Dépistage des champs électriques - Electric-field screening

En physique , le blindage est l'amortissement des champs électriques provoqué par la présence de porteurs de charge mobiles . C'est une partie importante du comportement des fluides porteurs de charges , tels que les gaz ionisés ( plasmas classiques ), les électrolytes et les porteurs de charge dans les conducteurs électroniques ( semi - conducteurs , métaux ). Dans un fluide, avec une permittivité donnée ε , composé de particules constituantes chargées électriquement, chaque paire de particules (avec des charges q ₁ et q ₂ ) interagit par la force de Coulomb comme

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\ mathbf {r} }}}$,

où le vecteur r est la position relative entre les charges. Cette interaction complique le traitement théorique du fluide. Par exemple, un calcul de mécanique quantique naïf de la densité d'énergie de l'état fondamental donne l'infini, ce qui est déraisonnable. La difficulté réside dans le fait que même si la force de Coulomb diminue avec la distance comme 1/ r ² , le nombre moyen de particules à chaque distance r est proportionnel à r ² , en supposant que le fluide est assez isotrope . Par conséquent, une fluctuation de charge en un point quelconque a des effets non négligeables à grande distance.

En réalité, ces effets à longue portée sont supprimés par le flux de particules en réponse aux champs électriques. Ce flux réduit l' interaction effective entre les particules à une interaction de Coulomb « tamisée » à courte portée. Ce système correspond à l'exemple le plus simple d'interaction renormalisée (voir les sections 1.2.1 et 3.2 de  ).

En physique du solide , en particulier pour les métaux et les semi - conducteurs , l' effet d'écran décrit le champ électrostatique et le potentiel de Coulomb d'un ion à l'intérieur du solide. Comme le champ électrique du noyau est réduit à l'intérieur d'un atome ou d'un ion en raison de l' effet de protection , les champs électriques des ions dans les solides conducteurs sont encore réduits par le nuage d' électrons de conduction .

La description

Considérons un fluide composé d'électrons se déplaçant dans un fond uniforme de charge positive (plasma à un composant). Chaque électron possède une charge négative. Selon l'interaction de Coulomb, les charges négatives se repoussent. Par conséquent, cet électron repoussera d'autres électrons créant une petite région autour de lui dans laquelle il y a moins d'électrons. Cette région peut être traitée comme un "trou de filtrage" chargé positivement. Vu de loin, ce trou de blindage a l'effet d'une charge positive superposée qui annule le champ électrique produit par l'électron. Ce n'est qu'à de courtes distances, à l'intérieur de la région du trou, que le champ de l'électron peut être détecté. Pour un plasma, cet effet peut être rendu explicite par un calcul -corps (voir section 5 de ). Si le fond est constitué d'ions positifs, leur attraction par l'électron d'intérêt renforce le mécanisme de filtrage ci-dessus. En physique atomique, un effet pertinent existe pour les atomes avec plus d'une couche électronique : l' effet de blindage . En physique des plasmas, le blindage par champ électrique est également appelé blindage ou blindage Debye. Elle se manifeste à des échelles macroscopiques par une gaine (gaine Debye ) à côté d'un matériau avec lequel le plasma est en contact. ${\style d'affichage N}$ 

Le potentiel blindé détermine la force inter atomique et la relation de dispersion des phonons dans les métaux. Le potentiel blindé est utilisé pour calculer la structure de bande électronique d'une grande variété de matériaux, souvent en combinaison avec des modèles de pseudopotentiel . L'effet d'écran conduit à l' approximation des électrons indépendants , ce qui explique le pouvoir prédictif des modèles d'introduction des solides comme le modèle de Drude , le modèle à électrons libres et le modèle à électrons presque libres .

Théorie et modèles

Le premier traitement théorique du criblage électrostatique, dû à Peter Debye et Erich Hückel , traitait d'une charge ponctuelle stationnaire noyée dans un fluide.

Considérons un fluide d'électrons dans un fond d'ions lourds chargés positivement. Pour plus de simplicité, nous ignorons le mouvement et la distribution spatiale des ions, en les rapprochant comme une charge de fond uniforme. Cette simplification est permise puisque les électrons sont plus légers et plus mobiles que les ions, à condition de considérer des distances bien supérieures à la séparation ionique. En physique de la matière condensée , ce modèle est appelé jellium .

