Théorie de Bass–Serre - Bass–Serre theory

La théorie de Bass-Serre fait partie du sujet mathématique de la théorie des groupes qui traite de l'analyse de la structure algébrique des groupes agissant par automorphismes sur les arbres simpliciaux . La théorie met en relation les actions de groupe sur les arbres à groupes en décomposition comme applications itérées des opérations de produit libre avec amalgame et extension HNN , via la notion de groupe fondamental d' un graphe de groupes . La théorie de Bass-Serre peut être considérée comme une version unidimensionnelle de la théorie orbifold .

Histoire

La théorie de Bass-Serre a été développée par Jean-Pierre Serre dans les années 1970 et formalisée dans Trees , la monographie de Serre de 1977 (développée en collaboration avec Hyman Bass ) sur le sujet. La motivation première de Serre était de comprendre la structure de certains groupes algébriques dont les bâtiments Bruhat-Tits sont des arbres. Cependant, la théorie est rapidement devenue un outil standard de la théorie géométrique des groupes et de la topologie géométrique , en particulier l'étude des 3-variétés . Les travaux ultérieurs de Bass ont contribué de manière substantielle à la formalisation et au développement des outils de base de la théorie et actuellement le terme « théorie de Bass-Serre » est largement utilisé pour décrire le sujet.

Mathématiquement, la théorie de Bass-Serre s'appuie sur l'exploitation et la généralisation des propriétés de deux constructions plus anciennes de la théorie des groupes : le produit libre avec fusion et l' extension HNN . Cependant, contrairement à l'étude algébrique traditionnelle de ces deux constructions, la théorie de Bass-Serre utilise le langage géométrique de la théorie des couvertures et des groupes fondamentaux . Les graphiques de groupes , qui sont les objets de base de la théorie de Bass-Serre, peuvent être considérés comme des versions unidimensionnelles des orbifolds .

Outre le livre de Serre, le traitement de base de la théorie de Bass-Serre est disponible dans l'article de Bass, l'article de G. Peter Scott et CTC Wall et les livres d' Allen Hatcher , Gilbert Baumslag , Warren Dicks et Martin Dunwoody et Daniel E. Cohen.

Configuration de base

Des graphiques au sens de Serre

Le formalisme des graphes de Serre est légèrement différent du formalisme standard de la théorie des graphes . Voici un graphique A se compose d'un ensemble de sommets V , un bord ensemble E , une inversion bord carte de telle sorte que e ≠ e et pour chaque e en E , et une carte du sommet initial . Ainsi dans A chaque arête e est munie de son inverse formel e . Le sommet o ( e ) est appelé l' origine ou le sommet initial de e et le sommet o ( e ) est appelé le terminus de e et est noté t ( e ). Les arêtes de boucle (c'est-à-dire les arêtes e telles que o ( e ) =  t ( e )) et les arêtes multiples sont autorisées. Une orientation sur A est une partition de E en l'union de deux sous-ensembles disjoints E ⁺ et E ^{− de} sorte que pour chaque arête e exactement une des arêtes de la paire e , e appartient à E ⁺ et l'autre appartient à E ⁻ . ${\displaystyle E\to E,\ e\mapsto {\overline {e}}}$${\displaystyle {\overline {\overline {e}}}=e}$ ${\displaystyle o\colon E\à V}$

Graphiques de groupes

Un graphique des groupes A se compose des données suivantes :

• Un graphe connexe A ;
• Une affectation d'un groupe de sommets A _v à chaque sommet v de A .
• Une affectation d'un groupe d'arêtes A _e à chaque arête e de A de sorte que nous avons pour tout e  ∈  E .${\displaystyle A_{e}=A_{\overline {e}}}$
• Monomorphismes aux limites pour toutes les arêtes e de A , de sorte que chaque α _e est un homomorphisme de groupe injectif .${\displaystyle \alpha _{e}:A_{e}\to A_{o(e)}}$

Pour chaque la carte est également désignée par . ${\style d'affichage e\dans E}$${\displaystyle \alpha _{\overline {e}}\colon A_{e}\to A_{t(e)}}$${\displaystyle \omega _{e}}$

Groupe fondamental d'un graphe de groupes

Il existe deux définitions équivalentes de la notion de groupe fondamental d'un graphe de groupes : la première est une définition algébrique directe via une présentation explicite de groupe (comme une certaine application itérée de produits libres amalgamés et d' extensions HNN ), et la seconde utilisant la langage des groupoïdes .

