Treillis (sous-groupe discret) - Lattice (discrete subgroup)

Une partie du groupe discret de Heisenberg , un sous-groupe discret du groupe continu de Heisenberg Lie. (La coloration et les bords sont uniquement à titre d'aide visuelle.)

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe de quotient Produit (semi) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de guirlande Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie de groupe
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Théorème de Cauchy Théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow Théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe Quaternion Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( Z ) Groupe gratuit Groupes modulaires PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle Linéaire général GL ( n ) SL linéaire spécial ( n ) Orthogonal O ( n ) Euclidienne E ( n ) SO orthogonal spécial ( n ) Unitaire U ( n ) Unitaire spécial SU ( n ) Symplectique Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie dimensionnel infini O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

Dans la théorie de Lie et les domaines connexes des mathématiques, un réseau dans un groupe localement compact est un sous-groupe discret avec la propriété que l' espace quotient a une mesure invariante finie . Dans le cas particulier des sous-groupes de R ⁿ , cela revient à la notion géométrique habituelle d'un réseau en tant que sous-ensemble périodique de points, et la structure algébrique des réseaux et la géométrie de l'espace de tous les réseaux sont relativement bien comprises.

La théorie est particulièrement riche pour les treillis en groupes de Lie semi-simples ou plus généralement en groupes algébriques semi-simples sur des champs locaux . En particulier, il existe une richesse de résultats de rigidité dans ce cadre, et un théorème célèbre de Grigory Margulis déclare que dans la plupart des cas, tous les réseaux sont obtenus sous forme de groupes arithmétiques .

Les treillis sont également bien étudiés dans d'autres classes de groupes, en particulier les groupes associés aux algèbres de Kac – Moody et les groupes d'automorphismes d' arbres réguliers (ces derniers sont connus sous le nom de treillis d'arbres ).

Les treillis présentent un intérêt dans de nombreux domaines des mathématiques: théorie des groupes géométriques (comme particulièrement beaux exemples de groupes discrets ), en géométrie différentielle (par la construction de variétés localement homogènes), en théorie des nombres (par groupes arithmétiques ), en théorie ergodique (par l'étude des flux homogènes sur les espaces quotients) et en combinatoire (par la construction de graphes de Cayley en expansion et d'autres objets combinatoires).

Généralités sur les treillis

Discussion informelle

Les réseaux sont mieux considérés comme des approximations discrètes de groupes continus (tels que les groupes de Lie). Par exemple, il est intuitivement clair que le sous-groupe de vecteurs entiers "ressemble" à l'espace vectoriel réel dans un certain sens, alors que les deux groupes sont essentiellement différents: l'un est généré et dénombrable de manière finie , tandis que l'autre ne l'est pas, et a la cardinalité de le continuum . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Définir rigoureusement le sens de «approximation d'un groupe continu par un sous-groupe discret» dans le paragraphe précédent afin d'obtenir une notion généralisant l'exemple est une question de ce qu'il est censé accomplir. L'idée la plus évidente est peut-être de dire qu'un sous-groupe "se rapproche" d'un groupe plus grand est que le plus grand groupe peut être couvert par les traductions d'un "petit" sous-ensemble par tous les éléments des sous-groupes. Dans un groupe topologique localement compact , il y a deux notions disponibles immédiatement de « petit »: topologique (un compact , ou sous - ensemble relativement compact ) ou d'une mesure théorique (un sous - ensemble de mesure Haar finie). Notez que puisque la mesure de Haar est une mesure de Borel , en particulier donne une masse finie à des sous-ensembles compacts, la deuxième définition est plus générale. La définition d'un réseau utilisé en mathématiques repose sur le second sens (en particulier pour inclure des exemples tels que ) mais le premier a aussi son propre intérêt (de tels réseaux sont appelés uniformes). ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Définition

