Classification des groupes simples finis - Classification of finite simple groups

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe quotient Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidienne E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , la classification des groupes simples finis est un théorème affirmant que chaque groupe simple fini est soit cyclique , soit alterné , ou il appartient à une large classe infinie appelée les groupes de type de Lie , ou bien c'est l' un des vingt-six ou vingt-sept exceptions, dites sporadiques . La théorie des groupes est au cœur de nombreux domaines des mathématiques pures et appliquées et le théorème de classification a été appelé l'une des grandes réalisations intellectuelles de l'humanité. La preuve consiste en des dizaines de milliers de pages dans plusieurs centaines d'articles de revues écrites par une centaine d'auteurs, publiés pour la plupart entre 1955 et 2004.

Les groupes simples peuvent être considérés comme les blocs de construction de base de tous les groupes finis , rappelant la façon dont les nombres premiers sont les blocs de construction de base des nombres naturels . Le théorème de Jordan-Hölder est une manière plus précise d'énoncer ce fait à propos des groupes finis. Cependant, une différence significative par rapport à la factorisation en nombres entiers est que ces « blocs de construction » ne déterminent pas nécessairement un groupe unique, car il peut y avoir de nombreux groupes non isomorphes avec la même série de composition ou, en d'autres termes, le problème d'extension n'a pas une solution unique.

Gorenstein (d.1992), Lyons et Solomon publient progressivement une version simplifiée et révisée de la preuve.

Énoncé du théorème de classification

La classification des groupes simples finis.

Le théorème de classification a des applications dans de nombreuses branches des mathématiques, car les questions sur la structure des groupes finis (et leur action sur d'autres objets mathématiques) peuvent parfois être réduites à des questions sur les groupes simples finis. Grâce au théorème de classification, on peut parfois répondre à de telles questions en vérifiant chaque famille de groupes simples et chaque groupe sporadique.

Daniel Gorenstein a annoncé en 1983 que les groupes simples finis avaient tous été classés, mais c'était prématuré car il avait été mal informé sur la preuve de la classification des groupes quasi - minces . La preuve achevée de la classification a été annoncée par Aschbacher (2004) après qu'Aschbacher et Smith ont publié une preuve de 1221 pages pour le cas quasi-mince manquant.

Aperçu de la preuve du théorème de classification

Gorenstein ( 1982 , 1983 ) a écrit deux volumes décrivant le rang bas et la partie caractéristique étrange de la preuve, et Michael Aschbacher , Richard Lyons et Stephen D. Smith et al. ( 2011 ) a écrit un 3e volume couvrant le cas 2 caractéristique restant. La preuve peut être décomposée en plusieurs éléments principaux comme suit :

Groupes de petits 2-rangs

Les groupes simples de faible rang 2 sont principalement des groupes de type Lie de petit rang sur des champs de caractéristique impaire, ainsi que cinq groupes alternés et sept de type caractéristique 2 et neuf groupes sporadiques.

Les groupes simples de petits 2-rangs comprennent :

• Groupes de 2-rang 0, c'est-à-dire groupes d'ordre impair, qui sont tous résolubles par le théorème de Feit-Thompson .
• Groupes de 2-rang 1. Les 2-sous-groupes de Sylow sont soit cycliques, ce qui est facile à manipuler en utilisant l'application de transfert, soit des quaternions généralisés , qui sont traités avec le théorème de Brauer-Suzuki : en particulier il n'y a pas de groupes simples de 2- rang 1 à l'exception du groupe cyclique d'ordre deux.
• Groupes de 2-rang 2. Alperin a montré que le sous-groupe Sylow doit être dièdre, quasi-dièdre, en couronne ou un sous-groupe Sylow 2- de U ₃ (4). Le premier cas a été fait par le théorème de Gorenstein-Walter qui a montré que les seuls groupes simples sont isomorphes à L ₂ ( q ) pour q impair ou A ₇ , les deuxième et troisième cas ont été faits par le théorème d'Alperin-Brauer-Gorenstein qui implique que les seuls groupes simples sont isomorphes à L ₃ ( q ) ou U ₃ ( q ) pour q impair ou M ₁₁ , et le dernier cas a été fait par Lyons qui a montré que U ₃ (4) est la seule possibilité simple.
• Groupes de 2 rangs sectionnels au plus 4, classés par le théorème de Gorenstein-Harada .

