Quadrilatère orthodiagonal - Orthodiagonal quadrilateral

Un quadrilatère orthodiagonal (jaune). Selon la caractérisation de ces quadrilatères, les deux carrés rouges de deux côtés opposés du quadrilatère ont la même surface totale que les deux carrés bleus de l'autre paire de côtés opposés.

Dans la géométrie euclidienne , un quadrilatère orthodiagonal est un quadrilatère dans lequel les diagonales se croisent à angle droit . En d'autres termes, il s'agit d'une figure à quatre côtés dans laquelle les segments de ligne entre les sommets non adjacents sont orthogonaux (perpendiculaires) les uns aux autres.

Cas spéciaux

Un cerf - volant est un quadrilatère orthodiagonal dans lequel une diagonale est une ligne de symétrie. Les cerfs-volants sont exactement les quadrilatères orthodiagonaux qui contiennent un cercle tangent aux quatre de leurs côtés; c'est-à-dire que les cerfs-volants sont les quadrilatères orthodiagonaux tangentiels .

Un losange est un quadrilatère orthodiagonal avec deux paires de côtés parallèles (c'est-à-dire un quadrilatère orthodiagonal qui est également un parallélogramme ).

Un carré est un cas limite à la fois d'un cerf-volant et d'un losange.

Quadrilatères équidiagonaux orthodiagonaux dans lesquels les diagonales sont au moins aussi longues que tous les côtés du quadrilatère ont la surface maximale pour leur diamètre parmi tous les quadrilatères, résolvant le cas n  = 4 du plus gros petit problème de polygone . Le carré est l'un de ces quadrilatères, mais il en existe une infinité d'autres. Un quadrilatère orthodiagonal également équidiagonal est un quadrilatère carré moyen car son parallélogramme de Varignon est un carré. Sa superficie peut être exprimée uniquement en termes de ses côtés.

Caractérisations

Pour tout quadrilatère orthodiagonal, la somme des carrés de deux côtés opposés est égale à celle des deux autres côtés opposés: pour les côtés successifs a , b , c et d , on a

${\ displaystyle \ displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}.}$

Cela découle du théorème de Pythagore , par lequel l'une ou l'autre de ces deux sommes de deux carrés peut être étendue pour égaler la somme des quatre distances au carré des sommets du quadrilatère au point d'intersection des diagonales. Inversement, tout quadrilatère dans lequel a ² + c ² = b ² + d ² doit être orthodiagonal. Cela peut être prouvé de plusieurs manières, notamment en utilisant la loi des cosinus , des vecteurs , une preuve indirecte et des nombres complexes .

Les diagonales d'un quadrilatère convexe sont perpendiculaires si et seulement si les deux bimédiennes ont la même longueur.

Selon une autre caractérisation, les diagonales d'un quadrilatère convexe ABCD sont perpendiculaires si et seulement si

${\ Displaystyle \ angle PAB + \ angle PBA + \ angle PCD + \ angle PDC = \ pi}$

où P est le point d'intersection des diagonales. De cette équation, il résulte presque immédiatement que les diagonales d'un quadrilatère convexe sont perpendiculaires si et seulement si les projections de l'intersection diagonale sur les côtés du quadrilatère sont les sommets d'un quadrilatère cyclique .

Un quadrilatère convexe est orthodiagonal si et seulement si son parallélogramme de Varignon (dont les sommets sont les milieux de ses côtés) est un rectangle . Une caractérisation connexe indique qu'un quadrilatère convexe est orthodiagonal si et seulement si les milieux des côtés et les pieds des quatre maltitudes sont huit points concycliques ; le cercle de huit points . Le centre de ce cercle est le centre de gravité du quadrilatère. Le quadrilatère formé par les pieds des maltitudes est appelé le quadrilatère orthique principal .

Si les normales aux côtés d'un quadrilatère convexe ABCD passant par l'intersection diagonale coupent les côtés opposés dans R , S , T , U et K , L , M , N sont les pieds de ces normales, alors ABCD est orthodiagonale si et seulement si les huit points K , L , M , N , R , S , T et U sont concycliques; le deuxième cercle de huit points . Une caractérisation connexe indique qu'un quadrilatère convexe est orthodiagonal si et seulement si RSTU est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux diagonales d' ABCD .

Il existe plusieurs caractérisations métriques concernant les quatre triangles formés par l'intersection diagonale P et les sommets d'un quadrilatère convexe ABCD . Notons m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ les médianes en triangles ABP , BCP , CDP , DAP de P aux côtés AB , BC , CD , DA respectivement. Si R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ et h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ désignent respectivement les rayons des cercles et les altitudes de ces triangles, alors le quadrilatère ABCD est orthodiagonal si et seulement s'il y en a un des égalités suivantes est valable:

• ${\ displaystyle m_ {1} ^ {2} + m_ {3} ^ {2} = m_ {2} ^ {2} + m_ {4} ^ {2}}$
• ${\ displaystyle R_ {1} ^ {2} + R_ {3} ^ {2} = R_ {2} ^ {2} + R_ {4} ^ {2}}$
• ${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {3} ^ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {4} ^ {2}}}}$

De plus, un quadrilatère ABCD d'intersection P des diagonales est orthodiagonal si et seulement si les circoncentres des triangles ABP , BCP , CDP et DAP sont les milieux des côtés du quadrilatère.

Comparaison avec un quadrilatère tangentiel

Quelques caractérisations métriques des quadrilatères tangentiels et des quadrilatères orthodiagonaux sont très similaires en apparence, comme on peut le voir dans ce tableau. Les notations sur les côtés a , b , c , d , les circumradii R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ et les altitudes h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ sont les mêmes que ci-dessus dans les deux types de quadrilatères.