Soit un groupe localement compact et un sous-groupe discret (cela signifie qu'il existe un voisinage de l'élément d'identité de tel que ). On appelle alors un treillis si en plus il existe une mesure de Borel sur l'espace quotient qui est fini (ie ) et -invariant (ce qui signifie que pour tout sous - ensemble ouvert, l'égalité est satisfaite). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle e_ {G}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma \ cap U = \ {e_ {G} \}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ mu (G / \ Gamma) <+ \ infty}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle W \ subset G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ mu (gW) = \ mu (W)}$

Une formulation un peu plus sophistiquée est la suivante: supposons en plus que ce soit unimodulaire, alors comme il est discret, il est également unimodulaire et selon les théorèmes généraux, il existe une mesure de Borel unique -invariante sur la mise à l'échelle. Alors est un réseau si et seulement si cette mesure est finie. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Dans le cas des sous-groupes discrets, cette mesure invariante coïncide localement avec la mesure de Haar et donc un sous-groupe discret dans un groupe localement compact étant un treillis équivaut à avoir un domaine fondamental (pour l'action sur par translation à gauche) de volume fini pour la mesure Haar. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Un réseau est appelé uniforme lorsque l'espace quotient est compact (et non uniforme dans le cas contraire). De manière équivalente, un sous-groupe discret est un réseau uniforme si et seulement s'il existe un sous-ensemble compact avec . Notez que s'il y a un sous-groupe discret dans tel qui est compact, alors est automatiquement un treillis dans . ${\ displaystyle \ Gamma \ subset G}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma \ subset G}$${\ displaystyle C \ subset G}$${\ displaystyle G = \ bigcup {} _ {\ gamma \ in \ Gamma} \, C \ gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$

Premiers exemples

L'exemple fondamental et le plus simple est le sous-groupe qui est un treillis dans le groupe de Lie . Un exemple légèrement plus compliqué est donné par le groupe discret de Heisenberg à l'intérieur du groupe continu de Heisenberg. ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Si est un groupe discret, alors un réseau dans est exactement un sous-groupe d'indice fini (c'est-à-dire que l'ensemble des quotients est fini). ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G / \ Gamma}$

Tous ces exemples sont uniformes. Un exemple non uniforme est donné par le groupe modulaire à l' intérieur , ainsi que par les analogues de dimension supérieure . ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n} (\ mathbb {Z}) \ subset \ mathrm {SL} _ {n} (\ mathbb {R})}$

Tout sous-groupe d'indice fini d'un réseau est également un réseau du même groupe. Plus généralement, un sous-groupe commensurable à un treillis est un treillis.

Quels groupes ont des treillis?

Tous les groupes localement compacts ne contiennent pas de treillis, et il n'y a pas de condition générale suffisante théorique des groupes pour cela. D'un autre côté, il existe de nombreux contextes plus spécifiques où de tels critères existent. Par exemple, l'existence ou la non-existence de treillis dans les groupes de Lie est un sujet bien compris.

Comme nous l'avons mentionné, une condition nécessaire pour qu'un groupe contienne un treillis est que le groupe doit être unimodulaire . Ceci permet de construire facilement des groupes sans treillis, par exemple le groupe de matrices triangulaires supérieures inversibles ou les groupes affines . Il n'est pas non plus très difficile de trouver des groupes unimodulaires sans treillis, par exemple certains groupes de Lie nilpotents comme expliqué ci-dessous.

Une condition plus forte que l'unimodularité est la simplicité . Cela suffit pour impliquer l'existence d'un treillis dans un groupe de Lie, mais dans le cadre plus général des groupes localement compacts, il existe des groupes simples sans treillis, par exemple les "groupes de Neretin".

