Anyon - Anyon

Mécanique statistique
Thermodynamique Théorie cinétique
Statistiques de particules Théorème des statistiques de spin Particules identiques Maxwell–Boltzmann Bose-Einstein Fermi-Dirac Parastatistique Statistiques anyoniques Statistiques de tresse
Ensembles thermodynamiques NVE Microcanonique NVT Canonique µVT Grand canonique NPH Isoenthalpique–isobare NPT Isotherme–isobare
Des modèles Au revoir Einstein Je chante Potts
Potentiels Énergie interne Enthalpie L'énergie libre de Helmholtz L'énergie gratuite de Gibbs Grand potentiel / Landau énergie libre
Scientifiques Maxwell Boltzmann Gibbs Einstein Ehrenfest von Neumann Tolman Au revoir Fermi Bose
v t e

En physique , un anyon est un type de quasiparticule qui se produit uniquement dans les systèmes à deux dimensions , avec des propriétés beaucoup moins restreintes que les deux types de particules élémentaires standard , les fermions et les bosons . En général, l'opération d' échange de deux particules identiques , bien qu'elle puisse provoquer un déphasage global, ne peut pas affecter les observables . Les anyons sont généralement classés comme abéliens ou non abéliens . Les anyons abéliens (détectés par deux expériences en 2020) jouent un rôle majeur dans l' effet Hall quantique fractionnaire . Les anyons non abéliens n'ont pas été définitivement détectés, bien qu'il s'agisse d'un domaine de recherche actif.

introduction

La mécanique statistique des grands systèmes à N corps obéit aux lois décrites par la statistique de Maxwell-Boltzmann . Les statistiques quantiques sont plus compliquées en raison des comportements différents de deux types différents de particules appelées fermions et bosons . Citant une description simple et récente de l'Université Aalto :

Dans le monde tridimensionnel dans lequel nous vivons, il n'y a que deux types de particules : les « fermions », qui se repoussent, et les « bosons », qui aiment se coller les uns aux autres. Un fermion communément connu est l'électron, qui transporte l'électricité ; et un boson communément connu est le photon, qui transporte la lumière. Dans le monde bidimensionnel, cependant, il existe un autre type de particule, l'anyon, qui ne se comporte ni comme un fermion ni comme un boson.

Dans un monde à deux dimensions, deux anyons identiques modifient leur fonction d'onde lorsqu'ils permutent de place d'une manière qui ne peut pas se produire en physique en trois dimensions :

... en deux dimensions, échanger deux fois des particules identiques n'équivaut pas à les laisser seules. La fonction d'onde des particules après avoir changé deux fois de place peut différer de celle d'origine ; les particules avec de telles statistiques d'échange inhabituelles sont connues sous le nom d'anyons. En revanche, en trois dimensions, échanger deux fois des particules ne peut pas changer leur fonction d'onde, ne nous laissant que deux possibilités : les bosons, dont la fonction d'onde reste la même même après un seul échange, et les fermions, dont l'échange ne change que le signe de leur fonction d'onde.

Ce processus d'échange de particules identiques, ou d'encerclement d'une particule autour d'une autre, est appelé par son nom mathématique « tressage ». "Tresser" deux anyons crée un enregistrement historique de l'événement, car leurs fonctions d'onde modifiées "comptent" le nombre de tresses.

Microsoft a investi dans la recherche concernant les anyons comme base potentielle pour l'informatique quantique topologique . Anyons encerclant l'un l'autre ("tressage") coderait l'information d'une manière plus robuste que d'autres technologies d' informatique quantique potentielles . Cependant, la plupart des investissements dans l'informatique quantique sont basés sur des méthodes qui n'utilisent pas anyons.

Anyons abéliens

En mécanique quantique et dans certains systèmes stochastiques classiques, les particules indiscernables ont la propriété que l'échange des états de la particule  i avec la particule  j (symboliquement ) ne conduit pas à un état à plusieurs corps sensiblement différent. ${\displaystyle \psi _{i}\leftrightarrow \psi _{j}{\text{ for }}i\neq j}$

Dans un système de mécanique quantique, par exemple, un système à deux particules indiscernables, avec la particule 1 dans l'état et la particule 2 dans l'état , a l'état en notation de Dirac . Supposons maintenant que nous échangeons les états des deux particules, alors l'état du système serait . Ces deux états ne doivent pas avoir de différence mesurable, ils doivent donc être le même vecteur, à un facteur de phase près : ${\style d'affichage \psi _{1}}$${\style d'affichage \psi _{2}}$${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle }$${\displaystyle \left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }$