La définition algébrique est plus facile à énoncer :

Tout d'abord, choisissez un arbre couvrant T dans A . Le groupe fondamental de A par rapport à T , noté ₁ ( A , T ), est défini comme le quotient du produit libre

${\displaystyle (\ast _{v\in V}A_{v})\ast F(E)}$

où F ( E ) est un groupe libre de base libre E , soumis aux relations suivantes :

• ${\displaystyle {\overline {e}}\alpha _{e}(g)e=\alpha _{\overline {e}}(g)}$pour tout e dans E et tout . (La relation dite de Bass-Serre .)${\displaystyle g\in A_{e}}$
• e e = 1 pour chaque e dans E .
• e = 1 pour chaque arête e de l'arbre couvrant T .

Il existe également une notion de groupe fondamental de A par rapport à une base-sommet v dans V , notée π ₁ ( A , v ), qui est définie à l'aide du formalisme des groupoïdes . Il s'avère que pour tout choix de base-sommet v et tout arbre couvrant T dans A les groupes π ₁ ( A , T ) et π ₁ ( A , v ) sont naturellement isomorphes .

Le groupe fondamental d'un graphe de groupes a également une interprétation topologique naturelle : c'est le groupe fondamental d'un graphe d'espaces dont les espaces de sommets et les espaces de bords ont les groupes fondamentaux des groupes de sommets et des groupes de bords, respectivement, et dont les cartes de collage induisent les homomorphismes des groupes de bords dans les groupes de sommets. On peut donc prendre cela comme une troisième définition du groupe fondamental d'un graphe de groupes.

Groupes fondamentaux de graphes de groupes en tant qu'itérations de produits amalgamés et extensions HNN

Le groupe G = ₁ ( A , T ) défini ci - dessus admet une description algébrique en termes de produits libres amalgamés itérés et d' extensions HNN . Tout d'abord, formez un groupe B en tant que quotient du produit libre

${\style d'affichage (\ast _{v\in V}A_{v})*F(E^{+}T)}$

soumis aux relations

• e ⁻¹ α _e ( g ) e = _e ( g ) pour tout e dans E ⁺ T et tout .${\displaystyle g\in A_{e}}$
• e = 1 pour chaque e dans E ⁺ T .

Cette présentation peut être réécrite comme

${\displaystyle B=\ast _{v\in V}A_{v}/{\rm {ncl}}\{\alpha _{e}(g)=\omega _{e}(g),{\ text{ où }}e\in E^{+}T,g\in G_{e}\}}$

ce qui montre que B est un produit libre amalgamé itéré des groupes de sommets A _v .

Alors le groupe G = π ₁ ( A , T ) a la présentation

${\displaystyle \langle B,E^{+}(AT)|e^{-1}\alpha _{e}(g)e=\omega _{e}(g){\text{ where }}e \in E^{+}(AT),g\in G_{e}\rangle ,}$

ce qui montre que G = ₁ ( A , T ) est une extension HNN multiple de B avec des lettres stables . ${\displaystyle \{e|e\in E^{+}(AT)\}}$

Fractionnements

Un isomorphisme entre un groupe G et le groupe fondamental d'un graphe de groupes s'appelle un dédoublement de G . Si les groupes de bords dans la division proviennent d'une classe particulière de groupes (par exemple finis, cycliques, abéliens, etc.), la division est dite une division sur cette classe. Ainsi, une division où tous les groupes de bords sont finis est appelée une division sur des groupes finis.

Algébriquement, une division de G avec des groupes d'arêtes triviaux correspond à une décomposition en produits libres

${\displaystyle G=(\ast A_{v})\ast F(X)}$

où F ( X ) est un groupe libre de base libre X = E ⁺ ( A − T ) constitué de toutes les arêtes orientées positivement (par rapport à une orientation sur A ) dans le complément d'un arbre couvrant T de A .