La classification des groupes de petits rangs 2, en particulier les rangs au plus 2, fait un usage intensif de la théorie des caractères ordinaire et modulaire, qui n'est presque jamais directement utilisée ailleurs dans la classification.

Tous les groupes qui ne sont pas de petit rang 2 peuvent être divisés en deux grandes classes : les groupes de type composant et les groupes de type caractéristique 2. En effet, si un groupe a au moins 5 rangs de section, MacWilliams a montré que ses 2 sous-groupes de Sylow sont connectés, et le théorème d'équilibre implique que tout groupe simple avec des sous-groupes de Sylow 2 connectés est soit de type composant, soit de type caractéristique 2. . (Pour les groupes de faible rang 2, la preuve de ceci s'effondre, car des théorèmes tels que le théorème du foncteur de signalisation ne fonctionnent que pour les groupes avec des sous-groupes abéliens élémentaires de rang au moins 3.)

Groupes de type de composant

Un groupe est dit de type composante si pour un centralisateur C d'une involution, C / O ( C ) a une composante (où O ( C ) est le noyau de C , le sous-groupe normal maximal d'ordre impair). Ce sont plus ou moins les groupes de type Lie de caractère impair de grand rang, et les groupes alternés, ainsi que quelques groupes sporadiques. Une étape majeure dans ce cas est d'éliminer l'obstruction du noyau d'une involution. Ceci est accompli par le B-théorème , qui stipule que chaque composante de C / O ( C ) est l'image d'une composante de C .

L'idée est que ces groupes ont un centralisateur d'involution avec une composante qui est un groupe quasi-simple plus petit, que l'on peut supposer déjà connu par induction. Donc, pour classer ces groupes, on prend chaque extension centrale de chaque groupe simple fini connu, et on trouve tous les groupes simples avec un centralisateur d'involution avec celui-ci comme composant. Cela donne un assez grand nombre de cas différents à vérifier : il y a non seulement 26 groupes sporadiques et 16 familles de groupes de type Lie et les groupes alternés, mais aussi beaucoup de groupes de petit rang ou sur de petits champs se comportent différemment du général cas et doivent être traités séparément, et les groupes de type Lie de caractéristiques paires et impaires sont également très différents.

Groupes de type caractéristique 2

Un groupe est de type caractéristique 2 si le sous-groupe d'ajustement généralisé F *( Y ) de chaque sous-groupe 2-local Y est un 2-groupe. Comme son nom l'indique, ce sont à peu près les groupes de type Lie sur les champs de caractéristique 2, plus une poignée d'autres qui sont alternés ou sporadiques ou de caractéristique étrange. Leur classification est divisée en cas de petit et grand rang, où le rang est le plus grand rang d'un sous-groupe abélien impair normalisant un 2-sous-groupe non trivial, qui est souvent (mais pas toujours) le même que le rang d'une sous-algèbre de Cartan lorsque le groupe est un groupe de type Lie dans la caractéristique 2.

Les groupes de rang 1 sont les groupes minces, classés par Aschbacher, et ceux de rang 2 sont les fameux groupes quasi- minces , classés par Aschbacher et Smith. Ceux-ci correspondent approximativement à des groupes de type Lie de rangs 1 ou 2 sur des champs de caractéristique 2.

