Commander la topologie - Order topology

En mathématiques , une topologie d'ordre est une certaine topologie qui peut être définie sur n'importe quel ensemble totalement ordonné . C'est une généralisation naturelle de la topologie des nombres réels à des ensembles totalement ordonnés arbitraires.

Si X est un ensemble totalement ordonné, la topologie d'ordre sur X est générée par la sous- base des "rayons ouverts"

${\ displaystyle \ {x \ mid a <x \}}$

${\ displaystyle \ {x \ mid x <b \}}$

pour tous les a, b dans X . Pourvu que X ait au moins deux éléments, cela revient à dire que les intervalles ouverts

${\ displaystyle (a, b) = \ {x \ mid a <x <b \}}$

avec les rayons ci-dessus forment une base pour la topologie d'ordre. Les ensembles ouverts dans X sont les ensembles qui sont une union (éventuellement infiniment nombreux) de tels intervalles et rayons ouverts.

Un espace topologique X est dit ordonnable s'il existe un ordre total sur ses éléments tel que l'ordre topologique induit par cet ordre et la topologie donnée sur X coïncident. La topologie d'ordre fait de X un espace de Hausdorff tout à fait normal .

Les topologies standard sur R , Q , Z et N sont les topologies d'ordre.

Topologie d'ordre induit

Si Y est un sous - ensemble de X , X un ensemble totalement ordonné, alors Y hérite d' un ordre total de X . L'ensemble Y a donc une topologie d'ordre, la topologie d'ordre induit . En tant que sous-ensemble de X , Y a également une topologie de sous - espace . La topologie de sous-espace est toujours au moins aussi fine que la topologie d'ordre induit, mais elles ne sont généralement pas les mêmes.

Par exemple, considérons le sous-ensemble Y = {–1} ∪ {1 / n } _{n ∈ N} dans les rationnels . Sous la topologie de sous-espace, l'ensemble de singleton {–1} est ouvert en Y , mais sous la topologie d'ordre induit, tout ensemble ouvert contenant –1 doit contenir tous les membres de l'espace, sauf un nombre fini.

Un exemple de sous-espace d'un espace ordonné linéairement dont la topologie n'est pas une topologie d'ordre

Bien que la topologie de sous-espace de Y = {–1} ∪ {1 / n } _{n ∈ N} dans la section ci-dessus ne soit pas générée par l'ordre induit sur Y , il s'agit néanmoins d'une topologie d'ordre sur Y ; en effet, dans la topologie du sous-espace, chaque point est isolé (c'est-à-dire que le singleton {y} est ouvert dans Y pour chaque y de Y ), donc la topologie du sous-espace est la topologie discrète sur Y (la topologie dans laquelle chaque sous-ensemble de Y est un set), et la topologie discrète sur n'importe quel ensemble est une topologie d'ordre. Pour définir un ordre total sur Y qui génère la topologie discrète sur Y , il suffit de modifier l'ordre induit sur Y en définissant -1 comme étant le plus grand élément de Y et sinon en gardant le même ordre pour les autres points, de sorte que dans ce nouvel ordre (appelons - le dire < ₁ ) , nous avons 1 / n < ₁ -1 pour tout n  ∈  N . Ensuite, dans la topologie de l' ordre sur Y généré par < ₁ , chaque point de Y est isolé dans Y .

Nous souhaitons définir ici un sous-ensemble Z d'un espace topologique X d' ordre linéaire tel qu'aucun ordre total sur Z ne génère la topologie du sous-espace sur Z , de sorte que la topologie du sous-espace ne sera pas une topologie d'ordre même s'il s'agit de la topologie du sous-espace d'un espace dont la topologie est une topologie d'ordre.

Laissez entrer la vraie ligne. Le même argument que précédemment montre que la topologie de sous-espace sur Z n'est pas égale à la topologie d'ordre induit sur Z, mais on peut montrer que la topologie de sous-espace sur Z ne peut être égale à aucune topologie d'ordre sur Z. ${\ displaystyle Z = \ {- 1 \} \ cup (0,1)}$

Un argument suit. Supposons par contradiction qu'il existe un ordre total strict <sur Z tel que la topologie d'ordre générée par <est égale à la topologie du sous-espace sur Z (notez que nous ne supposons pas que <est l'ordre induit sur Z, mais plutôt un ordre total donné arbitrairement sur Z qui génère la topologie du sous-espace). Dans ce qui suit, la notation d'intervalle doit être interprétée par rapport à la relation <. En outre, si A et B sont des ensembles, signifie que pour chaque un en A et b en B . ${\ displaystyle A <B}$${\ displaystyle a <b}$

