Fractionnement des idéaux primordiaux dans les extensions galoisiennes - Splitting of prime ideals in Galois extensions

En mathématiques , l'interaction entre le groupe galoisien G d'une extension galoisienne L d'un corps de nombres K , et la manière dont les idéaux premiers P de l' anneau des entiers O _K factorisent comme produits des idéaux premiers de O _L , fournit l'un des plus riches parties de la théorie algébrique des nombres . La scission des idéaux premiers dans les extensions galoisiennes est parfois attribuée à David Hilbert en l'appelant théorie de Hilbert . Il existe un analogue géométrique, pour les revêtements ramifiés de surfaces de Riemann , qui est plus simple en ce qu'un seul type de sous-groupe de G doit être considéré, plutôt que deux. C'était certainement familier avant Hilbert.

Définitions

Soit L / K une extension finie de corps de nombres, et soit O _K et O _L l' anneau correspondant d'entiers de K et L , respectivement, qui sont définis comme la fermeture intégrale des entiers Z dans le champ en question.

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} O_ {K} & \ hookrightarrow & O_ {L} \\\ downarrow && \ downarrow \\ K & \ hookrightarrow & L \ end {array}}}$

Enfin, soit p un idéal premier non nul dans O _K , ou de manière équivalente, un idéal maximal , de sorte que le résidu O _K / p soit un corps .

De la théorie de base des anneaux unidimensionnels découle l'existence d'une décomposition unique

${\ displaystyle pO_ {L} = \ prod _ {j = 1} ^ {g} P_ {j} ^ {e_ {j}}}$

de l'idéal pO _L généré dans O _L par p en un produit d'idéaux maximaux distincts P _j , avec des multiplicités e _j .

Le champ F = O _K / p s'intègre naturellement dans F _j = O _L / P _j pour tout j , le degré f _j = [ O _L / P _j  : O _K / p ] de cette extension de champ résiduel est appelé degré d'inertie de P _j sur p .

La multiplicité e _j est appelée indice de ramification de P _j sur p . S'il est plus grand que 1 pour un certain j , l'extension de champ L / K est appelée ramifiée en p (ou on dit que p ramifie en L , ou qu'elle est ramifiée en L ). Sinon, L / K est appelé non ramifié à la p . Si tel est le cas, alors selon le théorème chinois du reste, le quotient O _L / pO _L est un produit des champs F _j . L'extension L / K est ramifiée exactement dans ces nombres premiers qui divisent le discriminant relatif , par conséquent l'extension n'est pas ramifiée dans tous les idéaux premiers, sauf un nombre fini.

La multiplicativité de la norme idéale implique

${\ displaystyle [L: K] = \ sum _ {j = 1} ^ {g} e_ {j} f_ {j}.}$

Si f _j = e _j = 1 pour chaque j (et donc g = [ L  : K ]), on dit que p divise complètement en L . Si g = 1 et f ₁ = 1 (et donc e ₁ = [ L  : K ]), on dit que p ramifie complètement en L . Enfin, si g = 1 et e ₁ = 1 (et donc f ₁ = [ L  : K ]), on dit que p est inerte dans L .

La situation galoisienne

Dans ce qui suit, l'extension L / K est supposée être une extension Galois . Puis le groupe Galois agit de manière transitoire sur le P _j . C'est, les principaux facteurs idéaux de p en L forment une seule orbite sous les automorphismes de L sur K . De ceci et du théorème de factorisation unique , il s'ensuit que f = f _j et e = e _j sont indépendants de j ; quelque chose qui n'a certainement pas besoin d'être le cas pour les extensions qui ne sont pas Galois. Les relations de base se lisent alors ${\ displaystyle G = \ operatorname {Gal} (L / K)}$

${\ displaystyle pO_ {L} = \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {g} P_ {j} \ right) ^ {e}}$.

et

${\ displaystyle [L: K] = efg.}$

La relation ci - dessus montre que [ L  : K ] / ef est égal au nombre g de facteurs premiers de p en O _L . Par la formule du stabilisateur d'orbite, ce nombre est également égal à | G | / | D _{P j} | pour tout j , où D _{P j} , le groupe de décomposition de P _j , est le sous-groupe d'éléments de G envoyant à lui-même un P _j donné . Puisque le degré de L / K et l'ordre de G sont égaux par la théorie de base de Galois, il s'ensuit que l'ordre du groupe de décomposition D _{P j} est ef pour tout j .