Le théorème des formes normales

Soit g un élément de G = π ₁ ( A , T ) représenté comme un produit de la forme

${\displaystyle g=a_{0}e_{1}a_{1}\dots e_{n}a_{n},}$

où e ₁ , ..., e _n est un chemin de bord fermé dans A avec la séquence de sommets v ₀ , v ₁ , ..., v _n = v ₀ (c'est-à-dire v ₀ = o ( e ₁ ), v _n = t ( e _n ) et v _i = t ( e _i ) = o ( e _{i +1} ) pour 0 < i < n ) et où pour i = 0, ..., n . ${\displaystyle a_{i}\in A_{v_{i}}}$

Supposons que g  = 1 dans G . Puis

• soit n = 0 et un ₀ = 1 dans ,${\style d'affichage A_{v_{0}}}$
• ou n > 0 et il existe un certain 0 < i < n tel que e _{i +1} = e _i et .${\displaystyle a_{i}\in \omega _{e_{i}}(A_{e_{i}})}$

Le théorème des formes normales implique immédiatement que les homomorphismes canoniques A _v → ₁ ( A , T ) sont injectifs, de sorte que nous pouvons considérer les groupes de sommets A _v comme des sous-groupes de G .

Higgins a donné une belle version de la forme normale en utilisant le groupoïde fondamental d'un graphe de groupes. Cela évite de choisir un point de base ou un arbre, et a été exploité par Moore.

Bass–Serre couvrant les arbres

A chaque graphe de groupes A , avec un choix spécifié d'une base-sommet, on peut associer un arbre de recouvrement de Bass–Serre , qui est un arbre doté d'une action de groupe naturelle du groupe fondamental π ₁ ( A , v ) sans inversions de bord. De plus, le graphe du quotient est isomorphe à A . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}/\pi _{1}(\mathbf {A} ,v)}$

De même, si G est un groupe agissant sur un arbre X sans inversions d'arêtes (c'est-à-dire que pour chaque arête e de X et chaque g de G on a ge ≠ e ), on peut définir la notion naturelle de graphe quotient des groupes A . Le graphique sous-jacent A de A est le graphique quotient X/G . Les groupes de sommets de A sont isomorphes aux stabilisateurs de sommets dans G des sommets de X et les groupes d'arêtes de A sont isomorphes aux stabilisateurs d'arêtes dans G des arêtes de X .

De plus, si X était l'arbre couvrant de Bass–Serre d'un graphe de groupes A et si G = π ₁ ( A , v ) alors le graphe quotient de groupes pour l'action de G sur X peut être choisi naturellement isomorphe à A .

Théorème fondamental de la théorie de Bass-Serre

Soit G un groupe agissant sur un arbre X sans inversions. Soit A le graphe quotient des groupes et soit v une base-sommet dans A . Alors G est isomorphe au groupe π ₁ ( A , v ) et il existe un isomorphisme équivariant entre l'arbre X et l'arbre de recouvrement de Bass–Serre . Plus précisément, il existe un isomorphisme de groupe σ : G → π ₁ ( A , v ) et un isomorphisme de graphe tel que pour tout g dans G , pour tout sommet x de X et pour toute arête e de X on a j ( gx ) = g j ( x ) et j ( ge ) = g j ( e ). ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$${\displaystyle j:X\à {\tilde {\mathbf {A} }}}$

L'une des conséquences immédiates du résultat ci-dessus est le théorème classique des sous-groupes de Kurosh décrivant la structure algébrique des sous-groupes de produits libres .

Exemples

Produit gratuit amalgamé

Considérons un graphe de groupes A constitué d'une seule arête sans boucle e (avec son inverse formel e ) avec deux sommets distincts u = o ( e ) et v = t ( e ), les groupes de sommets H = A _u , K = A _v , un groupe de bords C = A _e et les monomorphismes de bord . Alors T = A est un arbre couvrant dans A et le groupe fondamental ₁ ( A , T ) est isomorphe au produit libre amalgamé${\displaystyle \alpha =\alpha _{e}:C\to H,\omega =\omega _{e}:C\to K}$

${\displaystyle G=H\ast _{C}K=H\ast K/{\rm {ncl}}\{\alpha (c)=\omega (c),c\in C\}.}$

Dans ce cas, l'arbre Bass–Serre peut être décrit comme suit. L'ensemble de sommets de X est l'ensemble des cosets${\displaystyle X={\tilde {\mathbf {A} }}}$

${\displaystyle VX=\{gK:g\in G\}\sqcup \{gH:g\in G\}.}$

Deux sommets gK et fH sont adjacents dans X quand il existe k  ∈  K tel que fH = GKH (ou, de manière équivalente, chaque fois qu'il existe h  ∈  H tel que gK = FHK ).