Treillis dans des groupes de Lie solubles

Groupes de Lie Nilpotent

Pour les groupes nilpotents, la théorie simplifie beaucoup le cas général et reste similaire au cas des groupes abéliens. Tous les réseaux d'un groupe de Lie nilpotent sont uniformes, et si est un groupe de Lie nilpotent connecté simplement connecté (de manière équivalente, il ne contient pas de sous-groupe compact non trivial) alors un sous-groupe discret est un réseau si et seulement s'il n'est pas contenu dans un sous-groupe (cela généralise le fait qu'un sous-groupe discret dans un espace vectoriel est un treillis si et seulement s'il couvre l'espace vectoriel). ${\ displaystyle N}$

Un groupe de Lie nilpotent G contient un treillis si et seulement si l'algèbre de Lie 𝓰 de G peut être définie sur les rationnels. Autrement dit, si et seulement si les constantes de structure de 𝓰 sont des nombres rationnels. Plus précisément: Dans un groupe nilpotent dont l'algèbre de Lie n'a que des constantes de structure rationnelle, les treillis sont les images via l'application exponentielle des treillis (au sens plus élémentaire de Lattice (groupe) ) dans l'algèbre de Lie.

Un réseau dans un groupe de Lie nilpotent est toujours généré fini (et donc présenté finement puisqu'il est lui-même nilpotent); en fait, il est généré par au plus des éléments. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ dim (G)}$

Enfin, un groupe nilpotent est isomorphe à un treillis dans un groupe de Lie nilpotent si et seulement s'il contient un sous-groupe d'indice fini qui est sans torsion et de génération finie.

Le cas général

Le critère pour que les groupes de Lie nilpotents aient un réseau donné ci-dessus ne s'applique pas aux groupes de Lie résolubles plus généraux. Il reste vrai que tout réseau dans un groupe de Lie résoluble est uniforme et que les réseaux dans des groupes solubles sont présentés finement.

Tous les groupes solvables de génération finie ne sont pas des réseaux dans un groupe de Lie. Un critère algébrique est que le groupe soit polycyclique .

Treillis dans des groupes de Lie semi-simples

Groupes arithmétiques et existence de treillis

Si est un groupe algébrique linéaire semi-simple dans lequel est défini sur le champ des nombres rationnels (c'est-à-dire que les équations polynomiales définissant ont leurs coefficients dans ) alors il a un sous-groupe . Un théorème fondamental d' Armand Borel et Harish-Chandra déclare qu'il s'agit toujours d'un treillis en ; l'exemple le plus simple en est le sous-groupe . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ Gamma = G \ cap \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

En généralisant la construction ci-dessus, on obtient la notion de réseau arithmétique dans un groupe de Lie semi-simple. Puisque tous les groupes de Lie semi-simples peuvent être définis sur une conséquence de la construction arithmétique, tout groupe de Lie semi-simple contient un treillis. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Irréductibilité

Lorsque le groupe de Lie se divise en produit, il y a une construction évidente de treillis à partir des petits groupes: si sont des treillis, alors est aussi un treillis. En gros, un treillis est alors dit irréductible s'il ne provient pas de cette construction. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G = G_ {1} \ times G_ {2}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma _ {1} \ subset G_ {1}, \ Gamma _ {2} \ subset G_ {2}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {1} \ times \ Gamma _ {2} \ subset G}$

Plus formellement, si est la décomposition de en facteurs simples, un réseau est dit irréductible si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée: ${\ displaystyle G = G_ {1} \ times \ ldots \ times G_ {r}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma \ subset G}$

• La projection de à n'importe quel facteur est dense; ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G_ {i_ {1}} \ times \ ldots \ times G_ {i_ {k}}}$
• L'intersection de avec n'importe quel facteur n'est pas un treillis. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G_ {i_ {1}} \ times \ ldots \ times G_ {i_ {k}}}$

Un exemple de réseau irréductible est donné par le sous-groupe que nous considérons comme un sous-groupe via la carte où se trouve la carte de Galois envoyant une matrice avec des coefficients à . ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z} [{\ sqrt {2}}])}$${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R}) \ times \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle g \ mapsto (g, \ sigma (g))}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle a_ {i} + b_ {i} {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle a_ {i} -b_ {i} {\ sqrt {2}}}$

