Champ quadratique - Quadratic field

En théorie algébrique des nombres , un corps quadratique est un corps de nombres algébriques de degré deux sur Q , les nombres rationnels .

Chacun de ces corps quadratiques est un certain Q ( √ d ) où d est un entier sans carré (défini de manière unique) différent de 0 et 1 . Si d > 0 , le champ quadratique correspondant est appelé un champ quadratique réel , et pour d < 0 un champ quadratique imaginaire ou un champ quadratique complexe , correspondant à ce qu'il s'agisse ou non d'un sous -champ du champ des nombres réels .

Les champs quadratiques ont été étudiés en profondeur, initialement dans le cadre de la théorie des formes quadratiques binaires . Il reste quelques problèmes non résolus. Le problème du numéro de classe est particulièrement important.

Anneau d'entiers

Discriminant

Pour un nombre entier non nul sans carré d , le discriminant du corps quadratique K = Q ( √ d ) est d si d est congru à 1 modulo 4, et par ailleurs 4 d . Par exemple, si d est -1, alors K est le corps des rationnels gaussiens et le discriminant est -4. La raison d'une telle distinction est que l' anneau des entiers de K est engendré par 1 ⁄ 2 (1+ √ d ) dans le premier cas, mais par √ d dans le second cas.

L'ensemble des discriminants des champs quadratiques est exactement l'ensemble des discriminants fondamentaux .

Factorisation première en idéaux

Tout nombre premier p donne naissance à un pO _K idéal dans l' anneau des entiers O _K d'un corps quadratique K . Conformément à la théorie générale de la division des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes , cela peut être

p est inerte

( p ) est un idéal premier

L'anneau quotient est le corps fini à p ² éléments : O _K / pO _K = F _{p ²}

p divise

( p ) est un produit de deux idéaux premiers distincts de O _K .

L'anneau quotient est le produit O _K / pO _K = F _p × F _p .

p est ramifié

( p ) est le carré d' un idéal premier de O _K .

L'anneau quotient contient des éléments nilpotents non nuls .

Le troisième cas se produit si et seulement si p divise le discriminant D . Les premier et deuxième cas se produisent lorsque le symbole de Kronecker ( D/p ) est égal à -1 et +1, respectivement. Par exemple, si p est un nombre premier impair ne divisant pas D , alors p se divise si et seulement si D est congru à un carré modulo p . Les deux premiers cas sont dans un certain sens également susceptibles de se produire lorsque p passe par les nombres premiers, voir le théorème de densité de Chebotarev .

La loi de réciprocité quadratique implique que le comportement de dédoublement d'un nombre premier p dans un champ quadratique ne dépend que de p modulo D , où D est le discriminant du champ.

Groupe de classe

La détermination du groupe de classes d'une extension de champ quadratique peut être accomplie en utilisant la limite de Minkowski et le symbole de Kronecker en raison de la finitude du groupe de classes . Un corps quadratique a un discriminant${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&{\text{if }}d=4k+1\\4d&{\text{if }}d=4k+2{\text{ ou } }4k+3\fin{cas}}}$

donc la borne de Minkowski est

${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}\left({\frac {4}{\pi }}\right){\frac {1}{2}}{\sqrt {|d|}} &{\text{if }}d<0{\text{ et }}d=4k+1\\\left({\frac {4}{\pi }}\right){\sqrt {|d|} }&{\text{if }}d<0{\text{ et }}d=4k+2{\text{ ou }}4k+3\\{\frac {1}{2}}{\sqrt { |d|}}&{\text{if }}d>0{\text{ et }}d=4k+1\\{\sqrt {|d|}}&{\text{if }}d>0 {\text{ et }}d=4k+2{\text{ ou }}4k+3\\\end{cases}}}$

Ensuite, le groupe de classe idéal est généré par les idéaux premiers dont la norme est inférieure à . Cela peut être fait en regardant la décomposition des idéaux pour premier où ^{page 72} . Ces décompositions peuvent être trouvées en utilisant le théorème de Kummer-Dedekind . ${\style d'affichage M_{K}}$${\style d'affichage (p)}$${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$${\style d'affichage |p|<M_{k}}$

Sous-champs quadratiques des champs cyclotomiques

Le sous-champ quadratique du premier champ cyclotomique

Un exemple classique de la construction d'un champ quadratique est de prendre l'unique champ quadratique à l'intérieur du champ cyclotomique généré par une racine primitive p -ième de l'unité, avec p un nombre premier > 2. L'unicité est une conséquence de la théorie de Galois , il étant un unique sous-groupe d' indice 2 dans le groupe de Galois sur Q . Comme expliqué à la période gaussienne , le discriminant du champ quadratique est p pour p  = 4 n  + 1 et − p pour p  = 4 n  + 3. Cela peut également être prédit à partir d'une théorie de ramification suffisante . En fait p est le seul nombre premier qui se ramifie dans le champ cyclotomique, de sorte que p est le seul nombre premier qui puisse diviser le discriminant du champ quadratique. Cela exclut les « autres » discriminants -4 p et 4 p dans les cas respectifs.

Autres champs cyclotomiques

Si l'on prend les autres champs cyclotomiques, ils ont des groupes de Galois avec une 2-torsion supplémentaire, et contiennent donc au moins trois champs quadratiques. En général, un champ quadratique de discriminant de champ D peut être obtenu comme sous-champ d'un champ cyclotomique de racines D- ième de l'unité. Cela exprime le fait que le conducteur d'un champ quadratique est la valeur absolue de son discriminant, un cas particulier de la formule conducteur-discriminant .

Ordres des champs de nombres quadratiques de petit discriminant

Le tableau suivant montre quelques ordres de petits discriminants de champs quadratiques. L' ordre maximal d'un corps de nombres algébriques est son anneau d'entiers , et le discriminant d'ordre maximal est le discriminant du corps. Le discriminant d'ordre non maximal est le produit du discriminant d'ordre maximal correspondant par le carré du déterminant de la matrice qui exprime une base d'ordre non maximal sur une base d'ordre maximal. Tous ces discriminants peuvent être définis par la formule de Discriminant d'un corps de nombre algébrique § Définition .

Pour les anneaux entiers quadratiques réels, le numéro de classe idéal , qui mesure l'échec de la factorisation unique, est donné dans OEIS A003649 ; pour le cas imaginaire, elles sont données dans OEIS A000924 .

Certains de ces exemples sont répertoriés dans Artin, Algebra (2 ^e éd.), §13.8.

Voir également

Remarques

Les références

• Buell, Duncan (1989), Formes quadratiques binaires : théorie classique et calculs modernes , Springer-Verlag , ISBN 0-387-97037-1 Chapitre 6.
• Samuel, Pierre (1972), Algebraic Theory of Numbers (édition à couverture rigide), Paris / Boston : Hermann / Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
  • Samuel, Pierre (2008), Théorie algébrique des nombres (édition de poche), Douvres, ISBN 978-0-486-46666-8
• Stewart, IN ; Tall, DO (1979), Théorie algébrique des nombres , Chapman et Hall, ISBN 0-412-13840-9 Chapitre 3.1.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Champ quadratique" . MathWorld .
• "Champ quadratique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]