Glossaire de la théorie des champs - Glossary of field theory

La théorie des champs est la branche des mathématiques dans laquelle les domaines sont étudiés. Ceci est un glossaire de certains termes du sujet. (Voir la théorie des champs (physique) pour les théories des champs non liées en physique.)

Définition d'un champ

Un champ est un anneau commutatif ( F , +, *) dans lequel 0 ≠ 1 et chaque élément différent de zéro a un inverse multiplicatif. Dans un champ on peut ainsi effectuer les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division.

Les éléments non nuls d'un champ F forment un groupe abélien sous multiplication; ce groupe est typiquement désigné par F × ;

L' anneau de polynômes dans la variable x avec des coefficients dans F est noté F [ x ].

Définitions basiques

Caractéristique
La caractéristique du champ F est le plus petit entier positif n tel que n · 1 = 0; ici n · 1 représente n sommets 1 + 1 + 1 + ... + 1. Si un tel n n'existe pas, nous disons que la caractéristique est nulle. Chaque caractéristique non nulle est un nombre premier . Par exemple, les nombres rationnels , les nombres réels et les nombres p -adiques ont la caractéristique 0, tandis que le corps fini Z p où p est premier a la caractéristique p .
Sous-champ
Un sous - champ d'un champ F est un sous - ensemble de F qui est fermé sous l'opération de champ + et * de F et qui, avec ces opérations, forme lui-même un champ.
Champ Prime
Le champ premier du champ F est le plus petit sous - champ unique de F .
Champ d'extension
Si F est un sous - corps de E alors E est un champ d'extension de F . On dit alors aussi que E / F est une extension de champ .
Degré d'extension
Étant donné une extension E / F , le champ E peut être considéré comme un espace vectoriel sur le champ F , et la dimension de cet espace vectoriel est le degré de l'extension, noté [ E  : F ].
Extension finie
Une extension finie est une extension de champ dont le degré est fini.
Extension algébrique
Si un élément α d'un champ d'extension E sur F est la racine polynôme d'un non-zéro dans F [ x ], puis α est algébrique sur F . Si chaque élément de E est algébrique sur F , alors E / F est une extension algébrique .
Groupe électrogène
Compte tenu de l'extension du champ E / F et un sous - ensemble S de E , on écrit F ( S ) pour le plus petit sous - champ de E qui contient à la fois F et S . Il se compose de tous les éléments de E qui peuvent être obtenus par plusieurs reprises à l' aide des opérations +, -, *, / sur les éléments de F et S . Si E = F ( S ) on dit que E est généré par S sur F .
Élément primitif
Un élément α d'un champ d'extension E sur un champ F est appelé élément primitif si E = F (α), le plus petit champ d'extension contenant α. Une telle extension est appelée une simple extension .
Champ de fractionnement
Une extension de champ générée par la factorisation complète d'un polynôme.
Extension normale
Une extension de champ générée par la factorisation complète d'un ensemble de polynômes.
Extension séparable
Une extension générée par des racines de polynômes séparables .
Champ parfait
Un champ tel que toute extension finie est séparable. Tous les champs de caractéristique zéro, et tous les champs finis, sont parfaits.
Degré imparfait
Soit F un corps de caractéristique p > 0; alors F p est un sous-champ. Le degré [ F : F p ] est appelé le degré imparfait du F . Le champ F est parfait si et seulement si son degré imparfait est 1 . Par exemple, si F est un champ de fonction de n variables sur un corps fini de caractéristique p > 0, alors son degré imparfait est p n .
Champ algébriquement clos
Un champ F est algébriquement clos si chaque polynôme dans F [ x ] a une racine dans F ; de manière équivalente: tout polynôme de F [ x ] est un produit de facteurs linéaires.
Fermeture algébrique
Une fermeture algébrique d'un champ F est une extension algébrique de F qui est algébriquement fermée. Chaque champ a une clôture algébrique, et il est unique à un isomorphisme qui fixe F .
Transcendantal
Ces éléments d'un champ d'extension de F qui ne sont pas algébrique sur F sont transcendantale sur F .
Éléments algébriquement indépendants
Les éléments d'un champ d'extension de F sont algébriquement indépendants sur F si elles ne satisfont pas équation polynomiale non nul à coefficients dans F .
Degré de transcendance
Le nombre d'éléments transcendantaux algébriquement indépendants dans une extension de champ. Il est utilisé pour définir la dimension d'une variété algébrique .

Homomorphismes

Homomorphisme de champ
Un homomorphisme de champ entre deux champs E et F est une fonction
f  : E → F
tel que, pour tout x , y dans E ,
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
f ( xy ) = f ( x ) f ( y )
f (1) = 1.
Ces propriétés impliquent que f (0) = 0 , f ( x −1 ) = f ( x ) −1 pour x dans E avec x ≠ 0 , et que f est injective . Les champs, avec ces homomorphismes, forment une catégorie . Deux champs E et F sont appelés isomorphes s'il existe un homomorphisme bijectif
f  : E → F .
Les deux champs sont alors identiques à toutes fins pratiques; cependant, pas nécessairement d'une manière unique . Voir, par exemple, la conjugaison complexe .

