Section (théorie des catégories) - Section (category theory)
Dans la théorie des catégories , une branche des mathématiques , une section est l' inverse droit d'un certain morphisme . Dually , une rétraction est l' inverse gauche d'un certain morphisme . En d'autres termes, si f : X → Y et g : Y → X sont des morphismes dont la composition f o g : Y → Y est le morphisme d'identité sur Y , alors g est une section de f , et f est une rétraction de g .
Chaque section est un monomorphisme (tout morphisme avec un inverse gauche est annulant à gauche ), et chaque rétraction est un épimorphisme (tout morphisme avec un inverse droit est annulant à droite ).
En algèbre , les sections sont également appelées monomorphismes fractionnés et les rétractions sont également appelées épimorphismes fractionnés . Dans une catégorie abélienne , si f : X → Y est un épimorphisme divisé avec un monomorphisme divisé g : Y → X , alors X est isomorphe à la somme directe de Y et du noyau de f . Le synonyme coretraction pour section est parfois vu dans la littérature, bien que rarement dans des travaux récents.
Terminologie
Le concept de rétraction en théorie des catégories vient de la notion essentiellement similaire de rétraction en topologie : où est un sous-espace de est une rétraction au sens topologique, s'il s'agit d'une rétraction de la carte d'inclusion au sens de la théorie des catégories. Le concept de topologie a été défini par Karol Borsuk en 1931.
L'étudiant de Borsuk, Samuel Eilenberg , était avec Saunders Mac Lane le fondateur de la théorie des catégories, et comme les premières publications sur la théorie des catégories concernaient divers espaces topologiques, on aurait pu s'attendre à ce que ce terme soit initialement utilisé. En fait, leurs publications antérieures, jusqu'à, par exemple, Homology de Mac Lane (1963) , utilisaient le terme inverse droit. Ce n'est qu'en 1965, lorsque Eilenberg et John Coleman Moore ont inventé le double terme de «coretraction» que le terme de Borsuk a été porté à la théorie des catégories en général. Le terme coretraction a cédé la place au terme section à la fin des années 1960.
L'utilisation de l'inverse gauche / droite et de la section / rétraction est communément vue dans la littérature: la première utilisation a l'avantage qu'elle est familière de la théorie des semi - groupes et des monoïdes ; ce dernier est considéré comme moins déroutant par certains parce qu'il n'est pas nécessaire de penser à «quel sens» la composition va, un problème qui est devenu plus grand avec la popularité croissante du synonyme f; g pour g∘f .
Exemples
Dans la catégorie des ensembles , chaque monomorphism ( injective fonction ) avec un non-vide de domaine est une section, et chaque epimorphisme ( fonction surjective ) est une rétraction; ce dernier énoncé équivaut à l' axiome du choix .
Dans la catégorie des espaces vectoriels sur un corps K , tout monomorphisme et tout épimorphisme se divise; cela découle du fait que les cartes linéaires peuvent être définies de manière unique en spécifiant leurs valeurs sur une base .
Dans la catégorie des groupes abéliens , l'épimorphisme Z → Z / 2 Z qui envoie tout entier à son reste modulo 2 ne se dédouble pas; en fait le seul morphisme Z / 2 Z → Z est la carte zéro . De même, le monomorphisme naturel Z / 2 Z → Z / 4 Z n'a même pas divisé mais il existe un morphisme non trivial Z / 4 Z → Z / 2 Z .
Le concept catégorique de section est important en algèbre homologique , et est également étroitement lié à la notion de section d'un faisceau de fibres en topologie : dans ce dernier cas, une section d'un faisceau de fibres est une section de la carte de projection de faisceau de le faisceau de fibres.
Étant donné un espace quotient avec une carte de quotient , une section de est appelée transversale .
Bibliographie
- Mac Lane, Saunders (1978). Catégories pour le mathématicien de travail (2e éd.). Springer Verlag .
- Barry, Mitchell (1965). Théorie des catégories . Presse académique .