentes représenteront exactement les mêmes nombres entiers, car ce genre de substitutions peut être inversé par des substitutions du même genre. ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$${\style d'affichage b}$

Lagrange a prouvé que toutes les formes définies positives du discriminant -4 sont équivalentes. Ainsi, pour prouver le théorème de Fermat, il suffit de trouver une forme définie positive du discriminant −4 qui représente . Par exemple, on peut utiliser un formulaire ${\style d'affichage p}$

${\displaystyle px^{2}+2mxy+\left({\frac {m^{2}+1}{p}}\right)y^{2},}$

où le premier coefficient a  = a  été choisi de sorte que la forme représente en fixant x  = 1 et y  = 0, le coefficient b  = 2 m est un nombre pair arbitraire (comme il se doit, pour obtenir un discriminant pair), et enfin est choisi pour que le discriminant soit égal à -4, ce qui garantit que la forme est bien équivalente à . Bien sûr, le coefficient doit être un entier, donc le problème se réduit à trouver un entier m tel qui divise : ou en d'autres termes, une 'racine carrée de -1 modulo ' . ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$${\displaystyle b^{2}-4ac=4m^{2}-4pc}$${\style d'affichage x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage m^{2}+1}$${\style d'affichage p}$

Nous prétendons qu'une telle racine carrée de est donnée par . Premièrement, il résulte du théorème fondamental de l'arithmétique d'Euclide que . Par conséquent, : c'est-à-dire sont leurs propres inverses modulo et cette propriété leur est propre. Il résulte alors de la validité de la division euclidienne dans les nombres entiers, et du fait qu'elle est première, que pour tout le pgcd de et peut être exprimé via l' algorithme euclidien donnant un inverse unique et distinct de modulo . En particulier donc le produit de tous les résidus non nuls modulo est . Soit : d'après ce qui vient d'être observé, . Mais par définition, puisque chaque terme dans peut être apparié avec son négatif dans , , qui depuis est impair montre que , comme requis. ${\style d'affichage -1}$${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}k}$${\displaystyle ab\equiv 0{\pmod {p}}\iff a\equiv 0{\pmod {p}}\ \ {\hbox{ou}}\ \ b\equiv 0{\pmod {p}}}$${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}\iff a\equiv \pm 1{\pmod {p}}}$${\style d'affichage \pm 1}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle 2\leq a\leq p-2}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle a^{-1}\neq a}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage -1}$${\displaystyle L=\prod _{l={\frac {p+1}{2}}}^{p-1}l}$${\displaystyle KL\equiv -1{\pmod {p}}}$${\style d'affichage K}$${\style d'affichage L}$${\displaystyle L=(-1)^{\frac {p-1}{2}}K}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle K^{2}\equiv -1{\pmod {p}}\iff p\equiv 1{\pmod {4}}}$

Les deux preuves de Dedekind utilisant des entiers gaussiens

Richard Dedekind a donné au moins deux preuves du théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés, toutes deux utilisant les propriétés arithmétiques des entiers gaussiens , qui sont des nombres de la forme a  +  bi , où a et b sont des entiers, et i est la racine carrée de -1. L'un apparaît dans la section 27 de son exposé d'idéaux publié en 1877 ; le second est apparu dans le Supplément XI à Peter Gustav Lejeune Dirichlet de Vorlesungen über Zahlentheorie , et a été publié en 1894.

1. Première preuve. Si est un nombre premier impair , alors nous avons dans les entiers gaussiens. Par conséquent, en écrivant un entier gaussien ω =  x  +  iy avec x,y  ∈  Z et en appliquant l' automorphisme de Frobenius dans Z [ i ]/( p ), on trouve ${\style d'affichage p}$${\displaystyle i^{p-1}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

${\displaystyle \omega ^{p}=(x+yi)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}i^{p}\equiv x+(-1)^{\frac {p -1}{2}}yi{\pmod {p}},}$

puisque l'automorphisme fixe les éléments de Z /( p ). Dans le cas présent, pour un nombre entier n, et donc dans l'expression ci-dessus pour ^p , l'exposant (p-1)/2 de -1 est pair. Par conséquent, le membre de droite est égal à ω, donc dans ce cas l'endomorphisme de Frobenius de Z [ i ]/( p ) est l'identité. ${\style d'affichage p=4n+1}$

Kummer avait déjà établi que si f {1,2 } est l' ordre de l'automorphisme de Frobenius de Z [ i ]/( p ), alors l' idéal dans Z [ i ] serait un produit de 2/ f idéaux premiers distincts . (En fait, Kummer avait établi un résultat beaucoup plus général pour toute extension de Z obtenue en adjoignant une racine m- ième primitive de l'unité , où m était un entier positif quelconque ; c'est le cas m = 4 de ce résultat.) Par conséquent, l'idéal ( p ) est le produit de deux idéaux premiers différents dans Z [ i ]. Puisque les entiers gaussiens sont un domaine euclidien pour la fonction de norme , tout idéal est principal et engendré par un élément non nul de l'idéal de norme minimale. Puisque la norme est multiplicative, la norme d'un générateur d'un des facteurs idéaux de ( p ) doit être un strict diviseur de , de sorte que nous devons avoir , ce qui donne le théorème de Fermat. ${\style d'affichage (p)}$${\style d'affichage N(x+iy)=x^{2}+y^{2}}$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage N(p)=p^{2}}$${\displaystyle p=N(\alpha )=N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$