Interactions coulombiennes filtrées

Laissez ρ désigne la densité de nombre d'électrons, et & phiv le potentiel électrique . Au début, les électrons sont répartis uniformément de sorte qu'il n'y a aucune charge nette en chaque point. Par conséquent, φ est d' abord une constante aussi bien.

Nous introduisons maintenant une charge à point fixe Q à l'origine. L'associé densité de charge est qA ( r ), où δ ( r ) est la fonction delta de Dirac . Après que le système est de retour à l' équilibre, que le changement de la densité électronique et le potentiel électrique soit Δρ ( r ) et Δφ ( r ) respectivement. La densité de charge et le potentiel électrique sont liés par l'équation de Poisson , ce qui donne

${\displaystyle -\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\Delta \rho (r )]}$,

où ε ₀ est la permittivité du vide .

Pour procéder, nous devons trouver une deuxième équation indépendante reliant Δρ et Δφ . Nous considérons deux approximations possibles, sous lesquelles les deux quantités sont proportionnelles : l'approximation de Debye-Hückel, valable à haute température (par exemple les plasmas classiques), et l'approximation de Thomas-Fermi, valable à basse température (par exemple les électrons dans les métaux).

Approximation Debye-Hückel

Dans l'approximation de Debye-Hückel, nous maintenons le système en équilibre thermodynamique, à une température T suffisamment élevée pour que les particules fluides obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann . En chaque point de l'espace, la densité d'électrons d'énergie j a la forme

${\displaystyle \rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \left[{\frac {e\phi (r)}{k_{\ mathrm {B} }T}}\right]}$

où k _B est la constante de Boltzmann . Perturber dans φ et l' expansion de l'exponentielle de premier ordre, nous obtenons

${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$

où

${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{\mathrm { B} }T}}}}$

La longueur associée λ _D ≡ 1 / k ₀ est appelé la longueur de Debye . La longueur de Debye est l'échelle de longueur fondamentale d'un plasma classique.

Approximation Thomas-Fermi

Dans l'approximation de Thomas-Fermi, du nom de Llewellyn Thomas et Enrico Fermi , le système est maintenu à un potentiel chimique électronique constant ( niveau de Fermi ) et à basse température. La première condition correspond, dans une expérience réelle, à maintenir le métal/fluide en contact électrique avec une différence de potentiel fixe avec la terre . Le potentiel chimique μ est, par définition, l'énergie d'ajouter un électron supplémentaire au fluide. Cette énergie peut être décomposée en une partie d'énergie cinétique T et une partie d'énergie potentielle − eφ . Puisque le potentiel chimique est maintenu constant,

${\displaystyle \Delta \mu =\Delta Te\Delta \phi =0}$.

Si la température est extrêmement basse, le comportement des électrons se rapproche du modèle de mécanique quantique d'un gaz de Fermi . On approxime donc T par l'énergie cinétique d'un électron supplémentaire dans le modèle de gaz de Fermi, qui est simplement l' énergie de Fermi E _F . L'énergie de Fermi pour un système 3D est liée à la densité des électrons (y compris la dégénérescence du spin) par

${\displaystyle \rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{ 3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},}$

où k _F est le vecteur d'onde de Fermi. En perturbant le premier ordre, nous constatons que

${\displaystyle \Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }}$.

L'insertion dans l'équation ci-dessus pour Δμ donne

${\displaystyle e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi }$

où

${\displaystyle k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}} }}$

est appelé vecteur d'onde de dépistage Thomas-Fermi.

Ce résultat découle des équations d'un gaz de Fermi, qui est un modèle d'électrons n'interagissant pas, alors que le fluide que nous étudions contient l'interaction de Coulomb. Par conséquent, l'approximation de Thomas-Fermi n'est valable que lorsque la densité électronique est faible, de sorte que les interactions entre les particules sont relativement faibles.