Les groupes de rang au moins 3 sont encore subdivisés en 3 classes par le théorème de la trichotomie , prouvé par Aschbacher pour le rang 3 et par Gorenstein et Lyons pour le rang au moins 4. Les trois classes sont des groupes de type GF(2) (classés principalement par Timmesfeld ), les groupes de « type standard » pour certains nombres premiers impairs (classés par le théorème de Gilman-Griess et les travaux de plusieurs autres) et les groupes de type unicité, où un résultat d'Aschbacher implique qu'il n'y a pas de groupes simples. Le cas général de rang supérieur se compose principalement des groupes de type Lie sur des champs de caractéristique 2 de rang au moins 3 ou 4.

Existence et unicité des groupes simples

La partie principale de la classification produit une caractérisation de chaque groupe simple. Il faut alors vérifier qu'il existe un groupe simple pour chaque caractérisation et qu'il est unique. Cela donne un grand nombre de problèmes distincts; par exemple, les preuves originales de l'existence et de l'unicité du groupe de monstres totalisaient environ 200 pages, et l'identification des groupes Ree par Thompson et Bombieri était l'une des parties les plus difficiles de la classification. La plupart des preuves d'existence et certaines des preuves d'unicité pour les groupes sporadiques utilisaient à l'origine des calculs informatiques, dont la plupart ont depuis été remplacés par des preuves manuelles plus courtes.

Histoire de la preuve

Le programme de Gorenstein

En 1972, Gorenstein (1979 , Annexe) a annoncé un programme pour compléter la classification des groupes simples finis, comprenant les 16 étapes suivantes :

1. Groupes de faible rang 2. Cela a été essentiellement fait par Gorenstein et Harada, qui ont classé les groupes avec 2 rangs au plus 4. La plupart des cas de 2 rangs au plus 2 avaient été faits au moment où Gorenstein a annoncé son programme.
2. La semi-simplicité des 2 couches. Le problème est de prouver que la 2-couche du centralisateur d'une involution dans un groupe simple est semi-simple.
3. Forme standard à caractéristique impaire. Si un groupe a une involution avec une 2-composante qui est un groupe de type Lie de caractéristique impaire, le but est de montrer qu'il a un centralisateur d'involution sous forme "standard" c'est-à-dire qu'un centralisateur d'involution a une composante qui est de type Lie à caractéristique impaire et possède également un centreur de 2 rang 1.
4. Classification des groupes de type impair. Le problème est de montrer que si un groupe possède un centralisateur d'involution de "forme standard" alors c'est un groupe de type Lie de caractéristique impaire. Ceci a été résolu par le théorème d'involution classique d'Aschbacher .
5. Forme quasi-standard
6. Involutions centrales
7. Classification des groupes en alternance.
8. Quelques groupes sporadiques
9. Groupes minces. Les groupes finis minces simples , ceux avec un p -rang 2-local au plus 1 pour les nombres premiers impairs p , ont été classés par Aschbacher en 1978
10. Groupes avec un sous-groupe fortement p-inclus pour p impair
11. La méthode du foncteur de signalisation pour les nombres premiers impairs. Le principal problème est de prouver un foncteur signalizer théorème de foncteurs non résoluble de signalizer. Cela a été résolu par McBride en 1982.
12. Groupes de type p caractéristique . C'est le problème des groupes avec un sous-groupe 2-local fortement p- plongé avec p impair, qui a été traité par Aschbacher.
13. Groupes quasi-minces. Un groupe quasi-mince est celui dont les 2-sous-groupes locaux ont un rang p au plus 2 pour tous les nombres premiers impairs p , et le problème est de classer les simples de type caractéristique 2. Cela a été complété par Aschbacher et Smith en 2004.
14. Groupes de faible 2-local 3-rang. Ceci a été essentiellement résolu par le théorème de trichotomie d'Aschbacher pour les groupes avec e ( G )=3. Le principal changement est que 2-local 3-rank est remplacé par 2-local p -rank pour les nombres premiers impairs.
15. Centralisateurs de 3 éléments sous forme standard. Cela a été essentiellement fait par le théorème de Trichotomie .
16. Classification de groupes simples de type caractéristique 2. Cela a été traité par le théorème de Gilman-Griess , avec 3-éléments remplacés par p -éléments pour les nombres premiers impairs.