Soit M  =  Z  \ {-1}, l'intervalle unitaire. M est connecté. Si m ,  n  ∈  M et m  <-1 <  n , alors et séparons M , une contradiction. Ainsi, M  <{-1} ou {-1} <  M . Supposons sans perte de généralité que {-1} <  M . Puisque {-1} est ouvert dans Z , il y a un point p dans M tel que l'intervalle (-1, p ) est vide. Puisque {1} <  M , nous savons -1 est le seul élément de Z qui est inférieur à p , alors p est le minimum de M . Alors M  \ { p } = A  ∪  B , où A et B sont des sous-ensembles connectés non vides ouverts et disjoints de M (la suppression d'un point d'un intervalle ouvert donne deux intervalles ouverts). Par connexité, aucun point de Z \ B ne peut se trouver entre deux points de B , et aucun point de Z \ A ne peut se trouver entre deux points de A. Par conséquent, soit A < B, soit B < A . Supposons sans perte de généralité que A < B . Si un est un point quelconque A , alors p < a et ( p , a ) A . Alors (-1, a ) = [ p , a ), donc [ p , a ) est ouvert. { p } ∪ A = [ p , a ) ∪ A , donc { p } ∪ A est un sous-ensemble ouvert de M et donc M = ({ p } ∪ A ) ∪ B est l'union de deux sous-ensembles ouverts disjoints de M donc M n'est pas connecté, une contradiction. ${\ displaystyle (- \ infty, -1)}$${\ displaystyle (-1, \ infty)}$${\ displaystyle \ subseteq}$

Topologies d'ordre gauche et droit

Plusieurs variantes de la topologie d'ordre peuvent être données:

• La topologie du bon ordre sur X est la topologie dont les ensembles ouverts sont constitués d'intervalles de la forme ( a , ∞) (y compris (-∞, ∞)).
• La topologie d'ordre de gauche sur X est la topologie dont les ensembles ouverts sont constitués d'intervalles de la forme (−∞, b ) (y compris (-∞, ∞)).

Les topologies d'ordre gauche et droit peuvent être utilisées pour donner des contre-exemples dans la topologie générale. Par exemple, la topologie d'ordre gauche ou droit sur un ensemble borné fournit un exemple d' espace compact qui n'est pas Hausdorff.

La topologie d'ordre de gauche est la topologie standard utilisée à de nombreuses fins de théorie des ensembles sur une algèbre booléenne .

Espace ordinal

Pour tout nombre ordinal λ on peut considérer les espaces des nombres ordinaux

${\ displaystyle [0, \ lambda) = \ {\ alpha \ mid \ alpha <\ lambda \}}$

${\ displaystyle [0, \ lambda] = \ {\ alpha \ mid \ alpha \ leq \ lambda \}}$

avec la topologie d'ordre naturel. Ces espaces sont appelés espaces ordinaux . (Notez que dans la construction habituelle de la théorie des ensembles des nombres ordinaux, nous avons λ = [0, λ ) et λ + 1 = [0, λ ]). Evidemment, ces espaces sont surtout intéressants lorsque λ est un ordinal infini; sinon (pour les ordinaux finis), la topologie d'ordre est simplement la topologie discrète .

Lorsque λ = ω (le premier ordinal infini), l'espace [0, ω) est juste N de la topologie habituelle (encore discrète), tandis que [0, ω] est le compactifié d' un point de N .

Le cas est particulièrement intéressant lorsque λ = ω ₁ , l'ensemble de tous les ordinaux dénombrables et le premier ordinal indénombrable . L'élément ω ₁ est un point limite du sous-ensemble [0, ω ₁ ) même si aucune séquence d'éléments dans [0, ω ₁ ) n'a pour limite l'élément ω ₁ . En particulier, [0, ω ₁ ] n'est pas dénombrable en premier . Le sous-espace [0, ω ₁ ) est cependant dénombrable en premier, puisque le seul point dans [0, ω ₁ ] sans base locale dénombrable est ω ₁ . Certaines autres propriétés comprennent

• ni [0, ω ₁ ) ni [0, ω ₁ ] ne sont séparables ou comptables en secondes
• [0, ω ₁ ] est compact , tandis que [0, ω ₁ ) est séquentiellement compact et dénombrable compact , mais pas compact ou paracompact

Topologie et ordinaux

Les ordinaux comme espaces topologiques

Tout nombre ordinal peut être transformé en un espace topologique en le dotant de la topologie d'ordre (puisque, étant bien ordonné, un ordinal est en particulier totalement ordonné ): sauf indication contraire, c'est toujours cette topologie d'ordre qui signifie quand un ordinal est considéré comme un espace topologique. (Notez que si nous sommes prêts à accepter une classe appropriée comme espace topologique, alors la classe de tous les ordinaux est également un espace topologique pour la topologie d'ordre.)

L'ensemble des points limites d'un ordinal α est précisément l'ensemble des ordinaux limites inférieurs à α . Les ordinaux successeurs (et zéro) inférieurs à α sont des points isolés dans α . En particulier, les ordinaux finis et ω sont des espaces topologiques discrets , et aucun ordinal au-delà n'est discret. L'ordinal α est compact en tant qu'espace topologique si et seulement si α est un ordinal successeur .