Rang 1 contre rang supérieur

Le rang réel d'un groupe de Lie est la dimension maximale d'un sous-groupe abélien ne contenant que des éléments semi-simples . Les groupes de Lie semi-simples de rang réel 1 sans facteurs compacts sont (jusqu'à l' isogénie ) ceux de la liste suivante (voir Liste des groupes de Lie simples ):

• Les groupes orthogonaux de formes quadratiques réelles de signature pour ; ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, 1)}$${\ displaystyle (n, 1)}$${\ displaystyle n \ geq 2}$
• Les groupes unitaires de formes hermitiennes de signature pour ; ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n, 1)}$${\ displaystyle (n, 1)}$${\ displaystyle n \ geq 2}$
• Les groupes (groupes de matrices à coefficients quaternioniques qui conservent une "forme quadratique quaternionique" de signature ) pour ; ${\ displaystyle \ mathrm {Sp} (n, 1)}$${\ displaystyle (n, 1)}$${\ displaystyle n \ geq 2}$
• Le groupe de Lie exceptionnel (la forme réelle de rang 1 correspondant à l'algèbre de Lie exceptionnelle ). ${\ displaystyle F_ {4} ^ {- 20}}$${\ displaystyle F_ {4}}$

Le rang réel d'un groupe de Lie a une influence significative sur le comportement des treillis qu'il contient. En particulier, le comportement des treillis dans les deux premières familles de groupes (et dans une moindre mesure celui des treillis dans les deux dernières) diffère beaucoup de celui des treillis irréductibles dans les groupes de rang supérieur. Par example:

• Il existe des réseaux non-arithmétiques dans tous les groupes , dans et éventuellement dans (le dernier est une question ouverte ) mais tous les réseaux irréductibles dans les autres sont arithmétiques; ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, 1)}$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2,1), \ mathrm {SU} (3,1)}$${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n, 1), n ​​\ geq 4}$
• Réseaux de rang 1 Les groupes de Lie ont des sous-groupes normaux d' indice infini et infini tandis que tous les sous-groupes normaux de réseaux irréductibles de rang supérieur sont soit d'indice fini, soit contenus dans leur centre;
• Conjecturalement, les réseaux arithmétiques dans les groupes de rang supérieur ont la propriété de sous-groupe de congruence, mais il existe de nombreux réseaux dans lesquels des sous-groupes d'indice fini de non-congruence. ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, 1), \ mathrm {SU} (n, 1)}$

Propriété de Kazhdan (T)

La propriété connue sous le nom de (T) a été introduite par Kazhdan pour étudier les réseaux de structure algébrique dans certains groupes de Lie lorsque les méthodes classiques, plus géométriques, ont échoué ou du moins n'étaient pas aussi efficaces. Le résultat fondamental lors de l'étude des treillis est le suivant:

Un treillis dans un groupe localement compact a la propriété (T) si et seulement si le groupe lui-même a la propriété (T).

En utilisant l'analyse harmonique, il est possible de classer des groupes de Lie semi-simples selon qu'ils possèdent ou non la propriété. En conséquence, nous obtenons le résultat suivant, illustrant davantage la dichotomie de la section précédente:

• Les treillis dans n'ont pas la propriété de Kazhdan (T) alors que les treillis irréductibles dans tous les autres groupes de Lie simples en ont; ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, 1), \ mathrm {SU} (n, 1)}$

Propriétés de finitude

Les treillis dans les groupes de Lie semi-simples sont toujours présentés de manière finie et satisfont en fait des conditions de finitude plus fortes . Pour les réseaux uniformes, c'est une conséquence directe de la cocompactité. Dans le cas non uniforme, cela peut être prouvé en utilisant la théorie de la réduction. Cependant, pour une simple présentabilité finie, une preuve beaucoup plus rapide consiste à utiliser la propriété de Kazhdan (T) lorsque cela est possible.

