Racks et quandles - Racks and quandles

En mathématiques , les racks et les quandles sont des ensembles avec des opérations binaires satisfaisant des axiomes analogues aux mouvements de Reidemeister utilisés pour manipuler les diagrammes de nœuds .

Bien que principalement utilisés pour obtenir des invariants de nœuds, ils peuvent être considérés comme des constructions algébriques à part entière. En particulier, la définition d'un quandle axiomatise les propriétés de conjugaison dans un groupe .

Histoire

En 1943, Mituhisa Takasaki (高崎光久) introduisit une structure algébrique qu'il appela un Kei (圭), qui deviendra plus tard un quandle involutif. Sa motivation était de trouver une structure algébrique non associative pour capturer la notion de réflexion dans le contexte de la géométrie finie . L'idée a été redécouverte et généralisée dans une correspondance (non publiée) de 1959 entre John Conway et Gavin Wraith , qui étaient à l'époque des étudiants de premier cycle à l' Université de Cambridge . C'est ici qu'apparaissent pour la première fois les définitions modernes de quandles et de racks. Wraith s'est intéressé à ces structures (qu'il a d'abord baptisées séquentielles ) à l'école. Conway les a rebaptisés wracks , en partie par jeu de mots sur le nom de son collègue, et en partie parce qu'ils apparaissent comme les restes (ou « wrack and ruin ») d'un groupe lorsque l'on rejette la structure multiplicative et ne considère que la structure de conjugaison . L'orthographe 'rack' est maintenant devenue courante.

Ces constructions refont surface dans les années 1980 : dans un article de 1982 de David Joyce (où le terme quandle a été inventé), dans un article de 1982 de Sergei Matveev (sous le nom de distributive groupoids ) et dans un article de conférence de 1986 d' Egbert Brieskorn (où ils étaient appelés ensembles automorphes ). Un aperçu détaillé des racks et de leurs applications dans la théorie des nœuds peut être trouvé dans l'article de Colin Rourke et Roger Fenn .

Racks

Un rack peut être défini comme un ensemble avec une opération binaire telle que pour tout la loi d'auto-distribution est vraie : ${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} }$

${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$

et pour tout il existe un unique tel que ${\displaystyle a,b\in \mathrm {R} ,}$${\displaystyle c\in \mathrm {R} }$

${\displaystyle a\triangleleft c=b.}$

Cette définition, bien que concise et couramment utilisée, est sous-optimale à certaines fins car elle contient un quantificateur existentiel qui n'est pas vraiment nécessaire. Pour éviter cela, on peut écrire l'unique tel que comme on a alors ${\displaystyle c\in \mathrm {R} }$${\displaystyle a\triangleleft c=b}$${\displaystyle b\triangleright a.}$

${\displaystyle a\triangleleft c=b\iff c=b\triangleright a,}$

Et ainsi

${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b,}$

et

${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b.}$

En utilisant cette idée, un rack peut être défini de manière équivalente comme un ensemble avec deux opérations binaires et tel que pour tout${\displaystyle \mathrm {R} }$${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle \triangleright }$${\displaystyle a,b,c\in \mathrm {R} {\text{:}}}$

1. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleleft c)=(a\triangleleft b)\triangleleft (a\triangleleft c)}$ (loi auto-distributive de gauche)
2. ${\displaystyle (c\triangleright b)\triangleright a=(c\triangleright a)\triangleright (b\triangleright a)}$ (droit droit auto-distributif)
3. ${\displaystyle (a\triangleleft b)\triangleright a=b}$
4. ${\displaystyle a\triangleleft (b\triangleright a)=b}$

Il est commode de dire que l'élément agit de la gauche dans l'expression et agit de la droite dans l'expression Les troisième et quatrième axiomes du rack disent alors que ces actions gauche et droite sont inverses l'une de l'autre. En utilisant cela, nous pouvons éliminer l'une ou l'autre de ces actions de la définition du rack. Si nous éliminons l'action de droite et gardons celle de gauche, nous obtenons la définition laconique donnée initialement. ${\displaystyle a\in \mathrm {R} }$${\displaystyle a\triangleleft b,}$${\displaystyle b\triangleright a.}$

De nombreuses conventions différentes sont utilisées dans la littérature sur les racks et les quandles. Par exemple, de nombreux auteurs préfèrent travailler avec la bonne action. De plus, l'utilisation des symboles et n'est en aucun cas universelle : de nombreux auteurs utilisent la notation exponentielle ${\displaystyle \triangleleft }$${\displaystyle \triangleright }$

