Groupe kleinien - Kleinian group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe de quotients Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidienne E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , un groupe kleinien est un sous-groupe discret de PSL(2,  C ) . Le groupe PSL(2,  C ) de matrices complexes 2 par 2 de déterminant 1 modulo son centre a plusieurs représentations naturelles : comme transformations conformes de la sphère de Riemann , et comme isométries préservant l' orientation de l'espace hyperbolique à 3 dimensions H ³ , et comme des cartes conformes préservant l'orientation de la boule unitaire ouverte B ³ dans R ³ sur elle-même. Par conséquent, un groupe kleinien peut être considéré comme un sous-groupe discret agissant sur l'un de ces espaces.

Histoire

La théorie des groupes kleiniens généraux a été fondée par Felix Klein  ( 1883 ) et Henri Poincaré  ( 1883 ), qui les ont nommés d'après Felix Klein . Le cas particulier des groupes de Schottky avait été étudié quelques années plus tôt, en 1877, par Schottky.

Définitions

En considérant le bord de la boule, un groupe kleinien peut également être défini comme un sous-groupe Γ de PGL(2, C ), le groupe linéaire projectif complexe , qui agit par transformations de Möbius sur la sphère de Riemann . Classiquement, un groupe kleinien devait agir correctement de manière discontinue sur un sous-ensemble ouvert non vide de la sphère de Riemann, mais l'usage moderne autorise tout sous-groupe discret.

Lorsque Γ est isomorphe au groupe fondamental d'une 3-variété hyperbolique , alors l' espace quotient H ³ /Γ devient un modèle kleinien de la variété. De nombreux auteurs utilisent les termes modèle kleinien et groupe kleinien de manière interchangeable, laissant l'un représenter l'autre. ${\style d'affichage \pi _{1}}$

La discrétion implique que les points de B ³ ont des stabilisateurs finis , et des orbites discrètes sous le groupe Γ. Mais l'orbite p d'un point p s'accumulera typiquement sur la frontière de la boule fermée . ${\displaystyle {\bar {B}}^{3}}$

Un joint apollinien est un exemple d'ensemble limite d'un groupe kleinien

La frontière de la boule fermée s'appelle la sphère à l'infini et est notée . L'ensemble des points d'accumulation de p in est appelé l' ensemble limite de , et généralement noté . Le complément s'appelle le domaine de discontinuité ou l' ensemble ordinaire ou l' ensemble régulier . Le théorème de finitude d'Ahlfors implique que si le groupe est de type fini, alors il s'agit d'un orbifold de surface de Riemann de type fini. ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$${\style d'affichage \Lambda (\Gamma )}$${\displaystyle \Omega (\Gamma )=S_{\infty }^{2}-\Lambda (\Gamma )}$${\displaystyle \Omega (\Gamma )/\Gamma }$

La boule unité B ³ avec sa structure conforme est le modèle de Poincaré de l'espace 3 hyperbolique . Quand on y pense métriquement, avec métrique

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4\,\left|dx\right|^{2}}{\left(1-|x|^{2}\right)^{2}}} }$

c'est un modèle d'espace hyperbolique à 3 dimensions H ³ . L'ensemble des autocartes conformes de B ³ devient l'ensemble des isométries (c'est-à-dire des cartes préservant la distance) de H ³ sous cette identification. De telles applications se limitent aux auto-cartes conformes de , qui sont des transformations de Möbius . Il existe des isomorphismes ${\displaystyle S_{\infty }^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Mob} (S_{\infty }^{2})\cong \operatorname {Conf} (B^{3})\cong \operatorname {Isom} (\mathbf {H} ^{3} ).}$

Les sous - groupes de ces groupes constitués de transformations préservant l'orientation sont tous isomorphes au groupe matriciel projectif : PSL(2, C ) via l'identification habituelle de la sphère unité avec la ligne projective complexe P ¹ ( C ).