Quadrilatère tangentiel	Quadrilatère orthodiagonal
${\ Displaystyle a + c = b + d}$	${\ displaystyle a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}$
${\ displaystyle R_ {1} + R_ {3} = R_ {2} + R_ {4}}$	${\ displaystyle R_ {1} ^ {2} + R_ {3} ^ {2} = R_ {2} ^ {2} + R_ {4} ^ {2}}$
${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1}}} + {\ frac {1} {h_ {3}}} = {\ frac {1} {h_ {2}}} + {\ frac {1 } {h_ {4}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {h_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {3} ^ {2}}} = {\ frac {1} {h_ {2} ^ {2}}} + {\ frac {1} {h_ {4} ^ {2}}}}$

Surface

L'aire K d'un quadrilatère orthodiagonal est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales p et q :

${\ displaystyle K = {\ frac {p \ cdot q} {2}}.}$

Inversement, tout quadrilatère convexe où l'aire peut être calculée avec cette formule doit être orthodiagonal. Le quadrilatère orthodiagonal a la plus grande surface de tous les quadrilatères convexes avec des diagonales données.

Autres propriétés

• Les quadrilatères orthodiagonaux sont les seuls quadrilatères pour lesquels les côtés et l'angle formé par les diagonales ne déterminent pas uniquement l'aire. Par exemple, deux losanges ayant tous deux un côté commun a (et, comme pour tous les losanges, tous deux ayant un angle droit entre les diagonales), mais l'un ayant un angle aigu plus petit que l'autre, ont des zones différentes (l'aire du premier se rapprochant de zéro lorsque l'angle aigu s'approche de zéro).
• Si des carrés sont érigés vers l'extérieur sur les côtés d'un quadrilatère (convexe, concave ou croisé), alors leurs centres ( centroïdes ) sont les sommets d'un quadrilatère orthodiagonal également équidiagonal (c'est-à-dire ayant des diagonales de même longueur). C'est ce qu'on appelle le théorème de Van Aubel .
• Chaque côté d'un quadrilatère orthodiagonal a au moins un point commun avec le cercle de points de Pascal.

Propriétés des quadrilatères orthodiagonaux également cycliques

Circumradius et région

Pour un quadrilatère orthodiagonal cyclique (qui peut s'inscrire dans un cercle ), supposons que l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs p ₁ et p ₂ et divise l'autre diagonale en segments de longueurs q ₁ et q ₂ . Alors (la première égalité est la proposition 11 dans le livre des lemmes d' Archimède )

${\ displaystyle D ^ {2} = p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} = b ^ {2} + d ^ {2}}$

où D est le diamètre du cercle circulaire . Cela est vrai parce que les diagonales sont des cordes perpendiculaires d'un cercle . Ces équations donnent l' expression circumradius

${\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + q_ {1} ^ {2} + q_ {2} ^ {2}}}}$

ou, en termes des côtés du quadrilatère, comme

${\ displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {b ^ { 2} + d ^ {2}}}.}$

Il s'ensuit également que

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 8R ^ {2}.}$

Ainsi, selon le théorème du quadrilatère d' Euler , le circumradius peut être exprimé en termes des diagonales p et q , et la distance x entre les milieux des diagonales comme

${\ displaystyle R = {\ sqrt {\ frac {p ^ {2} + q ^ {2} + 4x ^ {2}} {8}}}.}$

Une formule pour l' aire K d'un quadrilatère orthodiagonal cyclique en fonction des quatre côtés est obtenue directement en combinant le théorème de Ptolémée et la formule pour l' aire d'un quadrilatère orthodiagonal . Le résultat est

${\ displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} (ac + bd).}$

Autres propriétés

• Dans un quadrilatère orthodiagonal cyclique, l' anticentre coïncide avec le point d'intersection des diagonales.
• Le théorème de Brahmagupta stipule que pour un quadrilatère orthodiagonal cyclique, la perpendiculaire de n'importe quel côté passant par le point d'intersection des diagonales coupe le côté opposé.
• Si un quadrilatère orthodiagonal est également cyclique, la distance entre le circumcenter (le centre du cercle circonscrit) et n'importe quel côté est égale à la moitié de la longueur du côté opposé.
• Dans un quadrilatère orthodiagonal cyclique, la distance entre les points médians des diagonales est égale à la distance entre le circumcenter et le point d'intersection des diagonales.

Ensembles infinis de rectangles inscrits

${\ displaystyle ABCD}$ est un quadrilatère orthodiagonal, et sont des rectangles dont les côtés sont parallèles aux diagonales du quadrilatère. ${\ displaystyle P_ {1} X_ {1} Z_ {1} Y_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2} X_ {2} Z_ {2} Y_ {2}}$

${\ displaystyle ABCD}$ est un quadrilatère orthodiagonal. et sont des points Pascal formés par le cercle , est le cercle Pascal-points qui définit le rectangle . et sont des points Pascal formés par le cercle , est le cercle Pascal-points qui définit le rectangle . ${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle Q_ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ sigma _ {P_ {1} Q_ {1}}}$${\ displaystyle P_ {1} V_ {1} Q_ {1} W_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle Q_ {2}}$${\ displaystyle \ omega _ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {P_ {2} Q_ {2}}}$${\ displaystyle P_ {2} V_ {2} Q_ {2} W_ {2}}$

Pour chaque quadrilatère orthodiagonal, nous pouvons inscrire deux ensembles infinis de rectangles:

(i) un ensemble de rectangles dont les côtés sont parallèles aux diagonales du quadrilatère

(ii) un ensemble de rectangles définis par des cercles Pascal-points.

Références