Les ensembles fermés d'un ordinal limite α ne sont que les ensembles fermés au sens que nous avons déjà défini , c'est-à-dire ceux qui contiennent un ordinal limite chaque fois qu'ils contiennent tous les ordinaux suffisamment grands en dessous.

Tout ordinal est, bien entendu, un sous-ensemble ouvert de tout autre ordinal. On peut aussi définir la topologie sur les ordinaux de la manière inductive suivante: 0 est l'espace topologique vide, α +1 s'obtient en prenant la compactification en un point de α , et pour δ un ordinal limite, δ est équipé de l' inductif Limiter la topologie. Notez que si α est un ordinal successeur, alors α est compact, auquel cas sa compactification en un point α +1 est l'union disjointe de α et d'un point.

En tant qu'espaces topologiques, tous les ordinaux sont Hausdorff et même normaux . Ils sont aussi totalement déconnectés (les composants connectés sont des points), dispersés (chaque sous-espace non vide a un point isolé; dans ce cas, il suffit de prendre le plus petit élément), de dimension nulle (la topologie a une base clopen : ici, écrivez un intervalle ouvert ( β , γ ) comme l'union des intervalles clopen ( β , γ '+1) = [ β +1, γ '] pour γ '< γ ). Cependant, ils ne sont pas extrêmement déconnectés en général (il existe des ensembles ouverts, par exemple les nombres pairs de ω, dont la fermeture n'est pas ouverte).

Les espaces topologiques ω ₁ et son successeur ω ₁ +1 sont fréquemment utilisés comme exemples d'espaces topologiques non dénombrables. Par exemple, dans l'espace topologique ω ₁ +1, l'élément ω ₁ est dans la fermeture du sous-ensemble ω ₁ même si aucune séquence d'éléments dans ω ₁ n'a pour limite l'élément ω ₁ : un élément dans ω ₁ est un ensemble dénombrable; pour toute séquence de tels ensembles, l'union de ces ensembles est l'union de nombreux ensembles dénombrables, donc toujours dénombrables; cette union est une borne supérieure des éléments de la séquence, et donc de la limite de la séquence, si elle en a une.

L'espace ω ₁ est dénombrable en premier , mais pas en seconde , et ω ₁ +1 n'a aucune de ces deux propriétés, bien qu'il soit compact . Il convient également de noter que toute fonction continue de ω ₁ à R (la ligne réelle ) est finalement constante: ainsi la compactification Stone – Čech de ω ₁ est ω ₁ +1, tout comme sa compactification en un point (en contraste net à ω, dont la compactification Stone – Čech est beaucoup plus grande que ω).

Séquences indexées ordinales

Si α est un ordinal limite et X est un ensemble, une α séquence -indexed d'éléments de X signifie simplement une fonction de α à X . Ce concept, une séquence transfinie ou une séquence à index ordinal , est une généralisation du concept de séquence . Une suite ordinaire correspond au cas α = ω.

Si X est un espace topologique, on dit qu'une suite α- indexée d'éléments de X converge vers une limite x lorsqu'elle converge comme un réseau , en d'autres termes, quand on donne un voisinage U de x il y a un ordinal β < α tel que x _ι est dans U pour tout ι ≥ β .

Les séquences à index ordinal sont plus puissantes que les séquences ordinaires (indexées ω) pour déterminer les limites de la topologie: par exemple, ω ₁ ( oméga-un , l'ensemble de tous les nombres ordinaux dénombrables et le plus petit nombre ordinal indénombrable), est une limite point de ω ₁ +1 (parce que c'est un ordinal limite), et, en effet, c'est la limite de la séquence indexée ω ₁ qui mappe tout ordinal inférieur à ω ₁ à lui-même: cependant, ce n'est pas la limite de tout séquence ordinaire (indexée ω) dans ω ₁ , car une telle limite est inférieure ou égale à l'union de ses éléments, qui est une union dénombrable d'ensembles dénombrables, donc elle-même dénombrable.

Cependant, les séquences à index ordinal ne sont pas assez puissantes pour remplacer les filets (ou filtres ) en général: par exemple, sur la planche de Tychonoff (l'espace produit ), le point d'angle est un point limite (il est dans la fermeture) de l'ouverture sous - ensemble , mais ce n'est pas la limite d'une séquence à index ordinal. ${\ displaystyle (\ omega _ {1} +1) \ times (\ omega +1)}$${\ displaystyle (\ omega _ {1}, \ omega)}$${\ displaystyle \ omega _ {1} \ times \ omega}$

Voir également

• Liste des topologies
• Topologie de limite inférieure
• Longue ligne (topologie)
• Continuum linéaire
• Ordre de la topologie (analyse fonctionnelle)
• Espace partiellement ordonné

Remarques

Les références

• Steen, Lynn A. et Seebach, J. Arthur Jr .; Contre-exemples en topologie , Holt, Rinehart et Winston (1970). ISBN   0-03-079485-4 .
• Stephen Willard, Topologie générale , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
• Cet article incorpore du matériel de la topologie Order sur PlanetMath , qui est sous licence Creative Commons Attribution / Share-Alike License .