Chronologie de la preuve

La plupart des éléments de la liste ci-dessous sont tirés de Solomon (2001) . La date indiquée est généralement la date de publication de la preuve complète d'un résultat, qui est parfois plusieurs années plus tardive que la preuve ou la première annonce du résultat, de sorte que certains éléments apparaissent dans le "mauvais" ordre.

Classement de deuxième génération

La preuve du théorème, telle qu'elle se présentait vers 1985 environ, peut être appelée première génération . En raison de la longueur extrême de la preuve de première génération, beaucoup d'efforts ont été consacrés à la recherche d'une preuve plus simple, appelée preuve de classification de deuxième génération . Cet effort, appelé « révisionnisme », était à l'origine dirigé par Daniel Gorenstein .

En 2021, neuf volumes de la preuve de deuxième génération ont été publiés (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). En 2012, Salomon a estimé que le projet aurait besoin de 5 autres volumes, mais a déclaré que les progrès étaient lents. On estime que la nouvelle épreuve remplira à terme environ 5 000 pages. (Cette longueur provient en partie du fait que la preuve de deuxième génération est écrite dans un style plus décontracté.) Cependant, avec la publication du volume 9 de la série GLS, et incluant la contribution Aschbacher-Smith, cette estimation était déjà atteinte, avec plusieurs autres volumes encore en préparation (le reste de ce qui était initialement prévu pour le volume 9, plus les volumes projetés 10 et 11). Aschbacher et Smith ont écrit leurs deux volumes consacrés au boîtier quasi-mince de telle sorte que ces volumes puissent faire partie de la preuve de deuxième génération.

Gorenstein et ses collaborateurs ont donné plusieurs raisons pour lesquelles une preuve plus simple est possible.

• La chose la plus importante est que l'énoncé correct et final du théorème soit maintenant connu. Des techniques plus simples peuvent être appliquées qui sont connues pour être adéquates pour les types de groupes que nous savons être finis simples. En revanche, ceux qui ont travaillé sur la preuve de première génération ne savaient pas combien il y avait de groupes sporadiques, et en fait certains des groupes sporadiques (par exemple, les groupes de Janko ) ont été découverts en prouvant d'autres cas du théorème de classification. En conséquence, de nombreuses pièces du théorème ont été prouvées en utilisant des techniques trop générales.
• Parce que la conclusion était inconnue, la preuve de première génération se compose de nombreux théorèmes autonomes, traitant de cas particuliers importants. Une grande partie du travail de démonstration de ces théorèmes a été consacrée à l'analyse de nombreux cas particuliers. Compte tenu d'une preuve plus large et orchestrée, le traitement de bon nombre de ces cas particuliers peut être reporté jusqu'à ce que les hypothèses les plus puissantes puissent être appliquées. Le prix payé sous cette stratégie révisée est que ces théorèmes de première génération n'ont plus de preuves relativement courtes, mais reposent plutôt sur la classification complète.
• De nombreux théorèmes de première génération se chevauchent et divisent ainsi les cas possibles de manière inefficace. En conséquence, les familles et sous-familles de groupes simples finis ont été identifiées plusieurs fois. La preuve révisée élimine ces redondances en s'appuyant sur une subdivision différente des cas.
• Les théoriciens des groupes finis ont plus d'expérience dans ce genre d'exercice et disposent de nouvelles techniques.

Aschbacher (2004) a appelé le travail sur le problème de classification par Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth et quelques autres, un programme de troisième génération . L'un des objectifs est de traiter tous les groupes de la caractéristique 2 de manière uniforme en utilisant la méthode de l'amalgame.