${\displaystyle a\triangleleft b={}^{a}b}$

et

${\displaystyle b\triangleright a=b^{a},}$

tandis que beaucoup d'autres écrivent

${\displaystyle b\triangleright a=b\star a.}$

Une autre définition équivalente d'un rack est qu'il s'agit d'un ensemble où chaque élément agit à gauche et à droite en tant qu'automorphismes du rack, l'action de gauche étant l'inverse de celle de droite. Dans cette définition, le fait que chaque élément agisse comme des automorphismes encode les lois d'autodistributivité gauche et droite, et aussi ces lois :

${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft (b\triangleright c)&=(a\triangleleft b)\triangleright (a\ \triangleleft c)\\(c\triangleleft b)\triangleright a&=(c\ triangleright a)\triangleleft (b\triangleright a)\end{aligned}}}$

qui sont des conséquences de la ou des définitions données précédemment.

Quandles

Un quandle est défini comme un rack, tel que pour tous${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$${\displaystyle a\in \mathrm {Q} }$

${\displaystyle a\triangleleft a=a,}$

ou équivalent

${\displaystyle a\triangleright a=a.}$

Exemples et applications

Chaque groupe donne un dilemme où les opérations proviennent de la conjugaison :

${\displaystyle {\begin{aligned}a\triangleleft b&=aba^{-1}\\b\triangleright a&=a^{-1}ba\\&=a^{-1}\triangleleft b\end{ aligné}}}$

En fait, toute loi équationnelle satisfaite par la conjugaison dans un groupe découle des axiomes quandle. Ainsi, on peut penser à un dilemme comme à ce qui reste d'un groupe lorsque l'on oublie la multiplication, l'identité et les inverses, et ne se souvient que de l'opération de conjugaison.

Chaque noeud apprivoisé en trois dimensions l' espace euclidien a une « quandle fondamentale ». Pour définir cela, on peut noter que le groupe fondamental du complément de nœuds, ou groupe de nœuds , a une présentation (la présentation de Wirtinger ) dans laquelle les relations ne font intervenir que la conjugaison. Ainsi, cette présentation peut également être utilisée comme présentation d'un quandle. Le dilemme fondamental est un invariant de nœuds très puissant. En particulier, si deux nœuds ont des quandles fondamentaux isomorphes alors il y a un homéomorphisme de l'espace euclidien tridimensionnel, qui peut être une inversion d'orientation , prenant un nœud à l'autre.

Des invariants de nœuds moins puissants mais plus facilement calculables peuvent être obtenus en comptant les homomorphismes du nœud quandle à un quandle fixe Puisque la présentation de Wirtinger a un générateur pour chaque brin dans un diagramme de nœuds , ces invariants peuvent être calculés en comptant les manières de nommer brin par un élément de soumis à certaines contraintes. Des invariants plus sophistiqués de ce type peuvent être construits à l'aide de la cohomologie quandle . ${\displaystyle \mathrm {Q} .}$${\displaystyle \mathrm {Q} ,}$

le Les quandles d'Alexander sont également importants, car ils peuvent être utilisés pour calculer le polynôme d'Alexander d'un nœud. Soitun module sur l'anneaudes polynômes de Laurent à une variable. Ensuite, le quandle d'Alexandre esttransformé en un quandle avec l'action gauche donnée par ${\displaystyle \mathrm {A} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$${\displaystyle \mathrm {A} }$

${\displaystyle a\triangleleft b=tb+(1-t)a.}$

Les racks sont une généralisation utile des quandles en topologie, car alors que les quandles peuvent représenter des nœuds sur un objet linéaire rond (tel qu'une corde ou un fil), les racks peuvent représenter des rubans, qui peuvent être tordus ou noués.

Un quandle est dit involutif si pour tout${\displaystyle \mathrm {Q} }$${\displaystyle a,b\in \mathrm {Q} ,}$

${\displaystyle a\triangleleft (a\triangleleft b)=b}$

ou équivalent,

${\displaystyle (b\triangleright a)\triangleright a=b.}$

Tout espace symétrique donne un dilemme involutif, où est le résultat de « réfléchir à travers ». ${\displaystyle a\triangleleft b}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage a}$

Voir également

• Biracks et biquandles
• Laver table

Les références

Liens externes

• Knot Quandaries Quelled by Quandles - Une introduction de premier cycle aux quandles et à d'autres invariants de nœuds
• Une enquête sur les idées Quandle par Scott Carter
• Invariants de nœuds dérivés de Quandles et Racks par Seiichi Kamada
• Étagères, étagères, broches et quandles , p. 56 de Lie 2-Algèbres par Alissa Crans
• https://ncatlab.org/nlab/show/quandle