Mesure pushforward - Pushforward measure

Dans la théorie de la mesure , une discipline des mathématiques, une mesure pushforward (également push forward , push-forward ou mesure d'image ) est obtenue en transférant («pushing forward») une mesure d'un espace mesurable à un autre à l'aide d'une fonction mesurable .

Définition

Étant donné les espaces mesurables et , une cartographie mesurable et une mesure , le pushforward de est défini comme étant la mesure donnée par ${\ displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle f \ colon X_ {1} \ à X_ {2}}$${\ displaystyle \ mu \ colon \ Sigma _ {1} \ à [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f _ {*} (\ mu) \ colon \ Sigma _ {2} \ to [0, + \ infty]}$

${\ displaystyle (f _ {*} (\ mu)) (B) = \ mu \ left (f ^ {- 1} (B) \ right)}$ pour ${\ displaystyle B \ in \ Sigma _ {2}.}$

Cette définition s'applique mutatis mutandis à une mesure signée ou complexe . La mesure de pushforward est également notée , , ou . ${\ displaystyle \ mu \ circ f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ sharp} \ mu}$${\ Displaystyle f \ sharp \ mu}$${\ displaystyle f \ # \ mu}$

Propriété principale: formule de changement de variables

Théorème: Une fonction mesurable g sur X ₂ est intégrable par rapport à la mesure pushforward f _∗ ( μ ) si et seulement si la composition est intégrable par rapport à la mesure μ . Dans ce cas, les intégrales coïncident, c'est-à-dire ${\ displaystyle g \ circ f}$

${\ displaystyle \ int _ {X_ {2}} g \, d (f _ {*} \ mu) = \ int _ {X_ {1}} g \ circ f \, d \ mu.}$

Notez que dans la formule précédente . ${\ displaystyle X_ {1} = f ^ {- 1} (X_ {2})}$

Exemples et applications

• Un « naturel mesure de Lebesgue » sur le cercle unité S ¹ (ici considéré comme un sous - ensemble du plan complexe C ) peut être défini en utilisant une structure de poussée vers l' avant et Lebesgue mesure λ sur la ligne réelle R . Soit λ la restriction de la mesure de Lebesgue à l'intervalle [0, 2 π ) et soit f  : [0, 2 π ) →  S ¹ la bijection naturelle définie par f ( t ) = exp ( i   t ). La "mesure de Lebesgue" naturelle sur S ¹ est alors la mesure push-forward f _∗ ( λ ). La mesure f _∗ ( λ ) pourrait également être appelée " mesure de la longueur de l'arc " ou "mesure de l'angle", car la mesure f _∗ ( λ ) d'un arc dans S ¹ est précisément sa longueur d'arc (ou, de manière équivalente, l'angle qui il sous-tend au centre du cercle.)
• L'exemple précédent s'étend bien pour donner une "mesure de Lebesgue" naturelle sur le tore n- dimensionnel T ⁿ . L'exemple précédent est un cas particulier, puisque S ¹  =  T ¹ . Cette mesure de Lebesgue sur T ⁿ est, jusqu'à la normalisation, la mesure de Haar pour le groupe de Lie compact et connexe T ⁿ .
• Les mesures gaussiennes sur des espaces vectoriels de dimension infinie sont définies en utilisant le push-forward et la mesure gaussienne standard sur la ligne réelle: une mesure de Borel γ sur un espace de Banach séparable X est appelée gaussienne si le push-forward de γ par tout non nul fonctionnel linéaire dans le double espace continu de X est une mesure gaussienne sur R .
• Considérons une fonction mesurable f  : X → X et la composition de f avec elle-même n fois:

${\ displaystyle f ^ {(n)} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {n \ mathrm {\, times}}: X \ à X.}$

Cette fonction itérée forme un système dynamique . Il est souvent intéressant dans l'étude de tels systèmes de trouver une mesure μ sur X que la carte f laisse inchangée, une mesure dite invariante , c'est-à-dire pour laquelle f _∗ ( μ ) =  μ .

• On peut aussi considérer des mesures quasi-invariantes pour un tel système dynamique: une mesure sur est dite quasi-invariante sous si le push-forward de by est simplement équivalent à la mesure originale μ , pas nécessairement égale à elle. Une paire de mesures sur le même espace est équivalente si et seulement si , donc est quasi-invariant sous si ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu, \ nu}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ iff \ nu (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ iff f _ {*} \ mu (A) = \ mu {\ big (} f ^ {- 1} (A) {\ big )} = 0}$

• De nombreuses distributions de probabilités naturelles, telles que la distribution chi , peuvent être obtenues via cette construction.

• Les variables aléatoires sont des mesures poussées. Ils mappent un espace de probabilité dans un espace de codomaine et dotent cet espace d'une mesure de probabilité définie par le pushforward. De plus, comme les variables aléatoires sont des fonctions (et donc des fonctions totales), l'image inverse du codomaine entier est le domaine entier, et la mesure du domaine entier est 1, donc la mesure du codomaine entier est 1. Cela signifie que aléatoire les variables peuvent être composées ad infimum, et elles resteront toujours des variables aléatoires et doteront les espaces de codomaine de mesures de probabilité.

Une généralisation

En général, toute fonction mesurable peut être poussée vers l'avant, le push-forward devient alors un opérateur linéaire , appelé opérateur de transfert ou opérateur de Frobenius – Perron . Dans les espaces finis, cet opérateur satisfait typiquement les exigences du théorème de Frobenius – Perron , et la valeur propre maximale de l'opérateur correspond à la mesure invariante.

L'adjoint au push-forward est le pullback ; en tant qu'opérateur sur des espaces de fonctions sur des espaces mesurables, c'est l' opérateur de composition ou opérateur de Koopman .

Voir également

• Système dynamique préservant les mesures

Remarques

Les références

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Théorie de la mesure , Berlin: Springer Verlag , ISBN   9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Thèmes d'analyse réelle et fonctionnelle