Variantes

Il existe quelques variantes de la définition d'un groupe kleinien : parfois les groupes kleiniens sont autorisés à être des sous-groupes de PSL(2, C ).2 (c'est-à-dire de PSL(2, C ) étendu par des conjugaisons complexes), en d'autres termes à ont des éléments d'inversion d'orientation, et parfois ils sont supposés être de génération finie , et parfois ils doivent agir correctement de manière discontinue sur un sous-ensemble ouvert non vide de la sphère de Riemann.

Les types

• Un groupe kleinien est dit de type fini si sa région de discontinuité a un nombre fini d'orbites de composants sous l'action de groupe, et le quotient de chaque composant par son stabilisateur est une surface de Riemann compacte avec un nombre fini de points enlevés, et le le revêtement est ramifié en un nombre fini de points.
• Un groupe kleinien est dit de type fini s'il possède un nombre fini de générateurs. Le théorème de finitude d'Ahlfors dit qu'un tel groupe est de type fini.
• Un groupe kleinien a un covolume fini si H ³ /Γ a un volume fini. Tout groupe kleinien de covolume fini est de type fini.
• Un groupe kleinien est dit géométriquement fini s'il a un polyèdre fondamental (dans l'espace hyperbolique 3-) avec un nombre fini de côtés. Ahlfors a montré que si la limite fixée n'est pas toute la sphère de Riemann alors elle a la mesure 0.
• Un groupe kleinien Γ est dit arithmétique s'il est commensurable aux éléments de norme de groupe 1 d'un ordre de l'algèbre des quaternions A ramifié en tous lieux réels sur un corps de nombres k avec exactement un lieu complexe. Les groupes arithmétiques kleiniens ont un covolume fini.
• Un groupe kleinien Γ est dit cocompact si H ³ /Γ est compact, ou de façon équivalente SL(2, C )/Γ est compact. Les groupes kleiniens cocompacts ont un covolume fini.
• Un groupe kleinien est dit topologiquement apprivoisé s'il est de type fini et que sa variété hyperbolique est homéomorphe à l'intérieur d'une variété compacte à bord.
• Un groupe kleinien est dit géométriquement apprivoisé si ses extrémités sont soit géométriquement finies, soit simplement dégénérées ( Thurston 1980 ).
• Un groupe kleinien est dit de type 1 si la limite fixée est toute la sphère de Riemann, et de type 2 sinon.

Exemples

Groupes Bianchi

Un groupe de Bianchi est un groupe kleinien de la forme PSL(2, O _d ), où est l'anneau d'entiers du corps quadratique imaginaire pour d un entier sans carré positif . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$

Groupes kleiniens élémentaires et réductibles

Un groupe kleinien est dit élémentaire si son ensemble limite est fini, auquel cas l'ensemble limite a 0, 1 ou 2 points. Des exemples de groupes kleiniens élémentaires comprennent des groupes kleiniens finis (avec un ensemble de limites vides) et des groupes kleiniens cycliques infinis.

Un groupe kleinien est dit réductible si tous les éléments ont un point fixe commun sur la sphère de Riemann. Les groupes kleiniens réductibles sont élémentaires, mais certains groupes kleiniens finis élémentaires ne sont pas réductibles.

Groupes fuchsiens

Tout groupe fuchsien (un sous-groupe discret de PSL(2, R )) est un groupe kleinien, et inversement tout groupe kleinien préservant la droite réelle (dans son action sur la sphère de Riemann) est un groupe fuchsien. Plus généralement, tout groupe kleinien conservant un cercle ou une droite dans la sphère de Riemann est conjugué à un groupe fuchsien.

groupes de Koebe

• Un facteur d'un groupe kleinien G est un sous-groupe H maximal soumis aux propriétés suivantes :
  • H a une composante invariante simplement connexe D
  • Un conjugué d'un élément h de H par une bijection conforme est parabolique ou elliptique si et seulement si h l' est.
  • Tout élément parabolique de G fixant un point frontière de D est dans H .
• Un groupe kleinien est appelé groupe de Koebe si tous ses facteurs sont élémentaires ou fuchsiens.