Résultat : Potentiel criblé

Nos résultats de l'approximation Debye-Hückel ou Thomas-Fermi peuvent maintenant être insérés dans l'équation de Poisson. Le résultat est

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r )}$,

qui est connue sous le nom d' équation de Poisson filtrée . La solution est

${\displaystyle \phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r}}$,

qui s'appelle un potentiel de Coulomb blindé. C'est un potentiel de Coulomb multiplié par un terme d'amortissement exponentiel, la force du facteur d'amortissement étant donnée par la magnitude de k ₀ , le vecteur d'onde de Debye ou Thomas-Fermi. Notez que ce potentiel a la même forme que le potentiel Yukawa . Ce blindage donne une fonction diélectrique . ${\displaystyle \varepsilon (r)=\varepsilon _{0}e^{k_{0}r}}$

Théorie à plusieurs corps

Physique classique et réponse linéaire

Une approche mécanique- corps fournit ensemble la dérivation de l'effet d'écran et de l' amortissement Landau . Il s'agit d'une réalisation unique d'un plasma à un composant dont les électrons ont une dispersion en vitesse (pour un plasma thermique, il doit y avoir plusieurs particules dans une sphère de Debye, volume dont le rayon est la longueur de Debye). En utilisant le mouvement linéarisé des électrons dans leur propre champ électrique, cela donne une équation du type ${\style d'affichage N}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}\Phi =S}$,

où est un opérateur linéaire, est un terme source dû aux particules, et est la transformée de Fourier-Laplace du potentiel électrostatique. En substituant une intégrale sur une fonction de distribution lisse pour la somme discrète sur les particules dans , on obtient ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\style d'affichage S}$${\style d'affichage \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega )}$,

où est la permittivité du plasma, ou fonction diélectrique, classiquement obtenue par une équation de Vlasov-Poisson linéarisée (section 6.4 de ), est le vecteur d'onde, est la fréquence, et est la somme des termes sources dus aux particules (équation (20) de ). ${\displaystyle \epsilon (\mathbf {k} ,\omega )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$${\style d'affichage N}$ 

Par transformée de Fourier-Laplace inverse, le potentiel dû à chaque particule est la somme de deux parties (section 4.1 de  ). L'une correspond à l'excitation des ondes de Langmuir par la particule, et l'autre à son potentiel écranté, tel qu'obtenu classiquement par un calcul Vlasovien linéarisé faisant intervenir une particule test (section 9.2 de  ). Le potentiel écranté est le potentiel de Coulomb écranté ci-dessus pour un plasma thermique et une particule thermique. Pour une particule plus rapide, le potentiel est modifié (section 9.2 de  ). La substitution d'une intégrale sur une fonction de distribution lisse pour la somme discrète sur les particules dans , donne l'expression vlasovienne permettant le calcul de l'amortissement de Landau (section 6.4 de ). ${\displaystyle S(\mathbf {k} ,\omega )}$ 

Approche quantique-mécanique

Dans les métaux réels, l'effet d'écran est plus complexe que décrit ci-dessus dans la théorie de Thomas-Fermi. L'hypothèse selon laquelle les porteurs de charge (électrons) peuvent répondre à n'importe quel vecteur d'onde n'est qu'une approximation. Cependant, il n'est pas énergétiquement possible pour un électron à l'intérieur ou sur une surface de Fermi de répondre à des vecteurs d'onde plus courts que le vecteur d'onde de Fermi. Cette contrainte est liée au phénomène de Gibbs , où les séries de Fourier pour des fonctions qui varient rapidement dans l'espace ne sont pas de bonnes approximations à moins qu'un très grand nombre de termes de la série ne soient retenus. En physique, ce phénomène est connu sous le nom d' oscillations de Friedel et s'applique à la fois au criblage de surface et de masse. Dans chaque cas, le champ électrique net ne diminue pas de manière exponentielle dans l'espace, mais plutôt comme une loi de puissance inverse multipliée par un terme oscillatoire. Les calculs théoriques peuvent être obtenus à partir de l'hydrodynamique quantique et de la théorie de la fonctionnelle de la densité (DFT).

Voir également

• Longueur de Bjerrum
• Longueur de debye

Les références

Liens externes

• Fitzpatrick, Richard (2011-03-31). "Debye blindage" . L'Université du Texas à Austin . Récupéré le 2018-07-12 .