Classification des algèbres de Clifford - Classification of Clifford algebras

En algèbre abstraite , en particulier dans la théorie des formes quadratiques non dégénérées sur les espaces vectoriels , les structures des algèbres de Clifford réelles et complexes de dimension finie pour une forme quadratique non dégénérée ont été complètement classées. Dans chaque cas, l'algèbre de Clifford est algèbre isomorphe à un anneau matriciel complet sur R , C ou H (les quaternions ), ou à une somme directe de deux copies d'une telle algèbre, mais pas de manière canonique . Ci-dessous, il est montré que des algèbres de Clifford distinctes peuvent être algèbre-isomorphes , comme c'est le cas de Cl _2,0 ( R ) et Cl _1,1 ( R ), qui sont tous deux isomorphes à l'anneau de matrices deux par deux sur les vrais nombres.

Notations et conventions

Le produit de Clifford est le produit en anneau manifeste pour l'algèbre de Clifford, et tous les homomorphismes algébriques dans cet article sont relatifs à ce produit en anneau. Les autres produits définis dans les algèbres de Clifford, tels que le produit extérieur , ne sont pas utilisés ici. Cet article utilise la convention de signe (+) pour la multiplication de Clifford afin que

${\style d'affichage v^{2}=Q(v)}$

pour tous les vecteurs v ∈ V , où Q est la forme quadratique sur l'espace vectoriel V . On notera l'algèbre des matrices n × n à entrées dans l' algèbre de division K par M _n ( K ) ou M( n , K ) . La somme directe de deux de ces algèbres identiques seront désignés par M _n ( K ) ⊕ M _n ( K ) = M _n ² ( K ) , qui est isomorphe à M _n ( K ⊕ K ) .

Périodicité de Bot

Les algèbres de Clifford présentent une périodicité de 2 fois sur les nombres complexes et une périodicité de 8 fois sur les nombres réels, qui est liée aux mêmes périodicités pour les groupes d'homotopie du groupe unitaire stable et du groupe orthogonal stable , et est appelée périodicité de Bott . La connexion est expliquée par le modèle géométrique des espaces de boucle approche de la périodicité de Bott : leurs plongements périodiques 2 fois/8 fois des groupes classiques les uns dans les autres (correspondant aux groupes d'isomorphisme des algèbres de Clifford), et leurs quotients successifs sont des espaces symétriques qui sont homotopiques équivalentes aux espaces de boucles du groupe unitaire/orthogonal.

Cas complexe

Le cas complexe est particulièrement simple : toute forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel complexe est équivalente à la forme diagonale standard

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\cdots +u_{n}^{2}}$

où n = dim V , il n'y a donc essentiellement qu'une seule algèbre de Clifford dans chaque dimension. C'est parce que les nombres complexes incluent par lesquels et donc les termes positifs ou négatifs sont équivalents. On notera l'algèbre de Clifford sur C ⁿ de forme quadratique standard par Cl _n ( C ). ${\style d'affichage i}$${\displaystyle -u_{k}^{2}=+(iu_{k})^{2}}$

Il y a deux cas distincts à considérer, selon que n est pair ou impair. Lorsque n est pair, l'algèbre Cl _n ( C ) est simple centrale et donc selon le théorème d'Artin-Wedderburn est isomorphe à une algèbre matricielle sur C . Lorsque n est impair, le centre comprend non seulement les scalaires mais aussi les pseudoscalaires ( éléments de degré n ). On peut toujours trouver un pseudoscalaire normalisé ω tel que ω ² = 1 . Définir les opérateurs

${\displaystyle P_{\pm }={\frac {1}{2}}(1\pm \omega ).}$

Ces deux opérateurs forment un ensemble complet d' idempotents orthogonaux , et comme ils sont centraux , ils donnent une décomposition de Cl _n ( C ) en une somme directe de deux algèbres .

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{n}(\mathbf {C} )=\operatorname {Cl} _{n}^{+}(\mathbf {C} )\oplus \operatorname {Cl} _{n }^{-}(\mathbf {C} ),}$

où

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )=P_{\pm }\operatorname {Cl} _{n}(\mathbf {C} ).}$

Les algèbres ne sont que les espaces propres positifs et négatifs de ω et les P _{± ne} sont que les opérateurs de projection. Puisque ω est impair, ces algèbres sont mélangées par α (l'application linéaire sur V définie par v ↦ − v ) : ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )}$

${\displaystyle \alpha \left(\operatorname {Cl} _{n}^{\pm }(\mathbf {C} )\right)=\operatorname {Cl} _{n}^{\mp }(\mathbf {C} )}$.

et donc isomorphe (puisque α est un automorphisme ). Ces deux algèbres isomorphes sont chacune centrale simple et donc, encore une fois, isomorphes à une algèbre matricielle sur C . Les tailles des matrices peuvent être déterminées à partir du fait que la dimension de Cl _n ( C ) est de 2 ⁿ . On a alors le tableau suivant :

m	Cl n ( C )
2 mètres	M(2 m , C )
2 m +1	M(2 m , C ) M(2 m , C )

La sous-algèbre paire de Cl _n ( C ) est (non canoniquement) isomorphe à Cl _{n -1} ( C ). Lorsque n est pair, la sous-algèbre paire peut être identifiée avec les matrices diagonales de blocs (lorsqu'elles sont partitionnées en matrice de blocs 2×2 ). Lorsque n est impair, les sous-algèbres paires sont les éléments de M(2 ^m , C ) M(2 ^m , C ) pour lesquels les deux facteurs sont identiques. Le choix de l'une ou l'autre des pièces donne alors un isomorphisme avec Cl _{n −1} ( C ) M(2 ^m , C ) .