Variétés riemanniennes associées aux réseaux dans les groupes de Lie

Métriques invariantes à gauche

Si est un groupe de Lie alors à partir d'un produit intérieur sur l'espace tangent (l'algèbre de Lie de ) on peut construire une métrique riemannienne sur comme suit: si appartiennent à l'espace tangent en un point mis où indique la carte tangente (at ) du difféomorphisme de . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle g_ {e}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle v, w}$${\ displaystyle \ gamma \ in G}$${\ displaystyle g _ {\ gamma} (v, w) = g_ {e} (\ gamma ^ {*} v, \ gamma ^ {*} w)}$${\ displaystyle \ gamma ^ {*}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle x \ mapsto \ gamma ^ {- 1} x}$${\ displaystyle G}$

Les cartes pour sont par définition des isométries pour cette métrique . En particulier, s'il y a un sous-groupe discret dans (afin qu'il agisse librement et correctement de manière discontinue par translation à gauche sur ) le quotient est une variété riemannienne localement isométrique à la métrique . ${\ displaystyle x \ mapsto \ gamma x}$${\ displaystyle \ gamma \ in G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma \ backslash G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$

La forme de volume riemannienne associée à définit une mesure de Haar sur et on voit que la variété quotient est de volume riemannien fini si et seulement si est un réseau. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Des exemples intéressants dans cette classe d'espaces riemanniens comprennent les variétés plates compactes et les variétés nil .

Espaces localement symétriques

Un produit intérieur naturel est donné par la forme Killing . Si n'est pas compact, il n'est pas défini et donc pas un produit interne: cependant quand est semi-simple et est un sous-groupe compact maximal, il peut être utilisé pour définir une métrique -invariante sur l' espace homogène : de telles variétés riemanniennes sont appelées espaces symétriques de non- type compact sans facteurs euclidiens. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle X = G / K}$

Un sous-groupe agit librement, correctement de manière discontinue si et seulement s'il est discret et sans torsion. Les quotients sont appelés espaces localement symétriques. Il existe donc une correspondance bijective entre des espaces localement symétriques complets localement isomorphes à et de volume riemannien fini, et des réseaux sans torsion en . Cette correspondance peut être étendue à tous les réseaux en ajoutant des orbifolds du côté géométrique. ${\ displaystyle \ Gamma \ subset G}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Gamma \ backslash X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$

Réseaux dans des groupes de Lie p-adiques

Une classe de groupes avec des propriétés similaires (par rapport aux treillis) aux groupes de Lie semi-simples réels sont des groupes algébriques semi-simples sur des champs locaux de caractéristique 0, par exemple les champs p-adiques . Il existe une construction arithmétique similaire au cas réel, et la dichotomie entre rang supérieur et rang 1 est également valable dans ce cas, sous une forme plus marquée. Laissez - être un groupe algébrique sur des dédoublé -rank r . Puis: ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$

• Si r est au moins égal à 2, tous les réseaux irréductibles de sont arithmétiques; ${\ displaystyle G}$
• si r = 1, alors il existe un nombre incalculable de classes de commensurabilité de réseaux non arithmétiques.

Dans ce dernier cas, tous les réseaux sont en fait des groupes libres (jusqu'à un indice fini).

Groupes S-arithmétiques

Plus généralement, on peut regarder les treillis en groupes de la forme

${\ displaystyle G = \ prod _ {p \ in S} G_ {p}}$

où est un groupe algébrique semi-simple sur . Habituellement, il est autorisé, auquel cas il s'agit d'un vrai groupe de Lie. Un exemple d'un tel réseau est donné par ${\ displaystyle G_ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$${\ displaystyle p = \ infty}$${\ displaystyle G _ {\ infty}}$

${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} \ left (\ mathbb {Z} \ left [{\ frac {1} {p}} \ right] \ right) \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R}) \ times \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Q} _ {p})}$ .