Le stabilisateur G de chaque sommet de X de type gK est égal à gKg ^-1 et le stabilisateur G de chaque sommet de X de type gH est égal à gHg ^-1 . Pour une arête [ gH , ghK ] de X son G -stabilisateur est égal à gh α( C ) h ⁻¹ g ⁻¹ .

Pour tout c  ∈  C et h  ∈ ' k  ∈  K' les arêtes [ gH , ghK ] et [ gH, gh α( c ) K ] sont égales et le degré du sommet gH dans X est égal à l' indice [ H : ( C )]. De même, tout sommet de type gK a un degré [ K :ω( C )] dans X .

Rallonge HNN

Soit A un graphe de groupes constitué d'une seule arête de boucle e (avec son inverse formel e ), d'un seul sommet v = o ( e ) = t ( e ), d'un groupe de sommets B  =  A _v , d'un groupe d'arêtes C  =  A _e et les monomorphismes de bord . Alors T = v est un arbre couvrant dans A et le groupe fondamental ₁ ( A , T ) est isomorphe à l' extension HNN${\displaystyle \alpha =\alpha _{e}:C\to B,\omega =\omega _{e}:C\to B}$

${\displaystyle G=\langle B,e|e^{-1}\alpha (c)e=\omega (c),c\in C\rangle .}$

avec le groupe de base B , la lettre stable e et les sous-groupes associés H  = ( C ), K  = ω( C ) dans B . La composition est un isomorphisme et la présentation d'extension HNN ci-dessus de G peut être réécrite comme ${\displaystyle \phi =\omega \circ \alpha ^{-1}:H\to K}$

${\displaystyle G=\langle B,e|e^{-1}he=\phi (h),h\in H\rangle .\,}$

Dans ce cas, l'arbre Bass–Serre peut être décrit comme suit. L'ensemble des sommets de X est l'ensemble de cosets VX = { gB  : g ∈ G }. ${\displaystyle X={\tilde {\mathbf {A} }}}$

Deux sommets gB et fB sont adjacents dans X chaque fois qu'il existe b dans B tel que soit fB  =  gbeB soit fB = gbe ⁻¹ B . Le stabilisateur G de chaque sommet de X est conjugué à B dans G et le stabilisateur de chaque arête de X est conjugué à H dans G . Chaque sommet de X a un degré égal à [ B  :  H ] + [ B  :  K ].

Un graphique avec le graphique trivial de la structure des groupes

Soit A un graphe de groupes avec un graphe sous-jacent A tel que tous les groupes de sommets et d'arêtes de A soient triviaux. Soit v une base-sommet dans A . Alors π ₁ ( A , v ) est égal au groupe fondamental π ₁ ( A , v ) du graphe sous-jacent A au sens standard de la topologie algébrique et l'arbre de recouvrement de Bass–Serre est égal à l' espace de recouvrement universel standard de A . En outre, l'action de π ₁ ( A , v ) sur exactement l'action standard de π ₁ ( A , v ) sur de transformations de plate - forme . ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$${\displaystyle {\tilde {A}}}$

Faits et propriétés de base

• Si A est un graphe de groupes avec un arbre couvrant T et si G = ₁ ( A , T ), alors pour tout sommet v de A l'homomorphisme canonique de A _v vers G est injectif.
• Si g ∈ G est un élément d'ordre fini alors g est conjugué dans G à un élément d'ordre fini dans un groupe de sommets A _v .
• Si F ≤ G est un sous - groupe fini alors F est conjugué à G à un sous - groupe d' un certain groupe de vertices A _v .
• Si le graphe A est fini et que tous les groupes de sommets A _v sont finis, alors le groupe G est virtuellement libre , c'est-à-dire que G contient un sous-groupe libre d'indice fini.
• Si A est fini et que tous les groupes de sommets A _v sont de type fini, alors G est de type fini.
• Si A est fini et que tous les groupes de sommets A _v sont de présentation finie et que tous les groupes d'arêtes A _e sont de génération finie, alors G est de présentation finie.

