Cellule Wigner-Seitz - Wigner–Seitz cell
La cellule de Wigner-Seitz , du nom d' Eugène Wigner et de Frederick Seitz , est une cellule primitive qui a été construite en appliquant la décomposition de Voronoi à un réseau cristallin . Il est utilisé dans l'étude des matériaux cristallins en physique du solide .
La propriété unique d'un cristal est que ses atomes sont disposés en un réseau tridimensionnel régulier appelé réseau . Toutes les propriétés attribuées aux matériaux cristallins découlent de cette structure très ordonnée. Une telle structure présente une symétrie de translation discrète . Afin de modéliser et d'étudier un tel système périodique, il faut une « poignée » mathématique pour décrire la symétrie et donc tirer des conclusions sur les propriétés matérielles résultant de cette symétrie. La cellule Wigner-Seitz est un moyen d'y parvenir.
Une cellule de Wigner-Seitz est un exemple de cellule primitive , qui est une cellule unitaire contenant exactement un point de réseau. Pour un réseau donné, il existe un nombre infini de cellules primitives possibles. Cependant, il n'y a qu'une seule cellule de Wigner-Seitz pour un réseau donné. C'est le lieu des points dans l'espace qui sont plus proches de ce point du réseau que de tout autre point du réseau.
Une cellule de Wigner-Seitz, comme toute cellule primitive, est un domaine fondamental pour la symétrie de translation discrète du réseau. La cellule primitive du réseau réciproque dans l' espace des impulsions est appelée la zone de Brillouin .
Aperçu
Fond
Le concept de décomposition de voronoi a été étudié par Peter Gustav Lejeune Dirichlet , ce qui a conduit au nom de domaine de Dirichlet . D'autres contributions ont été apportées par Evgraf Fedorov , ( Fedorov paralléloèdre ), Georgy Voronoy ( Voronoi polyèdre ) et Paul Niggli ( Wirkungsbereich ).
L'application à la physique de la matière condensée a été proposée pour la première fois par Eugene Wigner et Frederick Seitz dans un article de 1933, où elle a été utilisée pour résoudre l' équation de Schrödinger pour les électrons libres dans le sodium élémentaire . Ils ont approximé la forme de la cellule de Wigner-Seitz dans le sodium, qui est un octaèdre tronqué, comme une sphère de volume égal, et ont résolu l'équation de Schrödinger exactement en utilisant des conditions aux limites périodiques , qui nécessitent à la surface de la sphère. Un calcul similaire qui tenait également compte de la nature non sphérique de la cellule de Wigner-Seitz a été effectué plus tard par John C. Slater .
Il y a seulement cinq polyèdres topologiquement distincts qui tuile d'espace à trois dimensions , ℝ 3 . On les appelle les paralléloèdres . Ils font l'objet d'un intérêt mathématique, comme dans les dimensions supérieures. Ces cinq paralelloèdres peuvent être utilisés pour classer les réseaux tridimensionnels en utilisant le concept de plan projectif, comme suggéré par John Horton Conway et Neil Sloane . Cependant, alors qu'une classification topologique considère que toute transformation affine conduit à une classe identique, une classification plus spécifique conduit à 24 classes distinctes de polyèdres de voronoi à bords parallèles qui tuilent l'espace. Par exemple, le cuboïde rectangulaire , le prisme carré droit et le cube appartiennent à la même classe topologique, mais se distinguent par des rapports différents de leurs côtés. Cette classification des 24 types de polyèdres de voronoi pour les réseaux de Bravais a été établie pour la première fois par Boris Delaunay .
Définition
La cellule de Wigner-Seitz autour d'un point du réseau est définie comme le lieu des points dans l'espace qui sont plus proches de ce point du réseau que de l'un des autres points du réseau.
On peut montrer mathématiquement qu'une cellule de Wigner-Seitz est une cellule primitive . Cela implique que la cellule s'étend sur tout l'espace direct sans laisser d'espaces ou de trous, une propriété connue sous le nom de tessellation .
Construire la cellule
Le concept mathématique général incarné dans une cellule de Wigner-Seitz est plus communément appelé cellule de Voronoï , et la partition du plan en ces cellules pour un ensemble donné de sites ponctuels est connue sous le nom de diagramme de Voronoï .
La cellule peut être choisie en choisissant d'abord un point du réseau . Une fois qu'un point est choisi, des lignes sont tracées vers tous les points de réseau à proximité. Au milieu de chaque ligne, une autre ligne est tracée perpendiculairement à chacune du premier ensemble de lignes. La plus petite zone délimitée de cette manière est appelée la cellule primitive de Wigner-Seitz .
