Représentation régulière - Regular representation

En mathématiques , et en particulier dans la théorie des représentations de groupe , la représentation régulière d'un groupe G est la représentation linéaire offerte par l' action de groupe de G sur lui-même par translation .

On distingue la représentation régulière à gauche λ donnée par la translation à gauche et la représentation régulière à droite ρ donnée par l'inverse de la translation à droite.

Groupes finis

Pour un groupe fini G , la représentation régulière à gauche λ (sur un corps K ) est une représentation linéaire sur le K -espace vectoriel V librement engendré par les éléments de G , i. e. ils peuvent être identifiés avec une base de V . Étant donné g  ∈  G , _g est l'application linéaire déterminée par son action sur la base par translation à gauche de g , c'est-à-dire

${\displaystyle \lambda _{g}:h\mapsto gh,{\text{ pour tous }}h\in G.}$

Pour la bonne représentation régulière , une inversion doit se produire afin de satisfaire les axiomes d'une représentation. Plus précisément, étant donné g  ∈  G , ρ _g est la carte linéaire sur V déterminée par son action sur la base par la traduction de droite par g ^-1 , soit

${\displaystyle \rho _{g}:h\mapsto hg^{-1},{\text{ pour tous }}h\in G.\ }$

Alternativement, ces représentations peuvent être définies sur le K -espace vectoriel W de toutes les fonctions G → K . C'est sous cette forme que la représentation régulière est généralisée aux groupes topologiques tels que les groupes de Lie .

La définition spécifique en termes de W est la suivante. Étant donné une fonction f  : G → K et un élément g  ∈  G ,

${\displaystyle (\lambda _{g}f)(x)=f(\lambda _{g}^{-1}(x))=f({g}^{-1}x)}$

et

${\displaystyle (\rho _{g}f)(x)=f(\rho _{g}^{-1}(x))=f(xg).}$

Importance de la représentation régulière d'un groupe

Tout groupe G agit sur lui-même par translations. Si nous considérons cette action comme une représentation de permutation, elle est caractérisée comme ayant une seule orbite et stabilisant le sous-groupe d'identité { e } de G . La représentation régulière de G , pour un champ donné K , est la représentation linéaire faite en prenant cette représentation de permutation comme un ensemble de vecteurs de base d'un espace vectoriel sur K . La signification est que tandis que la représentation de permutation ne se décompose pas - elle est transitive - la représentation régulière se décompose en général en représentations plus petites. Par exemple, si G est un groupe fini et K est le corps des nombres complexes , la représentation régulière se décompose en somme directe de représentations irréductibles , chaque représentation irréductible apparaissant dans la décomposition avec multiplicité sa dimension. Le nombre de ces irréductibles est égal au nombre de classes de conjugaison de G .

Le fait ci-dessus peut être expliqué par la théorie des caractères . Rappelons que le caractère de la représentation régulière (g) est le nombre de points fixes de g agissant sur la représentation régulière V . Cela signifie que le nombre de points fixes (g) est nul lorsque g n'est pas id et | G | autrement. Soit V la décomposition ⊕ a _i V _i où les V _i sont des représentations irréductibles de G et les a _i sont les multiplicités correspondantes. Par la théorie des caractères , la multiplicité a _i peut être calculée comme

${\displaystyle a_{i}=\langle \chi ,\chi _{i}\rangle ={\frac {1}{|G|}}\sum {\overline {\chi (g)}}\chi _ {i}(g)={\frac {1}{|G|}}\chi (1)\chi _{i}(1)=\operatorname {dim} V_{i},}$ ce qui veut dire que la multiplicité de chaque représentation irréductible est sa dimension.

L'article sur les anneaux de groupe articule la représentation régulière pour les groupes finis , tout en montrant comment la représentation régulière peut être considérée comme un module .

Point de vue de la théorie du module

Pour rendre la construction plus abstraite, l' anneau de groupe K [ G ] est considéré comme un module sur lui-même. (Il y a ici un choix d'action à gauche ou à droite, mais cela n'a pas d'importance sauf pour la notation.) Si G est fini et que la caractéristique de K ne divise pas | G |, il s'agit d'un anneau semi - simple et nous examinons ses idéaux d'anneau gauche (droit) . Cette théorie a été étudiée en profondeur. On sait en particulier que la décomposition en somme directe de la représentation régulière contient un représentant de chaque classe d'isomorphismes des représentations linéaires irréductibles de G sur K . Vous pouvez dire que la représentation régulière est complète pour la théorie des représentations, dans ce cas. Le cas modulaire, lorsque la caractéristique de K divise | G |, est plus difficile principalement parce que K [ G ] n'est pas semi-simple, une représentation peut échouer à être irréductible sans se diviser en somme directe.