Types de champs

Champ fini
Un champ aux éléments finis. Champ d' Aka Galois .
Champ ordonné
Un champ avec un ordre total compatible avec ses opérations.
Nombres rationnels
Nombres réels
Nombres complexes
Champ numérique
Extension finie du champ des nombres rationnels.
Nombres algébriques
Le champ des nombres algébriques est la plus petite extension algébriquement fermée du champ des nombres rationnels. Leurs propriétés détaillées sont étudiées dans la théorie algébrique des nombres .
Champ quadratique
Une extension de degré deux des nombres rationnels.
Champ cyclotomique
Une extension des nombres rationnels générés par une racine d'unité .
Champ totalement réel
Un champ numérique généré par une racine d'un polynôme, ayant tous ses nombres réels de racines.
Champ formellement réel
Vrai champ clos
Champ mondial
Un champ numérique ou un champ de fonction d'une variable sur un champ fini.
Champ local
Une complétion d'un champ global (par rapport à un premier de l'anneau entier).
Champ complet
Un champ complet pour une évaluation.
Champ pseudo algébriquement clos
Un domaine dans lequel chaque variété a un point rationnel .
Champ hensélien
Un champ satisfaisant le lemme de Hensel avec une certaine valorisation. Une généralisation de champs complets.
Champ hilbertien
Un champ satisfaisant le théorème d'irréductibilité de Hilbert : formellement, celui pour lequel la ligne projective n'est pas mince au sens de Serre .
Champ kroneckérien
Un champ de nombres algébriques totalement réel ou une extension quadratique totalement imaginaire d'un champ totalement réel.
Champ CM ou champ J
Un champ de nombres algébriques qui est une extension quadratique totalement imaginaire d'un champ totalement réel.
Champ lié
Un domaine sur lequel aucune algèbre de biquaternion n'est une algèbre de division .
Champ de Frobenius
Un champ pseudo algébriquement clos dont le groupe de Galois absolu a la propriété d'enfouissement.

Extensions de champ

Soit E / F une extension de champ.

Extension algébrique
Une extension dans laquelle chaque élément de E est algébrique sur F .
Extension simple
Une extension qui est générée par un seul élément, appelé élément primitif ou élément générateur . Le théorème des éléments primitifs classe ces extensions.
Extension normale
Une extension qui divise une famille de polynômes: toutes les racines du polynôme minimal d'un élément de E sur F est également E .
Extension séparable
Une extension algébrique dans laquelle le polynôme minimal de chaque élément de E sur F est un polynôme séparable , c'est-à-dire a des racines distinctes.
Extension Galois
Une extension de champ normale et séparable.
Extension principale
Une extension E / F telle que la fermeture algébrique de F dans E est purement inséparable sur F ; de manière équivalente, E est disjoint linéairement à partir de la fermeture séparable de F .
Extension purement transcendantale
Une extension E / F dans lequel chaque élément de E pas dans F est transcendant sur F .
Extension régulière
Une extension E / F de telle sorte que E est séparable sur F et F est fermé algébriquement dans E .
Extension radicale simple
Une simple extension E / F généré par un seul élément α satisfaisant pour un élément b de F . Dans la caractéristique p , nous considérons aussi une extension par une racine d'un polynôme Artin – Schreier comme une simple extension radicale.
Extension radicale
Une tour où chaque extension est une simple extension radicale.
Extension auto-régulière
Une extension E / F telle que E ⊗ F E est un domaine intégral.
Extension totalement transcendantale
Une extension E / F tel que F est fermé algébriquement en F .
Classe distinguée
Une classe C d'extensions de champ avec les trois propriétés
  1. Si E est un C-extension de F et F est un C-extension de K alors E est un C-extension de K .
  2. Si E et F sont des extensions C- K dans un courant Overfield M , alors le compositum EF est un C-extension de K .
  3. Si E est un C-extension de F et E > K > F puis E est un C-extension de K .

Théorie de Galois

Extension Galois
Une extension de champ normale et séparable.
Groupe Galois
Le groupe d'automorphisme d'une extension galoisienne. Lorsqu'il s'agit d'une extension finie, c'est un groupe fini d'ordre égal au degré de l'extension. Les groupes de Galois pour des extensions infinies sont des groupes profinis .
Théorie de Kummer
La théorie de Galois de prendre des racines n- ièmes, étant donné suffisamment de racines d'unité . Il inclut la théorie générale des extensions quadratiques .
Théorie d'Artin – Schreier
Couvre un cas exceptionnel de la théorie de Kummer, dans la caractéristique p .
Base normale
Une base au sens de l'espace vectoriel de L sur K , sur laquelle le groupe de Galois de L sur K agit transitivement.
Produit tensoriel de champs
Un autre élément fondamental de l'algèbre, y compris l' opération compositum ( jointure de champs).

Extensions de la théorie de Galois

Problème inverse de la théorie de Galois
Étant donné un groupe G , trouvez une extension du nombre rationnel ou d'un autre corps avec G comme groupe de Galois.
Théorie différentielle de Galois
Le sujet dans lequel les groupes de symétrie d' équations différentielles sont étudiés selon les lignes traditionnelles de la théorie de Galois. C'est en fait une vieille idée, et l'une des motivations lorsque Sophus Lie a fondé la théorie des groupes de Lie . Il n'a probablement pas atteint sa forme définitive.
Théorie de Galois de Grothendieck
Une approche très abstraite de la géométrie algébrique , introduite pour étudier l'analogue du groupe fondamental .

Les références