Mouvement (géométrie) - Motion (geometry)

Une réflexion de glissement est un type de mouvement euclidien.

En géométrie , un mouvement est une isométrie d'un espace métrique . Par exemple, un plan équipé de la métrique de distance euclidienne est un espace métrique dans lequel une cartographie associant des figures congruentes est un mouvement. Plus généralement, le terme mouvement est synonyme d' isométrie surjective en géométrie métrique, incluant la géométrie elliptique et la géométrie hyperbolique . Dans ce dernier cas, les mouvements hyperboliques offrent une approche du sujet pour les débutants.

Les mouvements peuvent être divisés en mouvements directs et indirects. Les mouvements directs, propres ou rigides sont des mouvements comme les translations et les rotations qui préservent l' orientation d'une forme chirale . Les mouvements indirects ou inappropriés sont des mouvements tels que les réflexions , les réflexions de glissement et les rotations incorrectes qui inversent l' orientation d'une forme chirale . Certains géomètres définissent le mouvement de telle manière que seuls les mouvements directs sont des mouvements.

En géométrie différentielle

En géométrie différentielle , un difféomorphisme est appelé un mouvement s'il induit une isométrie entre l'espace tangent à un point de variété et l' espace tangent à l'image de ce point.

Groupe de mouvements

Etant donné une géométrie, l'ensemble des mouvements forme un groupe sous composition d'applications. Ce groupe de mouvements est connu pour ses propriétés. Par exemple, le groupe euclidien est noté pour le sous-groupe normal des traductions . Dans le plan, un mouvement euclidien direct est soit une translation soit une rotation , tandis que dans l' espace tout mouvement euclidien direct peut être exprimé comme un déplacement de vis selon le théorème de Chasles . Lorsque l'espace sous-jacent est une variété riemannienne , le groupe de mouvements est un groupe de Lie . De plus, la variété a une courbure constante si et seulement si, pour chaque couple de points et chaque isométrie, il existe un mouvement amenant un point à l'autre pour lequel le mouvement induit l'isométrie.

L'idée d'un groupe de mouvements pour la relativité restreinte a été avancée sous le nom de mouvements lorentziens. Par exemple, des idées fondamentales ont été présentées pour un plan caractérisé par la forme quadratique dans American Mathematical Monthly . Les mouvements de l'espace de Minkowski ont été décrits par Sergei Novikov en 2006 : ${\displaystyle \ x^{2}-y^{2}\ }$

Le principe physique de la vitesse constante de la lumière s'exprime par l'exigence que le passage d'un référentiel inertiel à un autre soit déterminé par un mouvement de l'espace de Minkowski, c'est-à-dire par une transformation

${\displaystyle \phi :R^{1,3}\mapsto R^{1,3}}$

préserver les intervalles espace-temps. Cela signifie que

${\displaystyle \langle \phi (x)-\phi (y),\ \phi (x)-\phi (y)\rangle \ =\ \langle xy,\ xy\rangle }$

pour chaque couple de points x et y dans R ^1,3 .

Histoire

Une appréciation précoce du rôle du mouvement en géométrie a été donnée par Alhazen (965 à 1039). Son œuvre "L'espace et sa nature" utilise des comparaisons des dimensions d'un corps mobile pour quantifier le vide de l'espace imaginaire.

Au 19ème siècle, Felix Klein est devenu un partisan de la théorie des groupes comme moyen de classer les géométries en fonction de leurs "groupes de mouvements". Il a proposé d'utiliser des groupes de symétrie dans son programme d'Erlangen , une suggestion qui a été largement adoptée. Il a noté que chaque congruence euclidienne est une application affine , et chacune d'elles est une transformation projective ; donc le groupe des projectivités contient le groupe des applications affines, qui à son tour contient le groupe des congruences euclidiennes. Le terme mouvement , plus court que transformation , met davantage l'accent sur les adjectifs : projectif, affine, euclidien. Le contexte s'est ainsi élargi, à tel point que "En topologie , les mouvements autorisés sont des déformations continues inversibles que l'on pourrait appeler des mouvements élastiques".