Ce groupe de décomposition contient un sous-groupe I _{P j} , appelé groupe d'inertie de P _j , constitué d'automorphismes de L / K qui induisent l'automorphisme d'identité sur F _j . En d'autres termes, I _{P j} est le noyau de la carte de réduction . On peut montrer que cette application est surjective, et il s'ensuit qu'elle est isomorphe à D _{P j} / I _{P j} et que l'ordre du groupe d'inertie I _{P j} est e . ${\ displaystyle D_ {P_ {j}} \ to \ operatorname {Gal} (F_ {j} / F)}$${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (F_ {j} / F)}$

La théorie de l' élément de Frobenius va plus loin, pour identifier un élément de D _{P j} / I _{P j} pour donné j qui correspond à la automorphismes de Frobenius dans le groupe de Galois de l'extension de champ fini F _j / F . Dans le cas non ramifié, l'ordre de D _{P j} est f et I _{P j} est trivial. L'élément Frobenius est également dans ce cas un élément de D _{P j} (et donc aussi un élément de G ).

Dans l'analogue géométrique, pour les variétés complexes ou la géométrie algébrique sur un champ algébriquement clos , les concepts de groupe de décomposition et de groupe d'inertie coïncident. Là, étant donné une couverture ramifiée galoisienne, tous sauf un nombre infini de points ont le même nombre de pré - images .

Le découpage des nombres premiers dans des extensions qui ne sont pas Galois peut être étudié en utilisant au départ un champ de découpage , c'est-à-dire une extension de Galois un peu plus grande. Par exemple, les champs cubiques sont généralement «régulés» par un champ de degré 6 les contenant.

Exemple - les entiers gaussiens

Cette section décrit la séparation des idéaux premiers dans le prolongement de champ Q (i) / Q . Autrement dit, nous prenons K = Q et L = Q (i), donc O _K est simplement Z , et O _L = Z [i] est l'anneau des entiers gaussiens . Bien que ce cas soit loin d'être représentatif - après tout, Z [i] a une factorisation unique , et il n'y a pas beaucoup de champs quadratiques avec une factorisation unique - il présente de nombreuses caractéristiques de la théorie.

En écrivant G pour le groupe de Galois de Q (i) / Q , et σ pour l'automorphisme de conjugaison complexe dans G , il y a trois cas à considérer.

Le premier p = 2

Le premier 2 de Z se ramifie dans Z [i]:

${\ displaystyle (2) = (1 + i) ^ {2}}$

L'indice de ramification est donc ici e = 2. Le champ résidu est

${\ displaystyle O_ {L} / (1 + i) O_ {L}}$

qui est le corps fini à deux éléments. Le groupe de décomposition doit être égal à tout G , car il n'y a qu'un seul premier de Z [i] au-dessus de 2. Le groupe d'inertie est également tout de G , puisque

${\ Displaystyle a + bi \ equiv a-bi {\ bmod {1}} + i}$

pour tout entier a et b , comme . ${\ Displaystyle a + bi = 2bi + a-bi = (1 + i) \ cdot (1-i) bi + a-bi \ equiv a-bi {\ bmod {1}} + i}$

En fait, 2 est le seul premier qui se ramifie dans Z [i], puisque tout premier qui ramifie doit diviser le discriminant de Z [i], qui est −4.