Cas réel

Le cas réel est nettement plus compliqué, présentant une périodicité de 8 au lieu de 2, et il existe une famille à 2 paramètres d'algèbres de Clifford.

Classification des formes quadratiques

Premièrement, il existe des formes quadratiques non isomorphes d'un degré donné, classées par signature.

Toute forme quadratique non dégénérée sur un espace vectoriel réel est équivalente à la forme diagonale standard :

${\displaystyle Q(u)=u_{1}^{2}+\cdots +u_{p}^{2}-u_{p+1}^{2}-\cdots -u_{p+q}^ {2}}$

où n = p + q est la dimension de l'espace vectoriel. Le couple d'entiers ( p , q ) est appelé la signature de la forme quadratique. L'espace vectoriel réel avec cette forme quadratique est souvent noté R ^{p , q} . L'algèbre de Clifford sur R ^{p , q} est notée Cl _{p , q} ( R ).

Une base orthonormée standard { e _i } pour R ^{p , q} est constituée de n = p + q vecteurs orthogonaux entre eux, dont p de norme +1 et q de norme -1.

Unité pseudoscalaire

L'unité pseudoscalaire dans Cl _{p , q} ( R ) est définie comme

${\displaystyle \omega =e_{1}e_{2}\cdots e_{n}.}$

C'est à la fois une sorte d' élément de Coxeter (produit de réflexions) et un élément le plus long d'un groupe de Coxeter dans l' ordre de Bruhat ; c'est une analogie. Elle correspond à et généralise une forme volumique (dans l' algèbre extérieure ; pour la forme quadratique triviale, l'unité pseudoscalaire est une forme volumique), et soulève la réflexion par l'origine (c'est-à-dire que l'image de l'unité pseudoscalaire est la réflexion par l'origine, dans le groupe orthogonal ).

Pour calculer le carré , on peut soit inverser l'ordre du deuxième groupe, donnant , soit appliquer un mélange parfait , donnant . Ceux - ci ont tous deux signe , qui est le 4-périodique ( preuve ), et combiné avec , cela montre que le carré de ω est donné par ${\displaystyle \omega ^{2}=(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})(e_{1}e_{2}\cdots e_{n})}$${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\sigma )e_{1}e_{2}\cdots e_{n}e_{n}\cdots e_{2}e_{1}}$${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\sigma )(e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}\cdots e_{n}e_{n})}$${\displaystyle (-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}}$${\displaystyle e_{i}e_{i}=\pm 1}$

${\displaystyle \omega ^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(-1)^{q}=(-1)^{\frac {(pq )(pq-1)}{2}}={\begin{cas}+1&p-q\equiv 0,1\mod {4}\\-1&p-q\equiv 2,3\mod {4}.\ fin{cas}}}$

Notez que, contrairement au cas complexe, il n'est pas toujours possible de trouver un pseudo-scalaire carré à +1.

Centre

Si n (équivalent, p − q ) est pair, l'algèbre Cl _{p , q} ( R ) est centrale simple et donc isomorphe à une algèbre matricielle sur R ou H par le théorème d'Artin-Wedderburn .

Si n (équivalent, p − q ) est impair alors l'algèbre n'est plus simple centrale mais a plutôt un centre qui inclut les pseudoscalaires ainsi que les scalaires. Si n est impair et ω ² = +1 (équivalent, si p − q 1 (mod 4) ) alors, comme dans le cas complexe, l'algèbre Cl _{p , q} ( R ) se décompose en une somme directe d'algèbres isomorphes

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q}^{+}(\mathbf {R} )\oplus \operatorname {Cl } _{p,q}^{-}(\mathbf {R} )}$

dont chacun est central simple et donc isomorphe à l'algèbre matricielle sur R ou H .

Si n est impair et ω ² = −1 (équivalent, si p − q −1 (mod 4) ) alors le centre de Cl _{p , q} ( R ) est isomorphe à C et peut être considéré comme une algèbre complexe . En tant qu'algèbre complexe, elle est centrale simple et donc isomorphe à une algèbre matricielle sur C .