Pourquoi la preuve est-elle si longue ?

Gorenstein a discuté de certaines des raisons pour lesquelles il pourrait ne pas y avoir une courte preuve de la classification similaire à la classification des groupes de Lie compacts .

• La raison la plus évidente est que la liste des groupes simples est assez compliquée : avec 26 groupes sporadiques, il est probable qu'il y ait de nombreux cas particuliers qui doivent être pris en compte dans toute preuve. Jusqu'à présent, personne n'a encore trouvé une description uniforme et propre des groupes simples finis similaire à la paramétrisation des groupes de Lie compacts par les diagrammes de Dynkin .
• Atiyah et d'autres ont suggéré que la classification devrait être simplifiée en construisant un objet géométrique sur lequel les groupes agissent, puis en classant ces structures géométriques. Le problème est que personne n'a été en mesure de proposer un moyen facile de trouver une telle structure géométrique associée à un groupe simple. Dans un certain sens, la classification fonctionne en trouvant des structures géométriques telles que BN-paires , mais cela ne vient qu'à la fin d'une analyse très longue et difficile de la structure d'un groupe simple fini.
• Une autre suggestion pour simplifier la preuve est d'utiliser davantage la théorie des représentations . Le problème ici est que la théorie des représentations semble exiger un contrôle très étroit sur les sous-groupes d'un groupe afin de bien fonctionner. Pour les groupes de petit rang, on a un tel contrôle et la théorie des représentations fonctionne très bien, mais pour les groupes de rang plus élevé, personne n'a réussi à l'utiliser pour simplifier la classification. Au début de la classification, des efforts considérables ont été déployés pour utiliser la théorie des représentations, mais cela n'a jamais obtenu beaucoup de succès dans le cas de rang supérieur.

Conséquences du classement

Cette section énumère quelques résultats qui ont été prouvés en utilisant la classification des groupes simples finis.

• La conjecture de Schreier
• Le théorème du foncteur Signalizer
• La conjecture B
• Le théorème de Schur-Zassenhaus pour tous les groupes (bien que cela n'utilise que le théorème de Feit-Thompson ).
• Un groupe de permutation transitif sur un ensemble fini avec plus de 1 élément a un élément sans point fixe d'ordre de puissance premier.
• La classification des groupes de permutation 2-transitives .
• La classification des groupes de permutation de rang 3 .
• La conjecture des Sims
• Conjecture de Frobenius sur le nombre de solutions de x ⁿ = 1 .