Cette construction arithmétique peut être généralisée pour obtenir la notion de groupe S-arithmétique . Le théorème d'arithméticité de Margulis s'applique également à ce paramètre. En particulier, si au moins deux des facteurs ne sont pas compacts, alors tout réseau irréductible est S-arithmétique. ${\ displaystyle G_ {p}}$${\ displaystyle G}$

Treillis en groupes adéliques

S'il s'agit d'un groupe algébrique semi-simple sur un corps de nombre et son anneau adèle, alors le groupe de points adéliques est bien défini (modulo quelques technicités) et c'est un groupe localement compact qui contient naturellement le groupe du point rationnel comme un sous-groupe discret. Le théorème de Borel – Harish-Chandra s'étend à ce cadre et est un treillis. ${\ displaystyle \ mathrm {G}}$ ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathbb {A}}$${\ displaystyle G = \ mathrm {G} (\ mathbb {A})}$${\ displaystyle \ mathrm {G} (F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathrm {G} (F) \ subset \ mathrm {G} (\ mathbb {A})}$

Le théorème d'approximation forte relie le quotient à des quotients S-arithmétiques plus classiques. Ce fait rend les groupes adèle très efficaces comme outils dans la théorie des formes automorphes . En particulier, les formes modernes de la formule trace sont généralement énoncées et prouvées pour les groupes adéliques plutôt que pour les groupes de Lie. ${\ displaystyle \ mathrm {G} (F) \ backslash \ mathrm {G} (\ mathbb {A})}$

Rigidité

Résultats de rigidité

Un autre groupe de phénomènes concernant les réseaux dans des groupes algébriques semi-simples est collectivement connu sous le nom de rigidité . Voici trois exemples classiques de résultats dans cette catégorie.

Les résultats de rigidité locale indiquent que dans la plupart des situations, chaque sous-groupe qui est suffisamment "proche" d'un treillis (au sens intuitif, formalisé par la topologie de Chabauty ou par la topologie sur une variété de caractères ) est en fait conjugué au treillis d'origine par un élément du groupe de Lie ambiant. Une conséquence de la rigidité locale et du théorème de Kazhdan-Margulis est le théorème de Wang: dans un groupe donné (avec une mesure de Haar fixe), pour tout v> 0, il n'y a que des réseaux finis (jusqu'à la conjugaison) avec un covolume borné par v .

Le théorème de rigidité de Mostow stipule que pour les réseaux dans des groupes de Lie simples non localement isomorphes (le groupe des matrices 2 par 2 avec le déterminant 1) tout isomorphisme des réseaux est essentiellement induit par un isomorphisme entre les groupes eux-mêmes. En particulier, un réseau dans un groupe de Lie "se souvient" du groupe de Lie ambiant à travers sa structure de groupe. La première affirmation est parfois appelée forte rigidité et est due à George Mostow et Gopal Prasad (Mostow l'a prouvé pour les réseaux cocompacts et Prasad l'a étendu au cas général). ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Superrigidity fournit (pour groupes de Lie et groupes algébriques sur les locaux d' rang plus élevé) un renforcement de rigidité fois locale et forte, traite des homomorphismes arbitraires partir un réseau dans un groupe algébrique G en un autre groupe algébrique H . Il a été prouvé par Grigori Margulis et est un ingrédient essentiel dans la preuve de son théorème d'arithméticité.

Non-rigidité dans les petites dimensions

Les seuls groupes de Lie semi-simples pour lesquels la rigidité de Mostow ne tient pas sont tous les groupes localement isomorphes à . Dans ce cas, il y a en effet continuellement de nombreux treillis et ils donnent naissance à des espaces de Teichmüller . ${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {R})}$

Les treillis non uniformes du groupe ne sont pas localement rigides. En fait, ce sont des points d'accumulation (dans la topologie de Chabauty) de treillis de plus petit volume, comme le démontre la chirurgie hyperbolique de Dehn . ${\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2} (\ mathbb {C})}$

Comme les réseaux dans les groupes p-adiques de rang un sont des groupes virtuellement libres, ils sont très non rigides.