Actions triviales et non triviales

Un graphe de groupes A est dit trivial si A = T est déjà un arbre et qu'il existe un sommet v de A tel que A _v = π ₁ ( A , A ). Ceci est équivalent à la condition que A est un arbre et que pour chaque arête e = [ u ,  z ] de A (avec o ( e ) = u , t ( e ) = z ) tel que u soit plus proche de v que z nous avons [ A _z  : ω _e ( A _e )] = 1, soit A _z  = ω _e ( A _e ).

Une action d'un groupe G sur un arbre X sans inversions d'arêtes est dite triviale s'il existe un sommet x de X fixé par G , c'est-à-dire tel que Gx = x . On sait qu'une action de G sur X est triviale si et seulement si le graphique du quotient des groupes pour cette action est trivial.

En règle générale, seules les actions non triviales sur les arbres sont étudiées dans la théorie de Bass-Serre puisque les graphes triviaux de groupes ne portent aucune information algébrique intéressante, bien que les actions triviales dans le sens ci-dessus (par exemple les actions de groupes par automorphismes sur les arbres enracinés) peuvent également être intéressantes pour d'autres raisons mathématiques.

L'un des résultats classiques et toujours importants de la théorie est un théorème de Stallings sur les extrémités des groupes. Le théorème stipule qu'un groupe de type fini a plus d'une extrémité si et seulement si ce groupe admet une division non triviale sur des sous-groupes finis, c'est-à-dire si et seulement si le groupe admet une action non triviale sans inversions sur un arbre avec des stabilisateurs d'arêtes finis.

Un résultat général important de la théorie stipule que si G est un groupe avec la propriété de Kazhdan (T) alors G n'admet aucune division non triviale, c'est-à-dire que toute action de G sur un arbre X sans inversions d'arêtes a un sommet fixe global .

Fonctions de longueur hyperbolique

Soit G un groupe agissant sur un arbre X sans inversions d'arêtes.

Pour tout g ∈ G mettre

${\displaystyle \ell _{X}(g)=\min\{d(x,gx)|x\in VX\}.}$

Alors ℓ _X ( g ) est appelée la longueur de translation de g sur X .

La fonction

${\displaystyle \ell _{X}:G\to \mathbf {Z} ,\quad g\in G\mapsto \ell _{X}(g)}$

est appelée fonction de longueur hyperbolique ou fonction de longueur de translation pour l'action de G sur X .

Faits de base concernant les fonctions de longueur hyperbolique

• Pour g  ∈  G exactement une des options suivantes est vérifiée:

(a) ℓ _X ( g ) = 0 et g fixe un sommet de G . Dans ce cas, g est appelé un élément elliptique de G .

(b) ℓ _X ( g ) > 0 et il existe une unique droite bi-infinie plongée dans X , appelée axe de g et notée L _g qui est g -invariante. Dans ce cas g agit sur L _g par la traduction de grandeur ℓ _X ( g ) et l'élément g  ∈  G est appelée hyperbolique .

• Si ℓ _X ( G ) 0 alors il existe un unique sous-arbre G -invariant minimal X _G de X . De plus, X _G est égal à la réunion des axes des éléments hyperboliques de G .

La fonction de longueur ℓ _X  : G → Z est dite abélienne s'il s'agit d'un homomorphisme de groupe de G dans Z et non abélienne sinon. De même, l'action de G sur X est dite abélienne si la fonction de longueur hyperbolique associée est abélienne et est dite non abélienne sinon.

En général, une action de G sur un arbre X sans inversions d'arêtes est dite minimale s'il n'y a pas de sous-arbres G -invariants propres dans X .