Voir également

• Théorème d'O'Nan-Scott

Remarques

Les références

• Aschbacher, Michael (2004). « Le statut de la classification des groupes simples finis » (PDF) . Avis de l'American Mathematical Society . 51 (7). p. 736-740.
• Aschbacher, Michael ; Lyon, Richard ; Smith, Stephen D. ; Solomon, Ronald (2011), La classification des groupes simples finis: Groupes de type caractéristique 2 , Enquêtes mathématiques et monographies, 172 , ISBN 978-0-8218-5336-8
• Conway, John Horton ; Curtis, Robert Turner ; Norton, Simon Phillips ; Parker, Richard A ; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9
• Gorenstein, D. (1979), "La classification des groupes simples finis. I. Groupes simples et analyse locale", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 1 (1) : 43-199, doi : 10.1090/S0273- 0979-1979-14551-8 , ISSN  0002-9904 , MR  0513750
• Gorenstein, D. (1982), Groupes simples finis , University Series in Mathematics, New York : Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6, MR  0698782
• Gorenstein, D. (1983), La classification des groupes simples finis. Vol. 1. Groupes de type 2 non caractéristiques , The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6, MR  0746470
• Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American , 1er décembre 1985, vol. 253, non. 6, p. 104-115.
• Gorenstein, D. (1986), "Classifying the finite simple groups", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 14 (1) : 1-98, doi : 10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 , ISSN  0002-9904 , MR  0818060
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard ; Solomon, Ronald (1994), La classification des groupes simples finis , Enquêtes et monographies mathématiques, 40 , Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0334-9, MR  1303592
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard ; Solomon, Ronald (1996), La classification des groupes simples finis, Numéro 2 , Enquêtes et monographies mathématiques, 40 , Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0390-5, MR  1358135
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard ; Solomon, Ronald (1998), La classification des groupes simples finis, Numéro 3 , Enquêtes et monographies mathématiques, 40 , Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0391-2, MR  1490581
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard ; Solomon, Ronald (1999), La classification des groupes simples finis, Numéro 4. Partie II, Chapitres 1-4 : Théorèmes d'unicité , Enquêtes mathématiques et monographies, 40 , Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1379-9, MR  1675976
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard ; Solomon, Ronald (2002), La classification des groupes simples finis, Numéro 5 , Enquêtes et monographies mathématiques, 40 , Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2776-5, MR  1923000
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard ; Solomon, Ronald (2005), La classification des groupes simples finis, Numéro 6 : Partie IV : Le cas spécial impair , Enquêtes mathématiques et monographies, 40 , Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2777-2, MR  2104668
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard ; Solomon, Ronald (2018), La classification des groupes simples finis, Numéro 7 : Partie III, Chapitres 7–11 : Le cas générique, Étapes 3b et 4a , Enquêtes mathématiques et monographies, 40 , Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4069-6, MR  3752626
• Gorenstein, D. ; Lyon, Richard ; Solomon, Ronald (2018), La classification des groupes simples finis, Numéro 8 : Partie III, Chapitres 12–17 : Le cas générique, Terminé , Enquêtes et monographies mathématiques, 40 , Providence, RI : American Mathematical Society , ISBN 978-1-4704-4189-0
• Mark Ronan , Symmetry and the Monster , ISBN  978-0-19-280723-6 , Oxford University Press, 2006. (Introduction concise pour le lecteur profane)
• Marcus du Sautoy , Finding Moonshine , Fourth Estate, 2008, ISBN  978-0-00-721461-7 (une autre introduction pour le lecteur profane)
• Ron Solomon (1995) " Sur les groupes simples finis et leur classification ", Avis de l'American Mathematical Society . (Pas trop technique et bon sur l'histoire)
• Solomon, Ronald (2001), « Une brève histoire de la classification des groupes simples finis » (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 38 (3) : 315–352, doi : 10.1090/S0273-0979 -01-00909-0 , ISSN  0002-9904 , MR  1824893– article a remporté le prix Levi L. Conant pour l'exposition
• Thompson, John G. (1984), « Groupes finis non solubles », dans Gruenberg, KW ; Roseblade, JE (éd.), Théorie des groupes. Essais pour Philip Hall , Boston, MA: Academic Press , pp. 1-12, ISBN 978-0-12-304880-6, MR  0780566
• Wilson, Robert A. (2009), Les groupes simples finis , Graduate Texts in Mathematics 251, 251 , Berlin, New York : Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012

Liens externes

• ATLAS des représentations des groupes finis. Base de données consultable de représentations et d'autres données pour de nombreux groupes simples finis.
• Elwes, Richard, « Un énorme théorème : la classification des groupes simples finis », Plus Magazine , numéro 41, décembre 2006. Pour les profanes.
• Madore, David (2003) Ordres des groupes simples non abéliens. Archivé le 04/04/2005 à la Wayback Machine Inclut une liste de tous les groupes simples non abéliens jusqu'à l'ordre 10 ¹⁰ .
• En quel sens la classification de tous les groupes finis est-elle « impossible » ?
• Ornes, Stéphane (2015). "Les chercheurs se précipitent pour sauver l'énorme théorème avant que sa preuve géante ne disparaisse" . Scientifique américain . doi : 10.1038/scientificamerican0715-68 .