Classification

Au total, il y a trois propriétés qui déterminent la classe de l'algèbre Cl _{p , q} ( R ) :

• signature mod 2 : n est pair/impair : central simple ou non
• signature mod 4 : ω ² = ±1 : si non central simple, le centre est R ⊕ R ou C
• signature mod 8 : la classe de Brauer de l'algèbre ( n pair) ou de la sous-algèbre paire ( n impair) est R ou H

Chacune de ces propriétés ne dépend que de la signature p − q modulo 8. Le tableau de classification complet est donné ci-dessous. La taille des matrices est déterminée par l'exigence que Cl _{p , q} ( R ) aient la dimension 2 ^{p + q} .

p − q mod 8	ω 2	Cl p , q ( R ) ( n = p + q )		p − q mod 8	ω 2	Cl p , q ( R ) ( n = p + q )
0	+	M(2 n /2 , R )		1	+	M(2 ( n −1)/2 , R ) ⊕ M(2 ( n −1)/2 , R )
2	−	M(2 n/2 , R )		3	−	M(2 ( n −1)/2 , C )
4	+	M(2 ( n −2)/2 , H )		5	+	M(2 ( n −3)/2 , H ) ⊕ M(2 ( n −3)/2 , H )
6	−	M(2 ( n −2)/2 , H )		7	−	M(2 ( n −1)/2 , C )

On peut voir que de tous les types d'anneaux matriciels mentionnés, il n'y a qu'un seul type partagé entre les algèbres complexes et réelles : le type M(2 ^m , C ). Par exemple, Cl ₂ ( C ) et Cl _3,0 ( R ) sont tous deux déterminés comme étant M ₂ ( C ). Il est important de noter qu'il existe une différence dans les isomorphismes de classification utilisés. Puisque le Cl ₂ ( C ) est algèbre isomorphe via une application C -linéaire (qui est nécessairement R -linéaire), et Cl _3,0 ( R ) est algèbre isomorphe via une application R -linéaire, Cl ₂ ( C ) et Cl _3,0 ( R ) sont des R -algèbres isomorphes.

Un tableau de cette classification pour p + q 8 suit. Ici p + q s'exécute verticalement et p − q s'exécute horizontalement (par exemple, l'algèbre Cl _1,3 ( R ) M ₂ ( H ) se trouve à la ligne 4, colonne −2).

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

0

R

1

R 2

C

2

M 2 ( R )

M 2 ( R )

H

3

M 2 ( C )

M 2 2 ( R )

M 2 ( C )

H 2

4

M 2 ( H )

M 4 ( R )

M 4 ( R )

M 2 ( H )

M 2 ( H )

5

M 2 2 ( H )

M 4 ( C )

M 4 2 ( R )

M 4 ( C )

M 2 2 ( H )

M 4 ( C )

6

M 4 ( H )

M 4 ( H )

M 8 ( R )

M 8 ( R )

M 4 ( H )

M 4 ( H )

M 8 ( R )

7

M 8 ( C )

M 4 2 ( H )

M 8 ( C )

M 8 2 ( R )

M 8 ( C )

M 4 2 ( H )

M 8 ( C )

M 8 2 ( R )

8

M 16 ( R )

M 8 ( H )

M 8 ( H )

M 16 ( R )

M 16 ( R )

M 8 ( H )

M 8 ( H )

M 16 ( R )

M 16 ( R )

ω 2

+

−

−

+

+

−

−

+

+

−

−

+

+

−

−

+

+

Symétries

Il y a un enchevêtrement de symétries et de relations dans le tableau ci-dessus.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )&=\mathrm {M} _{2}(\operatorname {Cl} _{ p,q}(\mathbf {R} ))\\\operatorname {Cl} _{p+4,q}(\mathbf {R} )&=\operatorname {Cl} _{p,q+4}( \mathbf {R} )\end{aligné}}}$

Dépasser 4 points dans n'importe quelle ligne donne une algèbre identique.

De ces Bott la périodicité suit :

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+8,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p+4,q+4}(\mathbf {R} )=M_{2 ^{4}}(\operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )).}$

Si la signature satisfait p − q 1 (mod 4) alors

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} ).}$

(Le tableau est symétrique par rapport aux colonnes avec signature ..., -7, -3, 1, 5, ...)

Ainsi si la signature satisfait p − q 1 (mod 4) ,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+k,q}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p,q+k}(\mathbf {R} )=\operatorname {Cl} _{p-k+k,q+k}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{pk,q}(\mathbf {R } ))=\mathrm {M} _{2^{k}}(\operatorname {Cl} _{p,qk}(\mathbf {R} )).}$

Voir également

• Algèbre de Dirac Cl _1,3 ( C )
• algèbre de Pauli Cl _3,0 ( R )
• Algèbre de l'espace-temps Cl _1,3 ( R )
• Module Clifford
• Représentation de rotation

Les références

• Budinich, Paulo ; Trautman, Andrzej (1988). L'échiquier spinorial . Springer Verlag. ISBN 9783540190783.
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (2016). Géométrie de rotation . Série mathématique de Princeton. 38 . Presse de l'Université de Princeton. ISBN 9781400883912.
• Porteous, Ian R. (1995). Clifford Algebras et les groupes classiques . Études de Cambridge en mathématiques avancées. 50 . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-0-521-55177-9.