La Géométrie -La Géométrie

Fait partie d' une série sur
René Descartes
Portrait de René Descartes, buste, de trois-quarts à gauche dans une bordure ovale, (fond blanc supprimé).png
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La Géométrie a été publiée en 1637 en annexe au Discours de la méthode ( Discours de la méthode ), écrit par René Descartes . Dans le Discours , il présente sa méthode pour obtenir des éclaircissements sur n'importe quel sujet. La Géométrie et deux autres annexes, également de Descartes, La Dioptrique ( Optique ) et Les Météores ( Météorologie ), ont été publiées avec le Discours pour donner des exemples du genre de succès qu'il avait obtenus suivant sa méthode (ainsi que, peut-être, le climat social européen contemporain de compétitivité intellectuelle, pour montrer un peu à un public plus large).

La Géométrie

Le travail a été le premier à proposer l'idée d'unir l'algèbre et la géométrie en un seul sujet et a inventé une géométrie algébrique appelée géométrie analytique , qui consiste à réduire la géométrie à une forme d' arithmétique et d' algèbre et à traduire les formes géométriques en équations algébriques. Pour l'époque, c'était révolutionnaire. Il a également contribué aux idées mathématiques de Leibniz et de Newton et a donc joué un rôle important dans le développement du calcul.

Le texte

Cette annexe est divisée en trois "livres".

Le livre I s'intitule Problèmes qui peuvent être construits au moyen de cercles et de lignes droites uniquement. Dans ce livre, il introduit la notation algébrique qui est encore en usage aujourd'hui. Les lettres à la fin de l'alphabet, à savoir, x , y , z , etc. doivent désigner des variables inconnues, tandis que celles au début de l'alphabet, a , b , c , etc. désignent des constantes. Il introduit la notation exponentielle moderne pour les puissances (sauf pour les carrés, où il a conservé l'ancienne tradition d'écrire des lettres répétées, telles que, aa ). Il rompt également avec la tradition grecque d'associer les pouvoirs à des référents géométriques, un 2 à une aire, un 3 à un volume, etc., et les traite tous comme des longueurs possibles de segments de droite. Ces dispositifs de notation lui permettent de décrire une association de nombres à des longueurs de segments de ligne qui pourraient être construites à la règle et au compas . La majeure partie du reste de ce livre est occupée par la solution de Descartes aux "problèmes de locus de Pappus ". Selon Pappus, étant donné trois ou quatre lignes dans un plan, le problème est de trouver le lieu d'un point qui se déplace de sorte que le produit des distances de deux des lignes fixes (le long des directions spécifiées) est proportionnel au carré de la distance à la troisième ligne (dans le cas des trois lignes) ou proportionnelle au produit des distances aux deux autres lignes (dans le cas des quatre lignes). En résolvant ces problèmes et leurs généralisations, Descartes prend deux segments de droite comme inconnus et les désigne x et y . Les segments de ligne connus sont désignés a , b , c , etc. L'idée germinale d'un système de coordonnées cartésiennes peut être retracée à ce travail.

Dans le deuxième livre, intitulé De la nature des lignes courbes , Descartes décrit deux sortes de courbes, appelées par lui géométriques et mécaniques . Les courbes géométriques sont celles qui sont maintenant décrites par des équations algébriques à deux variables, cependant, Descartes les a décrites cinématiquement et une caractéristique essentielle était que tous leurs points pouvaient être obtenus par construction à partir de courbes d'ordre inférieur. Cela représentait une expansion au-delà de ce qui était permis par les constructions à la règle et au compas. D'autres courbes comme la quadratrice et la spirale , dont seuls certains points pouvaient être construits, étaient qualifiées de mécaniques et n'étaient pas considérées comme adaptées à une étude mathématique. Descartes a également conçu une méthode algébrique pour trouver la normale en tout point d'une courbe dont l'équation est connue. La construction des tangentes à la courbe suit alors facilement et Descartes a appliqué cette procédure algébrique pour trouver des tangentes à plusieurs courbes.

Le troisième livre, De la construction des problèmes solides et supersolides , est plus proprement algébrique que géométrique et concerne la nature des équations et la manière dont elles peuvent être résolues. Il recommande que tous les termes d'une équation soient placés d'un côté et mis égaux à 0 pour faciliter la résolution. Il rappelle le théorème des facteurs pour les polynômes et donne une preuve intuitive qu'un polynôme de degré n a n racines. Il a systématiquement discuté des racines négatives et imaginaires des équations et a explicitement utilisé ce qui est maintenant connu sous le nom de règle des signes de Descartes .

Conséquences

Descartes a écrit La Géométrie en français plutôt que la langue utilisée pour la plupart des publications savantes à l'époque, le latin. Son style d'exposition était loin d'être clair, le matériel n'était pas organisé de manière systématique et il ne donnait généralement que des indications d'épreuves, laissant beaucoup de détails au lecteur. Son attitude vis-à-vis de l'écriture est indiquée par des affirmations telles que « Je ne me suis pas engagé à tout dire » ou « Cela me fatigue déjà d'écrire tant à ce sujet », qui reviennent fréquemment. Descartes justifie ses omissions et ses obscurités par la remarque que beaucoup a été volontairement omis « afin de donner aux autres le plaisir de le découvrir par eux-mêmes ».

Descartes est souvent crédité d'avoir inventé le plan de coordonnées parce qu'il avait les concepts pertinents dans son livre, cependant, nulle part dans La Géométrie, le système de coordonnées rectangulaires moderne n'apparaît. Ceci et d'autres améliorations ont été ajoutées par les mathématiciens qui ont pris sur eux de clarifier et d'expliquer le travail de Descartes.

Cette valorisation des travaux de Descartes a été principalement réalisée par Frans van Schooten , professeur de mathématiques à Leyde et ses étudiants. Van Schooten a publié une version latine de La Géométrie en 1649 et cela a été suivi de trois autres éditions en 1659−1661, 1683 et 1693. L'édition de 1659−1661 était un ouvrage en deux volumes plus de deux fois la longueur de l'original rempli d'explications et exemples fournis par van Schooten et ces étudiants. L'un de ces étudiants, Johannes Hudde a fourni une méthode pratique pour déterminer les racines doubles d'un polynôme, connue sous le nom de règle de Hudde , qui avait été une procédure difficile dans la méthode des tangentes de Descartes. Ces éditions établissent la géométrie analytique au XVIIe siècle.

Voir également

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes