Sédenion - Sedenion

Sédenions
symbole	${\displaystyle \mathbb {S} }$
Taper	algèbre non associative
Unités	e 0 , ..., e 15
Identité multiplicative	e 0
Propriétés principales	pouvoir associativité distributivité
Systèmes communs
Systèmes moins courants Octonions ( ) Sédenions ( ) ${\displaystyle \mathbb {O} }$${\displaystyle \mathbb {S} }$

En algèbre abstraite , les sédenions forment une algèbre non commutative et non associative à 16 dimensions sur les nombres réels ; ils sont obtenus en appliquant la construction de Cayley-Dickson aux octonions , et en tant que tels les octonions sont isomorphes à une sous - algèbre des sédenions. Contrairement aux octonions, les sedenions ne sont pas une algèbre alternative . L'application de la construction de Cayley-Dickson aux sédenions donne une algèbre à 32 dimensions, parfois appelée ions 32 ou trigintaduonions . Il est possible de continuer à appliquer arbitrairement la construction Cayley-Dickson plusieurs fois.

Le terme sédenion est également utilisé pour d'autres structures algébriques à 16 dimensions, comme un produit tensoriel de deux exemplaires des biquaternions , ou l'algèbre de matrices 4 × 4 sur les nombres réels, ou celle étudiée par Smith (1995) .

Arithmétique

Une visualisation d'une extension 4D à l' octonion cubique , montrant les 35 triades sous forme d' hyperplans à travers le sommet réel de l'exemple de sédenion donné. Notez que la seule exception est que le triplet , , ne forme pas un hyperplan avec .${\style d'affichage (e_{0})}$${\style d'affichage (e_{1})}$${\style d'affichage (e_{2})}$${\style d'affichage (e_{3})}$${\style d'affichage (e_{0})}$

Comme les octonions , la multiplication des sédenions n'est ni commutative ni associative . Mais contrairement aux octonions, les sédenions n'ont même pas la propriété d'être alternatifs . Ils ont cependant la propriété d' associativité de puissance , qui peut être énoncée comme cela, pour tout élément x de , la puissance est bien définie. Ils sont également flexibles . ${\displaystyle \mathbb {S} }$${\style d'affichage x^{n}}$

Chaque sedenion est une combinaison linéaire des sedenions unitaires , , , , …, , qui forment une base de l' espace vectoriel des sedenions. Chaque sédenion peut être représentée sous la forme ${\style d'affichage e_{0}}$${\style d'affichage e_{1}}$${\style d'affichage e_{2}}$${\displaystyle e_{3}}$${\displaystyle e_{15}}$

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{ 15}.}$

L'addition et la soustraction sont définies par l'addition et la soustraction des coefficients correspondants et la multiplication est distributive sur l'addition.

Comme d'autres algèbres basées sur la construction de Cayley-Dickson , les sédenions contiennent l'algèbre à partir de laquelle ils ont été construits. Ainsi, ils contiennent les octonions (générés par à dans le tableau ci-dessous), et donc aussi les quaternions (générés par à ), les nombres complexes (générés par et ) et les nombres réels (générés par ). ${\style d'affichage e_{0}}$${\style d'affichage e_{7}}$${\style d'affichage e_{0}}$${\displaystyle e_{3}}$${\style d'affichage e_{0}}$${\style d'affichage e_{1}}$${\style d'affichage e_{0}}$

Les sédenions ont un élément d'identité multiplicatif et des inverses multiplicatifs, mais ils ne sont pas une algèbre de division car ils ont des diviseurs nuls . Cela signifie que deux sedenions non nuls peuvent être multipliés pour obtenir zéro : un exemple est . Tous les systèmes de nombres hypercomplexes après les sédenions qui sont basés sur la construction de Cayley-Dickson contiennent également des diviseurs nuls. ${\style d'affichage e_{0}}$${\style d'affichage (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15})}$

Une table de multiplication de sédenion est montrée ci-dessous :

${\displaystyle e_{i}e_{j}}$		${\displaystyle e_{j}}$
		${\style d'affichage e_{0}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{15}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\style d'affichage e_{0}}$	${\style d'affichage e_{0}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{15}}$
	${\style d'affichage e_{1}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{14}}$
	${\style d'affichage e_{2}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle e_{12}}$
	${\style d'affichage e_{4}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$
	${\style d'affichage e_{6}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle -e_{8}}$	${\displaystyle e_{9}}$
	${\style d'affichage e_{7}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{8}}$
	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\style d'affichage e_{7}}$
	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$
	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\style d'affichage e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$
	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\style d'affichage e_{4}}$
	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$
	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle -e_{14}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle -e_{10}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\style d'affichage e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\style d'affichage e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$
	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{15}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{13}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{11}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle e_{9}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\style d'affichage e_{1}}$
	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle e_{15}}$	${\displaystyle e_{14}}$	${\displaystyle -e_{13}}$	${\displaystyle -e_{12}}$	${\displaystyle e_{11}}$	${\displaystyle e_{10}}$	${\displaystyle -e_{9}}$	${\displaystyle e_{8}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\style d'affichage e_{6}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\style d'affichage e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

Propriétés de Sedenion

A partir du tableau ci-dessus, nous pouvons voir que :

${\displaystyle e_{0}e_{i}=e_{i}e_{0}=e_{i}\,{\text{for all}}\,i,}$

${\displaystyle e_{i}e_{i}=-e_{0}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq 0,}$ et

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}\,\,{\text{for}}\,\,i\neq j\,\,{\text{with} }\,\,i,j\neq 0.}$

Anti-associatif

Les sédenions ne sont pas totalement anti-associatives. Choisissez quatre générateurs quelconques, et . Le 5 cycle suivant montre que ces cinq relations ne peuvent pas toutes être anti-associatives. ${\style d'affichage i,j,k}$${\style d'affichage l}$

${\style d'affichage (ij)(kl)=-((ij)k)l=(i(jk))l=-i((jk)l)=i(j(kl))=-(ij)(kl )=0}$

En particulier, dans le tableau ci-dessus, using et la dernière expression associe. ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{4}}$${\displaystyle e_{8}}$${\displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}}$

Sous-algèbres quaternioniques

Les 35 triades qui composent cette table de multiplication de sédenion spécifique avec les 7 triades des octonions utilisées pour créer le sédenion à travers la construction Cayley-Dickson en gras :

Les représentations binaires des indices de ces triplets XOR bit à bit à 0.

{ {1, 2, 3} , {1, 4, 5} , {1, 7, 6} , {1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6} , {2, 5, 7} , {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2 , 15, 13}, {3, 4, 7} ,
{3, 6, 5} , {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15 , 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15 }, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10}​}

La liste des 84 ensembles de diviseurs nuls , où : ${\displaystyle \{e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\}}$${\style d'affichage (e_{a}+e_{b})\circ (e_{c}+e_{d})=0}$

Applications

Moreno (1998) a montré que l'espace des paires de sédenions de norme un qui se multiplient jusqu'à zéro est homéomorphe à la forme compacte du groupe de Lie exceptionnel G ₂ . (Notez que dans son article, un « diviseur zéro » signifie une paire d'éléments qui se multiplient jusqu'à zéro.)

Les réseaux de neurones Sedenion fournissent un moyen d'expression efficace et compact dans les applications d'apprentissage automatique et ont été utilisés pour résoudre plusieurs problèmes de prévision de séries chronologiques.

Voir également

• Nombre hypercomplexe
• L'identité des seize carrés de Pfister
• Numéro de complexe divisé

Remarques

Les références

• Imaeda, K. ; Imaeda, M. (2000), « Sedenions : algebra and analysis », Applied Mathematics and Computation , 115 (2) : 77-88, doi : 10.1016/S0096-3003(99)00140-X , MR  1786945
• Baez, John C. (2002). "Les Octonions" . Bulletin de la Société mathématique américaine . Nouvelle Série. 39 (2) : 145-205. arXiv : math/0105155 . doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . MR  1886087 .
• Biss, Daniel K.; Christensen, J. Daniel; Dugger, Daniel ; Isaksen, Daniel C. (2007). « Les grands annihilateurs dans les algèbres de Cayley-Dickson II ». Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269-292. arXiv : math/0702075 .
• Kinyon, MK ; Phillips, JD; Vojtěchovský, P. (2007). "C-boucles : extensions et constructions". Journal d'algèbre et de ses applications . 6 (1) : 1–20. arXiv : math/0412390 . CiteSeerX  10.1.1.240.6208 . doi : 10.1142/S0219498807001990 .
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• Moreno, Guillermo (1998), « Les diviseurs nuls des algèbres de Cayley-Dickson sur les nombres réels », Bol. Soc. Tapis. Mexicana , Série 3, 4 (1) : 13–28, arXiv : q-alg/9710013 , Bibcode : 1997q.alg....10013G , MR  1625585
• Smith, Jonathan DH (1995), "A left loop on the 15-sphere", Journal of Algebra , 176 (1) : 128-138, doi : 10.1006/jabr.1995.1237 , MR  1345298
• LS Saoud et H. Al-Marzouqi, « Réseau neuronal métacognitif à valeur sédenionique et son algorithme d'apprentissage », dans IEEE Access, vol. 8, pp. 144823-144838, 2020, doi: 10.1109/ACCESS.2020.3014690 .