Groupes quasi-fuchsiens

Ensemble limite d'un groupe quasifuchsien

Un groupe kleinien qui préserve une courbe de Jordan est appelé un groupe quasi-fuchsien . Lorsque la courbe de Jordan est un cercle ou une ligne droite, ceux-ci sont simplement conjugués aux groupes fuchsiens sous transformations conformes. Les groupes quasi-fuchsiens de type fini sont conjugués aux groupes fuchsiens sous des transformations quasi-conformes. La limite fixée est contenue dans la courbe de Jordan invariante, et si elle est égale à la courbe de Jordan, le groupe est dit de type 1 , et sinon il est dit de type 2 .

Groupes Schottky

Soit C _i les cercles frontières d'une collection finie de disques fermés disjoints. Le groupe généré par inversion dans chaque cercle a pour limite un ensemble de Cantor , et le quotient H ³ / G est un miroir orbifold avec l'espace sous-jacent une boule. Il est doublement recouvert d'un corps de poignée ; le sous-groupe d' indice 2 correspondant est un groupe kleinien appelé groupe de Schottky .

Groupes cristallographiques

Soit T un pavage périodique de l' espace hyperbolique 3-. Le groupe de symétries du pavage est un groupe kleinien.

Groupes fondamentaux de 3-variétés hyperboliques

Le groupe fondamental de toute 3-variété hyperbolique orientée est un groupe kleinien. Il en existe de nombreux exemples, comme le complément d'un nœud en 8 ou l' espace Seifert-Weber . Inversement, si un groupe kleinien n'a pas d'éléments de torsion non triviaux alors c'est le groupe fondamental d'une 3-variété hyperbolique.

Groupes kleiniens dégénérés

Un groupe kleinien est dit dégénéré s'il n'est pas élémentaire et que son ensemble limite est simplement connexe. De tels groupes peuvent être construits en prenant une limite appropriée de groupes quasi-fuchsiens telle que l'une des deux composantes des points réguliers se contracte jusqu'à l'ensemble vide ; ces groupes sont appelés dégénérés singuliers . Si les deux composants de l'ensemble régulier se contractent jusqu'à l'ensemble vide, alors l'ensemble limite devient une courbe de remplissage d'espace et le groupe est appelé doublement dégénéré . L'existence de groupes kleiniens dégénérés a été montrée pour la première fois indirectement par Bers (1970) , et le premier exemple explicite a été trouvé par Jørgensen. Cannon & Thurston (2007) ont donné des exemples de groupes doublement dégénérés et de courbes de remplissage associées à des cartes pseudo-Anosov .

Voir également

• Conjecture de mesure d'Ahlfors
• Théorème de densité pour les groupes kleiniens
• Théorème de stratification de fin
• Théorème d'apprivoisement (conjecture de Marden)

Les références

• Bers, Lipman (1970), « Sur les limites des espaces de Teichmüller et sur les groupes kleiniens. I », Annals of Mathematics , Second Series, 91 (3) : 570–600, doi : 10.2307/1970638 , ISSN  0003-486X , JSTOR  1970638 , MR  0297992
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• Série, Caroline (2005), "A accéléré sur les groupes kleiniens" , Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Università di Trieste , 37 (1) : 1–38, ISSN  0049-4704 , MR  2227047 , archivé à partir de l'original le 2011-07-22
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Liens externes

• Une image de l'ensemble limite d'un groupe quasi-fuchsien de ( Fricke & Klein 1897 , p. 418).
• Une image de l'ensemble limite d'un groupe kleinien de ( Fricke & Klein 1897 , p. 440). Ce fut l'une des premières images d'un jeu de limites. Un dessin informatique de la même limite définie
• Animations d'ensembles limites de groupes kleiniens
• Images liées aux groupes kleiniens par McMullen
• Weisstein, Eric W. "Kleinian Group" . MathWorld .