Treillis complémentaire - Complemented lattice
Dans la discipline mathématique de la théorie de l' ordre , un réseau complémenté est un réseau borné (avec le plus petit élément 0 et le plus grand élément 1), dans lequel chaque élément a a un complément , c'est-à-dire un élément b satisfaisant a ∨ b = 1 et a ∧ b = 0. Les compléments n'ont pas besoin d'être uniques.
Un réseau relativement complémenté est un réseau tel que chaque intervalle [ c , d ], considéré comme un réseau borné à part entière, est un réseau complémenté.
Une orthocomplémentation sur un réseau complémenté est une involution qui inverse l'ordre et mappe chaque élément à un complément. Un réseau orthocomplémenté satisfaisant une forme faible de la loi modulaire est appelé réseau orthomodulaire .
Dans les réseaux distributifs , les compléments sont uniques. Chaque réseau distributif complémenté a une orthocomplémentation unique et est en fait une algèbre booléenne .
Définition et propriétés de base
Un réseau complémenté est un réseau borné (avec le plus petit élément 0 et le plus grand élément 1), dans lequel chaque élément a a un complément , c'est-à-dire un élément b tel que
- a ∨ b = 1 et a ∧ b = 0.
En général, un élément peut avoir plus d'un complément. Cependant, dans un réseau distributif (borné), chaque élément aura au plus un complément. Un réseau dans lequel chaque élément a exactement un complément est appelé réseau à complément unique
Un réseau avec la propriété que chaque intervalle (considéré comme un sous-réseau) est complémenté est appelé un réseau relativement complémenté . En d'autres termes, un réseau relativement complémenté est caractérisé par la propriété que pour chaque élément a dans un intervalle [ c , d ] il existe un élément b tel que
- une ∨ b = d et un ∧ b = c .
Un tel élément b est appelé complément de a par rapport à l'intervalle.
Un réseau distributif est complémenté si et seulement s'il est borné et relativement complémenté. Le réseau de sous - espaces d'un espace vectoriel fournit un exemple de réseau complémenté qui n'est pas, en général, distributif.
Orthocomplémentation
Un orthocomplementation sur un réseau bornée est une fonction qui fait correspondre à chaque élément un à un « orthocomplement » un ⊥ de telle sorte que soient satisfaites les axiomes suivants:
- Loi complémentaire
- a ⊥ ∨ a = 1 et a ⊥ ∧ a = 0.
- Loi d'involution
- un ⊥⊥ = a .
- Inversion de commande
- si a ≤ b alors b ⊥ ≤ a ⊥ .
Un treillis orthocomplémenté ou ortholattice est un treillis borné équipé d'une orthocomplémentation. Le réseau de sous-espaces d'un espace de produit interne , et l' opération de complément orthogonal , fournit un exemple d'un réseau orthocomplémenté qui n'est pas, en général, distributif.
- Quelques treillis complétés
Dans le réseau pentagonal N 5 , le nœud de droite a deux compléments.
Le réseau en losange M 3 n'admet aucune orthocomplémentation.
Le réseau M 4 admet 3 orthocomplémentations.
Le réseau hexagonal admet une orthocomplémentation unique, mais il n'est pas uniquement complémenté.
Les algèbres booléennes sont un cas particulier de réseaux orthocomplémentés, qui à leur tour sont un cas particulier de réseaux complémentés (avec une structure supplémentaire). Les orthoréseaux sont le plus souvent utilisés en logique quantique , où les sous- espaces fermés d'un espace de Hilbert séparable représentent des propositions quantiques et se comportent comme un réseau orthocomplémenté.
Les réseaux orthocomplémentés, comme les algèbres booléennes, satisfont aux lois de de Morgan :
- ( a ∨ b ) ⊥ = a ⊥ ∧ b ⊥
- ( A ∧ b ) ⊥ = un ⊥ ∨ b ⊥ .
Réseaux orthomodulaires
Un treillis est dit modulaire si pour tous les éléments a , b et c l'implication
- si un ≤ c , puis une ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ c
tient. C'est plus faible que la distributivité ; par exemple , le réseau représenté ci-dessus M 3 est modulaire, mais pas distributive. Un autre affaiblissement naturel de cette condition pour les réseaux orthocomplémentés, nécessaire pour les applications en logique quantique, est de ne l'exiger que dans le cas particulier b = a ⊥ . Un réseau orthomodulaire est donc défini comme un réseau orthocomplémenté tel que pour deux éléments quelconques, l'implication
- si un ≤ c , puis une ∨ ( un ⊥ ∧ c ) = c
tient.
Les réseaux de cette forme sont d'une importance cruciale pour l'étude de la logique quantique , car ils font partie de l'axiomisation de la formulation spatiale de Hilbert de la mécanique quantique . Garrett Birkhoff et John von Neumann ont observé que le calcul propositionnel en logique quantique est « formellement indiscernable du calcul des sous-espaces linéaires [d'un espace de Hilbert] en ce qui concerne les produits d'ensemble , les sommes linéaires et les compléments orthogonaux » correspondant aux rôles de et , ou et non dans les réseaux booléens. Cette remarque a suscité l'intérêt pour les sous-espaces fermés d'un espace de Hilbert, qui forment un réseau orthomodulaire.
Voir également
Remarques
Les références
- Birkhoff, Garrett (1961). Théorie des treillis . Société mathématique américaine.
- Grätzer, George (1971). Théorie des treillis : premiers concepts et treillis distributifs . WH Freeman et compagnie. ISBN 978-0-7167-0442-3.
- Grätzer, George (1978). Théorie générale des réseaux . Bâle, Suisse : Birkhäuser. ISBN 978-0-12-295750-5.
- Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introduction à la théorie des réseaux . Olivier et Boyd.
Liens externes
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