Primes p ≡ 1 mod 4

Tout premier p ≡ 1 mod 4 se divise en deux idéaux premiers distincts dans Z [i]; c'est une manifestation du théorème de Fermat sur les sommes de deux carrés . Par exemple:

${\ displaystyle 13 = (2 + 3i) (2-3i)}$

Les groupes de décomposition dans ce cas sont à la fois le groupe trivial {1}; en effet, l'automorphisme σ change les deux nombres premiers (2 + 3i) et (2 - 3i), il ne peut donc pas être dans le groupe de décomposition de l'un ou l'autre des premiers. Le groupe d'inertie, étant un sous-groupe du groupe de décomposition, est également le groupe trivial. Il y a deux champs de résidus, un pour chaque prime,

${\ displaystyle O_ {L} / (2 \ pm 3i) O_ {L} \,}$

qui sont tous deux isomorphes au corps fini avec 13 éléments. L'élément Frobenius est l'automorphisme trivial; cela signifie que

${\ displaystyle (a + bi) ^ {13} \ equiv a + bi {\ bmod {2}} \ pm 3i}$

pour tout entier a et b .

Primes p ≡ 3 mod 4

Tout premier p ≡ 3 mod 4 reste inerte dans Z [i]; c'est-à-dire qu'il ne se sépare pas . Par exemple, (7) reste premier dans Z [i]. Dans cette situation, le groupe de décomposition est tout de G , encore une fois parce qu'il n'y a qu'un seul facteur premier. Cependant, cette situation diffère du cas p = 2, car maintenant σ n'agit pas trivialement sur le champ de résidus

${\ displaystyle O_ {L} / (7) O_ {L} \,}$

qui est le corps fini avec 7 ² = 49 éléments. Par exemple, la différence entre 1 + i et σ (1 + i) = 1 - i est 2i, ce qui n'est certainement pas divisible par 7. Par conséquent, le groupe d'inertie est le groupe trivial {1}. Le groupe de Galois de ce champ résiduel sur le sous-champ Z / 7 Z est d'ordre 2, et est généré par l'image de l'élément Frobenius. Le Frobenius n'est autre que σ; cela signifie que

${\ displaystyle (a + bi) ^ {7} \ equiv a-bi {\ bmod {7}}}$

pour tout entier a et b .

Résumé

Prime en Z	Comment il se divise en Z [i]	Groupe d'inertie	Groupe de décomposition
2	Ramifie d'indice 2	g	g
p ≡ 1 mod 4	Se divise en deux facteurs distincts	1	1
p ≡ 3 mod 4	Reste inerte	1	g

Calcul de la factorisation

Supposons que nous voulons déterminer la factorisation d'un idéal premier P de O _K en nombres premiers de O _L . La procédure suivante (Neukirch, p. 47) résout ce problème dans de nombreux cas. La stratégie consiste à sélectionner un entier θ dans O _{L de} sorte que L soit généré sur K par θ (un tel θ est garanti d'exister par le théorème des éléments primitifs ), puis à examiner le polynôme minimal H ( X ) de θ sur K ; il est un polynôme unitaire à coefficients dans O _K . La réduction des coefficients de H ( X ) modulo P , on obtient un polynôme unitaire h ( X ) à coefficients dans F , la (finie) champ résidu O _K / P . Supposons que h ( X ) se factorise dans l'anneau polynomial F [ X ] comme

${\ displaystyle h (X) = h_ {1} (X) ^ {e_ {1}} \ cdots h_ {n} (X) ^ {e_ {n}},}$

où les h _j sont des polynômes irréductibles moniques distincts dans F [ X ]. Alors, tant que P n'est pas l'un des nombres premiers exceptionnels finis (la condition précise est décrite ci-dessous), la factorisation de P a la forme suivante:

${\ displaystyle PO_ {L} = Q_ {1} ^ {e_ {1}} \ cdots Q_ {n} ^ {e_ {n}},}$

où le Q _j sont idéaux premiers distincts de O _L . De plus, le degré d'inertie de chaque Q _j est égal au degré du polynôme correspondant h _j , et il existe une formule explicite pour le Q _j :

${\ displaystyle Q_ {j} = PO_ {L} + h_ {j} (\ theta) O_ {L},}$

où h _j désigne ici un relèvement du polynôme h _j vers K [ X ].