Un fait important dans la théorie dit que les actions minimales des arbres non abéliens sont uniquement déterminées par leurs fonctions de longueur hyperboliques :

Théorème d'unicité

Soit G un groupe avec deux actions minimales non abéliennes sans inversions d'arêtes sur les arbres X et Y . Supposons que les fonctions de longueur hyperbolique ℓ _X et ℓ _Y sur G soient égales, c'est-à-dire ℓ _X ( g ) =  ℓ _Y ( g ) pour tout g  ∈  G . Alors les actions de G sur X et Y sont égales en ce sens qu'il existe un isomorphisme de graphe f  :  X  →  Y qui est G -équivariant, c'est-à-dire f ( gx ) =  g f ( x ) pour tout g  ∈  G et tout x  ∈  VX .

Développements importants dans la théorie de Bass-Serre

Les développements importants de la théorie de Bass-Serre au cours des 30 dernières années comprennent :

• Divers résultats d'accessibilité pour des groupes à présentation finie qui bornent la complexité (c'est-à-dire le nombre d'arêtes) dans un graphe de décomposition de groupes d'un groupe à présentation finie, où certaines restrictions algébriques ou géométriques sur les types de groupes considérés sont imposées. Ces résultats comprennent :
  • Le théorème de Dunwoody sur l' accessibilité des groupes de présentation finie affirmant que pour tout groupe de présentation finie G, il existe une limite sur la complexité des fractionnements de G sur des sous-groupes finis (les fractionnements sont nécessaires pour satisfaire une hypothèse technique d'être « réduit »);
  • Théorème d' accessibilité généralisé de Bestvina-Feighn indiquant que pour tout groupe G de présentation finie, il existe une borne sur la complexité des découpages réduits de G sur de petits sous-groupes (la classe des petits groupes comprend, en particulier, tous les groupes qui ne contiennent pas sous-groupes);
  • Résultats d'accessibilité acylindrique pour des groupes de présentation finie (Sela, Delzant) et de génération finie (Weidmann) qui délimitent la complexité des découpages dits acylindriques , c'est-à-dire des découpages où pour leurs arbres couvrant Bass-Serre les diamètres de sous-ensembles fixes d'éléments non triviaux de G sont uniformément bornés.
• La théorie des décompositions JSJ pour les groupes à présentation finie. Cette théorie a été motivée par la notion classique de décomposition JSJ en topologie 3-variétés et a été initiée, dans le contexte des groupes mot-hyperboliques , par les travaux de Sela. Les décompositions JSJ sont des fractionnements de groupes de présentation finie sur certaines classes de petits sous-groupes (cycliques, abéliens, noethériens, etc., selon la version de la théorie) qui fournissent une description canonique, en termes de quelques mouvements standard, de tous les fractionnements de la groupe sur des sous-groupes de la classe. Il existe un certain nombre de versions des théories de décomposition JSJ :
  • La version initiale de Sela pour les fractionnements cycliques de groupes de mots hyperboliques sans torsion .
  • La version de Bowditch de la théorie JSJ pour les groupes de mots hyperboliques (avec torsion possible) codant leurs divisions sur des sous-groupes virtuellement cycliques.
  • La version de Rips et Sela des décompositions JSJ de groupes à présentation finie sans torsion codant leurs dédoublements sur des sous-groupes abéliens libres .
  • La version de Dunwoody et Sageev des décompositions JSJ de groupes à présentation finie sur des sous- groupes noethériens.
  • La version de Fujiwara et Papasoglu, également des décompositions JSJ de groupes de présentation finie sur des sous- groupes noethériens .
  • Une version de la théorie de la décomposition JSJ pour les groupes à présentation finie développée par Scott et Swarup.

• La théorie des réseaux dans les groupes d'automorphismes d'arbres. La théorie des réseaux arborescents a été développée par Bass, Kulkarni et Lubotzky par analogie avec la théorie des réseaux en groupes de Lie (c'est-à-dire des sous-groupes discrets de groupes de Lie de covolume fini). Pour un sous-groupe discret G du groupe d'automorphismes d'un arbre localement fini X, on peut définir une notion naturelle de volume pour le graphe quotient des groupes A comme

${\displaystyle vol(\mathbf {A} )=\sum _{v\in V}{\frac {1}{|A_{v}|}}.}$

Le groupe G est appelé un réseau X si vol( A )< ∞. La théorie des treillis arborescents s'avère utile dans l'étude de sous-groupes discrets de groupes algébriques sur des corps locaux non archimédiens et dans l'étude des groupes de Kac-Moody .