Pour un réseau tridimensionnel, les étapes sont analogues, mais à l'étape 2, au lieu de tracer des lignes perpendiculaires, des plans perpendiculaires sont tracés au milieu des lignes entre les points du réseau.
Comme dans le cas de toutes les cellules primitives, toute la zone ou l'espace dans le réseau peut être rempli par des cellules de Wigner-Seitz et il n'y aura pas d'espace.
Les points de réseau proches sont continuellement examinés jusqu'à ce que la zone ou le volume inclus soit la zone ou le volume correct pour une cellule primitive . Alternativement, si les vecteurs de base du réseau sont réduits à l'aide de la réduction de réseau, seul un nombre défini de points de réseau doit être utilisé. En deux dimensions, seuls les points du réseau qui composent les 4 mailles unitaires qui partagent un sommet avec l'origine doivent être utilisés. En trois dimensions, seuls les points du réseau qui composent les 8 mailles unitaires qui partagent un sommet avec l'origine doivent être utilisés.
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La cellule de Wigner-Seitz du réseau cubique primitif est un cube . En mathématiques, il est connu sous le nom de nid d'abeille cubique .
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La cellule de Wigner-Seitz du réseau cubique centré sur le corps est un octaèdre tronqué . En mathématiques, il est connu sous le nom de nid d'abeille cubique tronqué .
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La cellule de Wigner-Seitz du réseau cubique à faces centrées est un dodécaèdre rhombique . En mathématiques, il est connu sous le nom de nid d'abeille rhombique dodécaédrique .
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La cellule de Wigner-Seitz du réseau tétragonal centré sur le corps qui a des constantes de réseau avec est le dodécaèdre allongé .
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La cellule de Wigner-Seitz du réseau hexagonal primitif est le prisme hexagonal . En mathématiques, il est connu sous le nom de nid d'abeille prismatique hexagonal .
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Classe topologique (le paralléloèdre équivalent affine ) | ||||||
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Octaèdre tronqué | dodécaèdre allongé | dodécaèdre rhombique | Prisme hexagonal | cube | ||
Treillis de Bravais | Cube primitif | Tout | ||||
Cube centré | Tout | |||||
Cube centré sur le corps | Tout | |||||
Hexagonal primitif | Tout | |||||
Rhomboédrique primitif | ||||||
Tétragonale primitive | Tout | |||||
Tétragonale centrée sur le corps | ||||||
Orthorhombique primitif | Tout | |||||
Orthorhombique base centrée | Tout | |||||
Orthorhombique face centrée | Tout | |||||
Orthorhombique centré sur le corps | ||||||
Monoclinique primitive | Tout | |||||
Monoclinique centrée |
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, | , | |||
, | ||||||
Triclinique primitive |
où |
une fois |
où |
Treillis composites
Pour les réseaux composites , (cristaux qui ont plus d'un vecteur dans leur base ) chaque point unique du réseau représente plusieurs atomes. Nous pouvons diviser chaque cellule de Wigner-Seitz en sous-cellules par une décomposition de Voronoï en fonction de l'atome le plus proche, au lieu du point de réseau le plus proche. Par exemple, la structure cristalline du diamant contient une base à deux atomes. Dans le diamant, les atomes de carbone ont tetraheral sp 3 liaison , mais comme tétraèdres ne le font pas d' espace de tuiles , la décomposition voronoi de la structure cristalline du diamant est en fait le nid d' abeille tétraèdre tronqué Triakis . Un autre exemple est l'application de la décomposition de Voronoi aux atomes dans les phases A15 , qui forme l' approximation polyédrique de la structure Weaire-Phelan .
Symétrie
La cellule de Wigner-Seitz a toujours la même symétrie ponctuelle que le réseau de Bravais sous-jacent . Par exemple, le cube , tronquée octaèdre et dodécaèdre rhombique ont le point O symétrie h , puisque le Bravais Treillis utilisé pour les générer appartiennent tous au cube respectif système de réseau , qui a O h symétrie ponctuelle.
Quartier Brillouin
En pratique, la cellule de Wigner-Seitz elle-même est en fait rarement utilisée comme description de l'espace direct , où les cellules unitaires conventionnelles sont généralement utilisées à la place. Cependant, la même décomposition est extrêmement importante lorsqu'elle est appliquée à l'espace réciproque . La cellule de Wigner-Seitz dans l'espace réciproque s'appelle la zone de Brillouin , qui contient les informations indiquant si un matériau sera un conducteur , un semi - conducteur ou un isolant .