2. Deuxième preuve. Cette preuve s'appuie sur le résultat de Lagrange selon lequel si est un nombre premier, alors il doit exister un entier m tel qu'il soit divisible par p (on peut aussi le voir par le critère d' Euler ) ; il utilise également le fait que les entiers gaussiens sont un domaine de factorisation unique (car ils sont un domaine euclidien). Etant donné que p ∈ Z ne divise pas l'un des nombres entiers gaussiens et (comme il ne divise pas les parties imaginaires ), mais il ne divise leur produit , il en résulte que ne peut pas être un premier élément des nombres entiers gaussiens. On doit donc avoir une factorisation non triviale de p dans les entiers gaussiens, qui compte tenu de la norme ne peut avoir que deux facteurs (puisque la norme est multiplicative, et , il ne peut y avoir que deux facteurs de p), il doit donc être de la forme pour certains entiers et . Cela donne immédiatement cela . ${\style d'affichage p=4n+1}$${\style d'affichage m^{2}+1}$${\style d'affichage m+i}$${\displaystyle mi}$${\style d'affichage m^{2}+1}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p^{2}=N(p)}$${\style d'affichage p=(x+yi)(x-yi)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage p=x^{2}+y^{2}}$

Preuve par le théorème de Minkowski

Pour congruent à mod un premier, est un résidu quadratique mod par le critère d' Euler . Il existe donc un entier tel que divise . Soit les éléments de base standard pour l' espace vectoriel et l'ensemble et . Considérez le treillis . Si alors . Ainsi divise pour tout . ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage 1}$${\style d'affichage 4}$${\style d'affichage -1}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage m^{2}+1}$${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\vec {u}}={\hat {i}}+m{\hat {j}}}$${\displaystyle {\vec {v}}=0{\hat {i}}+p{\hat {j}}}$ ${\displaystyle S=\{a{\vec {u}}+b{\vec {v}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle {\vec {w}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}=a{\hat {i}}+(am+bp){\hat {j}} \dans S}$${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}\equiv a^{2}+(am+bp)^{2}\equiv a^{2}(1+m^{2} )\équiv 0{\pmod {p}}}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}}$${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$

L'aire du parallélogramme fondamental du réseau est . L'aire du disque ouvert, , de rayon centré autour de l'origine est . De plus, est convexe et symétrique par rapport à l'origine. Par conséquent, d'après le théorème de Minkowski, il existe un vecteur non nul tel que . Les deux et ainsi . D'où la somme des carrés des composantes de . ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage D}$${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$${\style d'affichage 2\pi p>4p}$${\style d'affichage D}$${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$${\displaystyle {\vec {w}}\in D}$${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}<2p}$${\displaystyle p\mid \|{\vec {w}}\|^{2}}$${\displaystyle p=\|{\vec {w}}\|^{2}}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle {\vec {w}}}$

La "preuve en une phrase" de Zagier

Soit premier, désignons les nombres naturels (avec ou sans zéro), et considérons l'ensemble fini de triplets de nombres. A alors deux involutions : une évidente dont les points fixes correspondent à des représentations de comme somme de deux carrés, et une plus compliquée, ${\style d'affichage p=4k+1}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}$${\style d'affichage (x,y,y)}$${\style d'affichage p}$

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~yxz),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<yz\\ (2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,yz<x<2y\\(x-2y,~x-y+z, ~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}$

qui a exactement un point fixe . Deux involutions sur le même ensemble fini doivent avoir des ensembles de points fixes avec la même parité , et puisque la deuxième involution a un nombre impair de points fixes, la première aussi. Zéro est pair, donc la première involution a un nombre de points fixes non nul, dont chacun donne une représentation de comme somme de deux carrés. ${\style d'affichage (1,1,k)}$${\style d'affichage p}$

Cette preuve, due à Zagier , est une simplification d'une preuve antérieure par Heath-Brown , qui à son tour s'inspirait d'une preuve de Liouville . La technique de la preuve est un analogue combinatoire du principe topologique selon lequel les caractéristiques d'Euler d'un espace topologique avec une involution et de son ensemble à virgule fixe ont la même parité et rappelle l'utilisation d' involutions à signe inversé dans les preuves de bijections combinatoires.

Cette preuve est équivalente à une preuve géométrique ou "visuelle" utilisant des figures "de moulin à vent", donnée par Alexander Spivak en 2006 et décrite dans cet article MathOverflow et cette vidéo YouTube de Mathologer Pourquoi cette preuve visuelle a-t-elle été manquée pendant 400 ans ? (théorème des deux carrés de Fermat) sur YouTube .

Preuve avec la théorie des partitions

En 2016, A. David Christopher a donné une preuve de la théorie des partitions en considérant des partitions du nombre premier impair ayant exactement deux tailles , chacune se produisant exactement à des instants, et en montrant qu'au moins une telle partition existe si est congruente à 1 modulo 4. ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage a_{i}(i=1,2)}$${\style d'affichage a_{i}}$${\style d'affichage n}$

Voir également

• Théorème des trois carrés de Legendre
• Le théorème des quatre carrés de Lagrange
• Constante de Landau–Ramanujan
• Lemme de Thue

Les références

Remarques

Liens externes

• Deux autres preuves sur PlanetMath.org
• "Une preuve en une phrase du théorème" . Archivé de l'original le 5 février 2012.Maintenance CS1 : URL inappropriée ( lien )
• Théorème des deux carrés de Fermat , DR Heath-Brown, 1984.