Rhombicosidodécaèdre - Rhombicosidodecahedron
Rhombicosidodécaèdre | |
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(Cliquez ici pour le modèle rotatif) |
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Taper |
Solide d'Archimède Polyèdre uniforme |
Éléments | F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2) |
Visages à côté | 20{3}+30{4}+12{5} |
Notation de Conway | eD ou aaD |
Symboles Schläfli | rr{5,3} ou |
t 0,2 {5,3} | |
Symbole Wythoff | 3 5 | 2 |
Diagramme de Coxeter | |
Groupe Symétrie | I h , H 3 , [5,3], (*532), ordre 120 |
Groupe de rotation | I , [5,3] + , (532), ordre 60 |
Angle dièdre | 3-4 : 159°05′41″ (159,09°) 4-5 : 148°16′57″ (148,28°) |
Les références | U 27 , C 30 , W 14 |
Propriétés | Semi-régulier convexe |
Visages colorés |
3.4.5.4 ( figure du sommet ) |
Hexécontaèdre deltoïde ( double polyèdre ) |
Rapporter |
En géométrie , le rhombicosidodécaèdre est un solide d'Archimède , l'un des treize solides isogonaux convexes non prismatiques constitués de deux ou plusieurs types de faces polygonales régulières .
Il a 20 faces triangulaires régulières , 30 faces carrées , 12 faces pentagonales régulières , 60 sommets et 120 arêtes .
Noms
Johannes Kepler dans Harmonices Mundi (1618) a nommé ce polyèdre un rhombicosidodécaèdre , abréviation de losange icosidodécaèdre tronqué , le losange icosidodécaèdre étant son nom pour un triacontaèdre rhombique . Il existe différentes troncatures d'un triacontaèdre rhombique en un rhombicosidodécaèdre topologique : en évidence sa rectification (à gauche), celle qui crée le solide uniforme (au centre) et la rectification du double icosidodécaèdre (à droite), qui est le noyau du composé double .
Il peut également être appelé dodécaèdre ou icosaèdre expansé ou cantellé , à partir d'opérations de troncature sur l'un ou l'autre polyèdre uniforme .
Dimensions
Pour un rhombicosidodécaèdre de longueur d'arête a , sa surface et son volume sont :
Relations géométriques
Si vous développez un icosaèdre en éloignant les faces de l' origine de la bonne quantité, sans changer l'orientation ou la taille des faces, et faites de même avec son double dodécaèdre , et corrigez les trous carrés dans le résultat, vous obtenez un rhombicosidodécaèdre. Par conséquent, il a le même nombre de triangles qu'un icosaèdre et le même nombre de pentagones qu'un dodécaèdre, avec un carré pour chaque bord de l'un ou l'autre.
Alternativement, si vous développez chacun des cinq cubes en éloignant les faces de l' origine de la bonne quantité et en faisant pivoter chacun des cinq 72° autour de sorte qu'ils soient à égale distance les uns des autres, sans changer l'orientation ou la taille des faces, et patchez le trous pentagonaux et triangulaires dans le résultat, vous obtenez un rhombicosidodécaèdre. Par conséquent, il a le même nombre de carrés que cinq cubes.
Deux groupes de faces de la bilunabirotunda , les lunes (chaque lune comportant deux triangles adjacents aux côtés opposés d'un carré), peuvent être alignés avec un patch congruent de faces sur le rhombicosidodécaèdre. Si deux bilunabirotundae sont alignés de cette façon sur les côtés opposés du rhombicosidodécaèdre, alors un cube peut être placé entre les bilunabirotundae au centre même du rhombicosidodécaèdre.
Le rhombicosidodécaèdre partage l'arrangement des sommets avec le petit dodécaèdre tronqué étoilé , et avec les composés uniformes de six ou douze prismes pentagrammiques .
Les kits Zometool pour la fabrication de dômes géodésiques et autres polyèdres utilisent des billes à fentes comme connecteurs. Les boules sont des rhombicosidodécaèdres « expansés », les carrés étant remplacés par des rectangles. L'expansion est choisie de telle sorte que les rectangles résultants soient des rectangles d'or .
Douze des 92 solides de Johnson sont dérivées de la rhombicosidodécaèdre, quatre d'entre eux par rotation d'un ou plusieurs pentagonal coupoles : la gyrate , parabigyrate , metabigyrate et trigyro-rhombicosidodécaèdre . Huit autres peuvent être construits en enlevant jusqu'à trois coupoles, parfois aussi en faisant tourner une ou plusieurs des autres coupoles.
Coordonnées cartésiennes
Les coordonnées cartésiennes des sommets d'un rhombicosidodécaèdre avec une longueur d'arête de 2 centrée à l'origine sont toutes des permutations paires de :
- (± 1, ± 1, ± & phiv 3 ),
- (± φ 2 , ± φ , ± 2 φ ),
- (± (2 + φ ), 0, ± φ 2 ),
où φ = 1 + √ 5/2est le nombre d' or . Par conséquent, le cercle circonscrit de ce rhombicosidodécaèdre est la distance commune de ces points à l'origine, à savoir √ φ 6 +2 = √ 8φ+7 pour la longueur d'arête 2. Pour une longueur d'arête unitaire, R doit être divisé par deux, ce qui donne
- R =√ 8 φ 7/2 = √ 11 + 4 √ 5/2 2.233.