La science de la cinématique est dédiée à traduire le mouvement physique en expression sous forme de transformation mathématique. Fréquemment, la transformation peut être écrite en utilisant l'algèbre vectorielle et l'application linéaire. Un exemple simple est un tour écrit comme une multiplication de nombres complexes : où . La rotation dans l' espace est réalisée par l' utilisation de quaternions , et les transformations de Lorentz de l' espace - temps par l'utilisation de biquaternions . Au début du 20e siècle, les systèmes numériques hypercomplexes ont été examinés. Plus tard, leurs groupes d'automorphismes ont conduit à des groupes exceptionnels tels que G2 . ${\displaystyle z\mapsto \omega z\ }$${\displaystyle \ \omega =\cos \theta +i\sin \theta ,\quad i^{2}=-1}$

Dans les années 1890, les logiciens réduisaient au strict minimum les notions primitives de la géométrie synthétique . Giuseppe Peano et Mario Pieri ont utilisé l'expression mouvement pour la congruence des paires de points. Alessandro Padoa a célébré la réduction des notions primitives à un simple point et mouvement dans son rapport au Congrès international de philosophie de 1900 . C'est lors de ce congrès que Bertrand Russell s'expose à la logique continentale à travers Peano. Dans son livre Principles of Mathematics (1903), Russell considérait un mouvement comme une isométrie euclidienne qui préserve l' orientation .

En 1914, DMY Sommerville a utilisé l'idée d'un mouvement géométrique pour établir l'idée de distance en géométrie hyperbolique lorsqu'il a écrit Elements of Non-Euclidean Geometry . Il explique:

Par mouvement ou déplacement au sens général, on n'entend pas un changement de position d'un seul point ou d'une figure bornée, mais un déplacement de tout l'espace, ou, s'il ne s'agit que de deux dimensions, de tout le plan. Un mouvement est une transformation qui change chaque point P en un autre point P de telle sorte que les distances et les angles restent inchangés.

Axiomes du mouvement

László Rédei donne comme axiomes du mouvement :

1. Tout mouvement est un mappage un à un de l'espace R sur lui-même de telle sorte que tous les trois points sur une ligne seront transformés en (trois) points sur une ligne.
2. L'application identique de l'espace R est un mouvement.
3. Le produit de deux mouvements est un mouvement.
4. La cartographie inverse d'un mouvement est un mouvement.
5. Si l'on a deux plans A, A' deux droites g, g' et deux points P, P' tels que P est sur g, g est sur A, P' est sur g' et g' est sur A' alors il existe une application de mouvement A à A', g à g' et P à P'
6. Il y a un plan A, une ligne g et un point P tels que P est sur g et g est sur A alors il existe quatre mouvements mappant A, g et P sur eux-mêmes, respectivement, et pas plus de deux de ces mouvements peuvent ont chaque point de g comme point fixe, alors qu'il y en a un (c'est-à-dire l'identité) pour lequel chaque point de A est fixe.
7. Il existe trois points A, B, P sur la droite g tels que P est entre A et B et pour tout point C (P inégal) entre A et B il y a un point D entre C et P pour lequel aucun mouvement avec P comme fixe point peut être trouvé qui mappera C sur un point situé entre D et P.

Les axiomes 2 à 4 impliquent que les mouvements forment un groupe

Axiome 5 qu'il y a un mouvement qui fait correspondre chaque ligne à chaque ligne

Notes et références

• Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis , mouvement euclidien p 34, mouvement direct p 36, mouvement opposé p 36, mouvement sphérique p 279, mouvement hyperbolique p 306, Clarendon Press , ISBN  0-19-853447-7 .
• Miles Reid & Balázs Szendröi (2005) Géométrie et topologie , Cambridge University Press , ISBN  0-521-61325-6 , MR 2194744 .

Liens externes

• Mouvement. IP Egorov (auteur), Encyclopédie des mathématiques .
• Groupe de mouvements. IP Egorov (auteur), Encyclopédie des mathématiques .