Dans le cas de Galois, les degrés d'inertie sont tous égaux, et les indices de ramification e ₁ = ... = e _n sont tous égaux.

Les nombres premiers exceptionnels, pour lesquels le résultat ci-dessus ne tient pas forcément, sont ceux qui ne sont pas relativement premiers au conducteur de l'anneau O _K [θ]. Le conducteur est défini comme l'idéal

${\ displaystyle \ {y \ in O_ {L}: yO_ {L} \ subseteq O_ {K} [\ theta] \};}$

il mesure la distance la commande O _K [θ] est d'être tout l'anneau de nombres entiers (ordre maximal) O _L .

Une mise en garde importante est qu'il existe des exemples de L / K et P tels qu'il n'y a pas de θ disponible qui satisfait les hypothèses ci-dessus (voir par exemple). Par conséquent, l'algorithme donné ci-dessus ne peut pas être utilisé pour factoriser un tel P , et des approches plus sophistiquées doivent être utilisées, comme celle décrite dans.

Un exemple

Considérons à nouveau le cas des entiers gaussiens. On prend θ pour l'unité imaginaire i , avec le polynôme minimal H ( X ) = X ² + 1. Puisque Z [ ] est l'anneau entier des entiers de Q ( ), le conducteur est l'unité idéale, il n'y a donc pas d'exception nombres premiers. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i}$

Pour P = (2), il faut travailler dans le champ Z / (2) Z , ce qui revient à factoriser le polynôme X ² + 1 modulo 2:

${\ displaystyle X ^ {2} + 1 = (X + 1) ^ {2} {\ pmod {2}}.}$

Par conséquent, il n'y a qu'un seul facteur premier, de degré d'inertie 1 et d'indice de ramification 2, et il est donné par

${\ displaystyle Q = (2) \ mathbf {Z} [i] + (i + 1) \ mathbf {Z} [i] = (1 + i) \ mathbf {Z} [i].}$

Le cas suivant est pour P = ( p ) pour un premier p ≡ 3 mod 4. Pour le concret, nous prendrons P = (7). Le polynôme X ² + 1 est irréductible modulo 7. Il n'y a donc qu'un seul facteur premier, de degré d'inertie 2 et d'indice de ramification 1, et il est donné par

${\ displaystyle Q = (7) \ mathbf {Z} [i] + (i ^ {2} +1) \ mathbf {Z} [i] = 7 \ mathbf {Z} [i].}$

Le dernier cas est P = ( p ) pour un premier p ≡ 1 mod 4; nous prendrons à nouveau P = (13). Cette fois, nous avons la factorisation

${\ displaystyle X ^ {2} + 1 = (X + 5) (X-5) {\ pmod {13}}.}$

Par conséquent, il existe deux facteurs premiers, tous deux de degré d'inertie et d'indice de ramification 1. Ils sont donnés par

${\ displaystyle Q_ {1} = (13) \ mathbf {Z} [i] + (i + 5) \ mathbf {Z} [i] = \ cdots = (2 + 3i) \ mathbf {Z} [i] }$

et

${\ displaystyle Q_ {2} = (13) \ mathbf {Z} [i] + (i-5) \ mathbf {Z} [i] = \ cdots = (2-3i) \ mathbf {Z} [i] .}$

Les références

Liens externes

• "Fractionnement et ramification en champs de nombres et extensions galoisiennes" . PlanetMath .
• William Stein, Une brève introduction à la théorie algébrique classique et adélique des nombres
• Neukirch, Jürgen (1999). Théorie algébrique des nombres . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften . 322 . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859 . Zbl  0956.11021 .