Treillis d'arbres

Définition

Soit un arbre avec un groupe cocompact d'automorphismes; par exemple, peut être un arbre régulier ou birégulaire . Le groupe d'automorphismes de est un groupe localement compact (lorsqu'il est doté de la topologie compacte-ouverte , dans laquelle une base de voisinages de l'identité est donnée par les stabilisateurs de sous-arbres finis, qui sont compacts). Tout groupe qui est un treillis dans certains est alors appelé un treillis d'arbre . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (T)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (T)}$

La discrétion dans ce cas est facile à voir à partir de l'action de groupe sur l'arbre: un sous-groupe de est discret si et seulement si tous les stabilisateurs de sommets sont des groupes finis. ${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (T)}$

Il ressort facilement de la théorie de base des actions de groupe sur les arbres que les treillis d'arbres uniformes sont des groupes virtuellement libres. Ainsi les treillis d'arbres les plus intéressants sont les non uniformes, de manière équivalente ceux pour lesquels le graphe quotient est infini. L'existence de tels treillis n'est pas facile à voir. ${\ displaystyle \ Gamma \ backslash T}$

Treillis d'arbres issus de groupes algébriques

Si est un champ local de caractéristique positive (c'est-à-dire une complétion d'un champ de fonction d'une courbe sur un corps fini, par exemple le champ de la série formelle de puissance de Laurent ) et un groupe algébrique défini sur de -split rang un, alors tout réseau dans est un treillis d'arbre par son action sur le bâtiment Bruhat – Tits qui dans ce cas est un arbre. Contrairement au cas caractéristique 0, de tels réseaux peuvent être non uniformes, et dans ce cas, ils ne sont jamais générés de manière finie. ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p} ((t))}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$

Treillis d'arbres issus de la théorie de Bass – Serre

Si est le groupe fondamental d'un graphe infini de groupes , dont tous les groupes de sommets sont finis, et sous des hypothèses supplémentaires nécessaires sur l'indice des groupes d'arêtes et la taille des groupes de sommets, alors l'action de sur l'arbre de Bass-Serre associé au graphe de groupes le réalise comme un treillis d'arbre. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Critère d'existence

Plus généralement, on peut se poser la question suivante: si est un sous-groupe fermé de , dans quelles conditions contient-il un treillis? L'existence d'un réseau uniforme équivaut à être unimodulaire et le quotient étant fini. Le théorème d'existence générale est plus subtil: il est nécessaire et suffisant d' être unimodulaire, et que le quotient soit de "volume fini" dans un sens approprié (qui peut être exprimé combinatoire en termes d'action de ), plus général que le plus fort condition que le quotient soit fini (comme le prouve l'existence même de treillis d'arbres non uniformes). ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathrm {Aut} (T)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H \ backslash T}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H \ backslash T}$${\ displaystyle H}$

Remarques

Les références

• Basse, Hyman; Lubotzky, Alexander (2001). Treillis d'arbres Avec des annexes de H. Bass, L. Carbone, A. Lubotzky, G. Rosenberg et J. Tits . Progrès en mathématiques. Birkhäuser Verlag. ISBN   0-8176-4120-3 .
• Margulis, Grigory (1991). Sous-groupes discrets de groupes de Lie semi-simples . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . pp. x + 388. ISBN   3-540-12179-X . MR   1090825 .
• Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994). Groupes algébriques et théorie des nombres. (Traduit de l'original russe de 1991 par Rachel Rowen.) . Mathématiques pures et appliquées. 139 . Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN   0-12-558180-7 . MR   1278263 .
• Raghunathan, MS (1972). Sous-groupes discrets de groupes de Lie . Ergebnisse de Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag . MR   0507234 .
• Witte-Morris, Dave (2015). Introduction aux groupes arithmétiques . Presse déductive. p. 492. ISBN   978-0-9865716-0-2 .