Projections orthogonales
Le rhombicosidodécaèdre a six projections orthogonales spéciales , centrées, sur un sommet, sur deux types d'arêtes et trois types de faces : triangles, carrés et pentagones. Les deux derniers correspondent aux plans A 2 et H 2 de Coxeter .
Centré par | Sommet | Bord 3-4 |
Bord 5-4 |
Visage Carré |
Visage Triangle |
Visage Pentagone |
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Solide | ||||||
Filaire | ||||||
Symétrie projective |
[2] | [2] | [2] | [2] | [6] | [dix] |
Double image |
Carrelage sphérique
Le rhombicosidodécaèdre peut également être représenté comme un pavage sphérique , et projeté sur le plan via une projection stéréographique . Cette projection est conforme , préservant les angles mais pas les surfaces ou les longueurs. Les lignes droites sur la sphère sont projetées sous forme d'arcs de cercle sur le plan.
Pentagone -centré |
Triangle centré |
Carré centré |
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Projection orthographique | Projections stéréographiques |
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Polyèdres associés
Famille de polyèdres icosaédriques uniformes | |||||||
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Symétrie : [5,3] , (*532) | [5,3] + , (532) | ||||||
{5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
Duels aux polyèdres uniformes | |||||||
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Mutations de symétrie
Ce polyèdre est topologiquement lié comme une partie d'une séquence de polyèdres cantellés avec une figure de sommet (3.4.4.n.4), qui se poursuit sous forme de pavages du plan hyperbolique . Ces figures vertex-transitives ont (*n32) une symétrie de réflexion .
* n 32 mutation de symétrie des pavages expansés : 3.4. n .4 | ||||||||
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Symétrie * n 32 [n,3] |
Sphérique | Euclide. | Hyperb compact. | Paracomp. | ||||
*232 [2,3] |
*332 [3,3] |
*432 [4,3] |
*532 [5,3] |
*632 [6,3] |
*732 [7,3] |
*832 [8,3]... |
*∞32 [∞,3] |
|
Chiffre | ||||||||
Config. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Solides Johnson
Il y a 13 solides de Johnson apparentés , 5 par diminution et 8 incluant les girations :
J5 |
76 |
80 |
81 |
83 |
72 |
73 |
74 |
75 |
77 |
78 |
79 |
82 |
Disposition des sommets
Le rhombicosidodécaèdre partage son arrangement de sommets avec trois polyèdres uniformes non convexes : le petit dodécaèdre tronqué étoilé , le petit dodécicosidodécaèdre (ayant les faces triangulaire et pentagonale en commun), et le petit rhombidodécaèdre (ayant les faces carrées en commun).
Il partage également son arrangement de sommets avec les composés uniformes de six ou douze prismes pentagrammiques .
Rhombicosidodécaèdre |
Petit dodécicosidodécaèdre |
Petit rhombidodécaèdre |
Petit dodécaèdre tronqué étoilé |
Composé de six prismes pentagrammiques |
Composé de douze prismes pentagrammiques |
Graphe rhombicosidodécaédrique
Graphe rhombicosidodécaédrique | |
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Sommets | 60 |
Bords | 120 |
Automorphismes | 120 |
Propriétés | Graphe quartique , hamiltonien , régulier |
Tableau des graphiques et paramètres |
Dans le domaine mathématique de la théorie des graphes , un graphe rhombicosidodécaèdre est le graphe des sommets et des arêtes du rhombicosidodécaèdre, l'un des solides d'Archimède . Il a 60 sommets et 120 arêtes, et est un graphe quartique graphe d' Archimède .
Voir également
Remarques
Les références
- Williams, Robert (1979). La Fondation Géométrique de la Structure Naturelle : Un Livre Source de Conception . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (article 3-9)
- Cromwell, P. (1997). Polyèdres . Royaume-Uni : Cambridge. pp. 79-86 Solides d' Archimède . ISBN 0-521-55432-2.
- The Big Bang Theory Series 8 Episode 2 - The Junior Professor Solution : présente ce solide comme réponse à un quiz scientifique impromptu que les quatre personnages principaux ont dans l'appartement de Leonard et Sheldon, et est également illustré dansla Vanity Card #461 de Chuck Lorre à la fin de cet épisode.
Liens externes
- Eric W. Weisstein , Petit Rhombicosidodécaèdre ( solide d'Archimède ) à MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Polyèdres uniformes convexes 3D x3o5x - srid" .
- Filet imprimable éditable d'un rhombicosidodécaèdre avec vue 3D interactive
- Les polyèdres uniformes
- Polyèdres de réalité virtuelle L'Encyclopédie des polyèdres