• Développement de repliements et de méthodes de Nielsen pour approximer les actions de groupe sur les arbres et analyser leur structure en sous-groupes.
• La théorie des fins et des fins relatives des groupes, en particulier diverses généralisations du théorème de Stallings sur les groupes avec plus d'une fin.
• Résultats de rigidité quasi-isométrique pour les groupes agissant sur les arbres.

Généralisations

Il y a eu plusieurs généralisations de la théorie de Bass-Serre :

• La théorie des complexes de groupes (voir Haefliger, Corson Bridson-Haefliger) fournit une généralisation de dimension supérieure de la théorie de Bass-Serre. La notion de graphe de groupes est remplacée par celle de complexe de groupes , où des groupes sont attribués à chaque cellule d'un complexe simplicial, ainsi que des monomorphismes entre ces groupes correspondant à des inclusions de faces (ces monomorphismes sont requis pour satisfaire certaines conditions de compatibilité) . On peut alors définir un analogue du groupe fondamental d'un graphe de groupes pour un complexe de groupes. Cependant, pour que cette notion ait de bonnes propriétés algébriques (telles que l'embeddabilité des groupes de sommets) et pour qu'un bon analogue de la notion d'arbre couvrant de Bass-Serre existe dans ce contexte, il faut exiger une sorte de condition de "courbure non positive" pour le complexe de groupes en question (voir, par exemple ).
• La théorie des actions de groupe isométriques sur des arbres réels (ou R -arbres) qui sont des espaces métriques généralisant la notion d' arbre en théorie des graphes (théorie des graphes) . La théorie a été développée en grande partie dans les années 1990, où la machine Rips d' Eliyahu Rips sur la théorie de la structure des actions de groupe stables sur les arbres R a joué un rôle clé (voir Bestvina-Feighn). Cette théorie de la structure attribue à une action isométrique stable d'un groupe de génération finie G une certaine approximation de « forme normale » de cette action par une action stable de G sur un arbre simplicial et donc une scission de G au sens de la théorie de Bass-Serre. Les actions de groupe sur des arbres réels surviennent naturellement dans plusieurs contextes en topologie géométrique : par exemple en tant que points limites de l' espace de Teichmüller (chaque point de la limite de Thurston de l'espace de Teichmüller est représenté par une stratification géodésique mesurée sur la surface ; cette stratification s'élève à la couverture universelle de la surface et un objet naturellement double à cet ascenseur est un arbre R doté d'une action isométrique du groupe fondamental de la surface), comme les limites de Gromov-Hausdorff des actions de groupe kleiniennes convenablement redimensionnées , et ainsi de suite. L'utilisation de la machinerie R- trees fournit des raccourcis substantiels dans les preuves modernes du théorème d'hyperbolisation de Thurston pour les 3-variétés de Haken . De même, les R- arbres jouent un rôle clé dans l'étude de l'espace extra-atmosphérique de Culler - Vogtmann ainsi que dans d'autres domaines de la théorie géométrique des groupes ; par exemple, les cônes asymptotiques de groupes ont souvent une structure arborescente et donnent lieu à des actions de groupe sur des arbres réels . L'utilisation d' arbres R , avec la théorie de Bass-Serre, est un outil clé dans les travaux de Sela sur la résolution du problème d'isomorphisme pour les groupes de mots hyperboliques (sans torsion) , la version de Sela de la théorie de la décomposition JSJ et le travail de Sela sur la conjecture de Tarski pour les groupes libres et la théorie des groupes limites .
• La théorie des actions de groupe sur X arbres , où Λ est un ordre groupe commutatif (tels que R ou Z ) fournit une généralisation plus de la théorie de Bass-Serre et la théorie des actions de groupe sur R -trees (voir Morgan, Alperin -Basse, Chiswell).

Voir également

• Théorie géométrique des groupes

Les références