Approximation de réseau vide - Empty lattice approximation

L' approximation du réseau vide est un modèle théorique de structure de bande électronique dans lequel le potentiel est périodique et faible (proche de constant). On peut aussi considérer un réseau irrégulier vide, dans lequel le potentiel n'est même pas périodique. L'approximation du réseau vide décrit un certain nombre de propriétés des relations de dispersion d'énergie des électrons libres sans interaction qui se déplacent à travers un réseau cristallin . L'énergie des électrons dans le "réseau vide" est la même que l'énergie des électrons libres. Le modèle est utile car il illustre clairement un certain nombre de caractéristiques parfois très complexes des relations de dispersion d'énergie dans les solides qui sont fondamentales pour toutes les structures de bandes électroniques.

Diffusion et périodicité

Bandes d'électrons libres dans un réseau unidimensionnel

Le potentiel périodique du réseau dans ce modèle d'électrons libres doit être faible car sinon les électrons ne seraient pas libres. La force de la diffusion dépend principalement de la géométrie et de la topologie du système. Les paramètres définis topologiquement, comme les sections efficaces de diffusion , dépendent de l'amplitude du potentiel et de la taille du puits de potentiel . Pour les espaces à 1, 2 et 3 dimensions, les puits de potentiel diffusent toujours des ondes, quel que soit leur potentiel, leurs signes ou leur taille. Pour une particule dans un réseau unidimensionnel, comme le modèle de Kronig-Penney , il est possible de calculer la structure de bande de manière analytique en substituant les valeurs du potentiel, l'espacement du réseau et la taille du puits de potentiel. Pour les problèmes bi et tridimensionnels, il est plus difficile de calculer avec précision une structure de bande basée sur un modèle similaire avec quelques paramètres. Néanmoins, les propriétés de la structure de bande peuvent être facilement approchées dans la plupart des régions par des méthodes de perturbation .

En théorie, le réseau est infiniment grand, donc un faible potentiel de diffusion périodique sera finalement assez fort pour réfléchir l'onde. Le processus de diffusion entraîne les réflexions de Bragg bien connues des électrons par le potentiel périodique de la structure cristalline . C'est l'origine de la périodicité de la relation de dispersion et de la division de l' espace k dans les zones de Brillouin. La relation périodique de dispersion d'énergie s'exprime par :

E_{n}(\mathbf {k} )={\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} +\mathbf {G} _{n})^{2}}{2m} }

Ce sont les vecteurs de réseau réciproques auxquels les bandes appartiennent. $\mathbf {G} _{n}$ $E_{n}(\mathbf {k} )$

La figure de droite montre la relation de dispersion pour trois périodes dans l'espace réciproque d'un réseau unidimensionnel avec des mailles de longueur a .

Les bandes d'énergie et la densité d'états

Dans un réseau unidimensionnel, le nombre de vecteurs de réseau réciproques qui déterminent les bandes dans un intervalle d'énergie est limité à deux lorsque l'énergie augmente. Dans les réseaux à deux et trois dimensions, le nombre de vecteurs de réseau réciproques qui déterminent les bandes d'électrons libres augmente plus rapidement lorsque la longueur du vecteur d'onde augmente et que l'énergie augmente. C'est parce que le nombre de vecteurs de réseau réciproques qui se trouvent dans un intervalle augmente. La densité d'états dans un intervalle d'énergie dépend du nombre d'états dans un intervalle dans l'espace réciproque et de la pente de la relation de dispersion . $\mathbf {G} _{n}$ $E_{n}(\mathbf {k} )$ $\mathbf {G} _{n}$ $[\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]$ ${\style d'affichage [E,E+dE]}$ $[\mathbf {k} ,\mathbf {k} +d\mathbf {k} ]$ $E_{n}(\mathbf {k} )$

Figure 3 : DOS à électrons libres dans l'espace k tridimensionnel

Bien que les cellules du réseau ne soient pas à symétrie sphérique, la relation de dispersion a toujours une symétrie sphérique du point de vue d'un point central fixe dans une cellule de réseau réciproque si la relation de dispersion s'étend en dehors de la zone centrale de Brillouin. La densité d'états dans un réseau tridimensionnel sera la même que dans le cas de l'absence de réseau. Pour le cas tridimensionnel, la densité d'états est ; $D_{3}\gauche(E\droite)$

D_{3}\left(E\right)=2\pi {\sqrt {\frac {E-E_{0}}{c_{k}^{3}}}}\ .

Dans l'espace tridimensionnel, les limites de la zone Brillouin sont planes. Les relations de dispersion montrent les coniques des paraboles de dispersion d'énergie des électrons libres pour tous les vecteurs de réseau réciproques possibles. Il en résulte un ensemble très compliqué d'intersection de courbes lorsque les relations de dispersion sont calculées car il existe un grand nombre d'angles possibles entre les trajectoires d'évaluation, les limites de zone de Brillouin de premier ordre et d'ordre supérieur et les cônes d'intersection de parabole de dispersion.

Deuxième, troisième et zones Brillouin supérieures

Zone FAC Brillouin

Les « électrons libres » qui se déplacent à travers le réseau d'un solide avec des vecteurs d'onde bien à l'extérieur de la première zone de Brillouin sont toujours réfléchis dans la première zone de Brillouin. Voir la section des liens externes pour les sites avec des exemples et des chiffres. $\mathbf {k}$

Le modèle de l'électron presque libre

Dans la plupart des métaux simples , comme l' aluminium , l' effet écran réduit fortement le champ électrique des ions dans le solide. Le potentiel électrostatique est exprimé par

V(r)={\frac {Ze}{r}}e^{-qr}

où Z est le numéro atomique , e est l'unité de charge élémentaire, r est la distance au noyau de l'ion incorporé et q est un paramètre de filtrage qui détermine la plage du potentiel. La transformée de Fourier , , du potentiel de réseau, , s'exprime sous la forme $U_{\mathbf {G} }$ $V(\mathbf {r} )$

U_{\mathbf {G} }={\frac {4\pi Ze}{q^{2}+G^{2}}}

Lorsque les valeurs des éléments hors diagonale entre les vecteurs de réseau réciproques dans l'hamiltonien vont presque à zéro. En conséquence, l'amplitude de la bande interdite s'effondre et l'approximation du réseau vide est obtenue. $U_{\mathbf {G} }$ $2|U_{\mathbf {G} }|$

Les bandes d'électrons des cristaux de métaux communs

A part quelques exceptions exotiques, métaux cristallisent en trois types de structures cristallines: la BCC et la FCC structures cristallines cubiques et hexagonales à empilement compact HCP structure cristalline.