Structure pour les groupes cycliques finis

Pour un groupe cyclique C engendré par g d' ordre n , la forme matricielle d' un élément de K [ C ] agissant sur K [ C ] par multiplication prend une forme distinctive connue sous le nom de matrice circulante , dans laquelle chaque ligne est un décalage vers le à droite de celui ci-dessus (dans l' ordre cyclique , c'est-à-dire avec l'élément le plus à droite apparaissant à gauche), lorsqu'il est fait référence à la base naturelle

1, g , g ² , ..., g ^{n -1} .

Lorsque le champ K contient une racine primitive n-ième de l'unité , on peut diagonaliser la représentation de C en écrivant n vecteurs propres simultanés linéairement indépendants pour tous les n × n circulants. En fait, si ζ est une racine n- ième de l'unité, l'élément

1 + ζ g + ζ ² g ² + ... + ζ ^{n -1} g ^{n -1}

est un vecteur propre de l'action de g par multiplication, de valeur propre

ζ ^-1

et donc aussi un vecteur propre de toutes les puissances de g , et leurs combinaisons linéaires.

C'est la forme explicite dans ce cas du résultat abstrait que sur un corps algébriquement clos K (comme les nombres complexes ) la représentation régulière de G est complètement réductible , à condition que la caractéristique de K (si c'est un nombre premier p ) ne divise pas l'ordre de G . C'est ce qu'on appelle le théorème de Maschke . Dans ce cas, la condition sur la caractéristique est impliquée par l'existence d'une racine primitive n- ième de l'unité, ce qui ne peut pas se produire dans le cas de la caractéristique première p divisant n .

Les déterminants circulants ont été rencontrés pour la première fois dans les mathématiques du XIXe siècle, et la conséquence de leur diagonalisation a été dessinée. A savoir, le déterminant d'un circulant est le produit des n valeurs propres pour les n vecteurs propres décrits ci-dessus. Le travail de base de Frobenius sur les représentations de groupe a commencé avec la motivation de trouver des factorisations analogues des déterminants de groupe pour tout G fini ; c'est-à-dire les déterminants de matrices arbitraires représentant des éléments de K [ G ] agissant par multiplication sur les éléments de base donnés par g dans G . Sauf si G est abélien , la factorisation doit contenir des facteurs non linéaires correspondant à des représentations irréductibles de G de degré > 1.

Cas de groupe topologique

Pour un groupe topologique G , la représentation régulière au sens ci-dessus doit être remplacée par un espace approprié de fonctions sur G , G agissant par translation. Voir le théorème de Peter-Weyl pour le cas compact . Si G est un groupe de Lie mais pas compact ni abélien , c'est une question difficile d' analyse harmonique . Le cas abélien localement compact fait partie de la théorie de la dualité de Pontryagin .

Bases normales en théorie de Galois

En théorie de Galois on montre que pour un corps L , et un groupe fini G d' automorphismes de L , le corps fixe K de G a [ L : K ] = | G |. En fait on peut en dire plus : L vu comme un K [ G ]-module est la représentation régulière. C'est le contenu du théorème de la base normale , une base normale étant un élément x de L tel que les g ( x ) pour g dans G sont une base d' espace vectoriel pour L sur K . De tels x existent, et chacun donne un K [ G ]-isomorphisme de L à K [ G ]. Du point de vue de la théorie algébrique des nombres, il est intéressant d'étudier les bases intégrales normales , où l'on essaie de remplacer L et K par les anneaux d' entiers algébriques qu'elles contiennent. On peut déjà voir dans le cas des entiers de Gauss que ces bases ne peuvent pas exister: un + bi et un - bi ne peut jamais former un Z base -module de Z [ i ] parce que 1 ne peut pas être une combinaison entière. Les raisons sont étudiées en profondeur dans la théorie galoisienne des modules .

Algèbres plus générales

La représentation régulière d'un anneau de groupe est telle que les représentations régulières gauche et droite donnent des modules isomorphes (et on n'a souvent pas besoin de distinguer les cas). Étant donné une algèbre sur un corps A , cela n'a pas de sens immédiatement de s'interroger sur la relation entre A en tant que module de gauche sur lui-même et en tant que module de droite. Dans le cas du groupe, l'application sur les éléments de base g de K [ G ] définie en prenant l'élément inverse donne un isomorphisme de K [ G ] à son anneau opposé . Pour un général, une telle structure est appelée algèbre de Frobenius . Comme leur nom l'indique, ils ont été introduits par Frobenius au XIXe siècle. Il a été démontré qu'ils sont liés à la théorie quantique des champs topologique en 1 + 1 dimensions par un cas particulier de l' hypothèse du cobordisme .

Voir également

• Représentation fondamentale
• Représentation de permutation
• Représentation quasi-régulière

Les références

• Fulton, Guillaume ; Harris, Joe (1991). Théorie des représentations. Un premier cours . Textes d'études supérieures en mathématiques , lectures en mathématiques. 129 . New York : Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249 . OCLC  246650103 .