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle . }$

Ici, c'est le facteur de phase. Dans un espace de trois dimensions ou plus, le facteur de phase est ou . Ainsi, les particules élémentaires sont soit des fermions, dont le facteur de phase est , soit des bosons, dont le facteur de phase est . Ces deux types ont un comportement statistique différent . Les fermions obéissent aux statistiques de Fermi-Dirac , tandis que les bosons obéissent aux statistiques de Bose-Einstein . En particulier, le facteur de phase est la raison pour laquelle les fermions obéissent au principe d'exclusion de Pauli : Si deux fermions sont dans le même état, alors nous avons ${\displaystyle e^{i\theta }}$${\style d'affichage 1}$${\style d'affichage -1}$${\style d'affichage -1}$${\style d'affichage 1}$

${\displaystyle \left|\psi \psi \right\rangle =-\left|\psi \psi \right\rangle .}$

Le vecteur d'état doit être nul, ce qui signifie qu'il n'est pas normalisable, donc non physique.

Dans les systèmes bidimensionnels, cependant, des quasiparticules peuvent être observées qui obéissent à des statistiques variant continuellement entre les statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein, comme cela a été montré pour la première fois par Jon Magne Leinaas et Jan Myrheim de l' Université d'Oslo en 1977. Dans le cas de deux particules cela peut être exprimé comme

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle , }$

où peut être d'autres valeurs que juste ou . Il est important de noter qu'il y a un léger abus de notation dans cette expression abrégée, car en réalité cette fonction d'onde peut être et est généralement à valeurs multiples. Cette expression signifie en fait que lorsque la particule 1 et la particule 2 sont interverties dans un processus où chacune d'elles fait une demi-révolution dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'autre, le système à deux particules revient à sa fonction d'onde quantique d'origine, sauf multipliée par la norme unitaire complexe. facteur de phase e ^iθ . Inversement, un demi-tour dans le sens des aiguilles d'une montre multiplie la fonction d'onde par e ^{− iθ} . Une telle théorie n'a évidemment de sens qu'en deux dimensions, où le sens des aiguilles d'une montre et le sens inverse des aiguilles d'une montre sont des directions clairement définies. ${\displaystyle e^{i\theta }}$${\style d'affichage -1}$${\style d'affichage 1}$

Dans le cas θ  =  π on retrouve la statistique de Fermi–Dirac ( e ^iπ = −1 ) et dans le cas θ = 0 (ou θ = 2 π ) la statistique de Bose–Einstein ( e ^{2 πi} = 1 ). Entre nous avons quelque chose de différent. Frank Wilczek en 1982 a exploré le comportement de ces quasi-particules et a inventé le terme "anyon" pour les décrire, car elles peuvent avoir n'importe quelle phase lorsque les particules sont échangées. Contrairement aux bosons et aux fermions, les anyons ont la propriété particulière que lorsqu'ils sont échangés deux fois de la même manière (par exemple, si anyon 1 et anyon 2 ont été tournés dans le sens antihoraire d'un demi-tour l'un sur l'autre pour changer de place, puis ils ont été tournés dans le sens antihoraire d'un demi-tour l'un de l'autre pour revenir à leur place d'origine), la fonction d'onde n'est pas nécessairement la même mais plutôt généralement multipliée par une phase complexe (par e ^{2 iθ} dans cet exemple).

On peut également utiliser θ = 2 π s avec des particules de spin nombre quantique s , avec s étant entier de bosons, demi-entier de fermions, de sorte que

${\displaystyle e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s},}$   ou   ${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =(-1)^{2s}\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle .}$

À un bord, les anyons à effet Hall quantique fractionnaire sont confinés à se déplacer dans une dimension de l'espace. Les modèles mathématiques d'anyons unidimensionnels fournissent une base des relations de commutation présentées ci-dessus.

Dans un espace de position tridimensionnel, les opérateurs statistiques de fermions et de bosons (−1 et +1 respectivement) ne sont que des représentations unidimensionnelles du groupe de permutation ( S _N de N particules indiscernables) agissant sur l'espace des fonctions d'onde. De la même manière, dans l'espace de position bidimensionnel, les opérateurs statistiques anyoniques abéliens ( e ^iθ ) ne sont que des représentations unidimensionnelles du groupe de tresses ( B _N de N particules indiscernables) agissant sur l'espace des fonctions d'onde. Les statistiques anyoniques non abéliennes sont des représentations de dimension supérieure du groupe de tresses. Les statistiques anyoniques ne doivent pas être confondues avec les parastatistiques , qui décrivent les statistiques de particules dont les fonctions d'onde sont des représentations de dimension supérieure du groupe de permutation.

Équivalence topologique

Le fait que les classes d'homotopie des chemins (c'est-à-dire la notion d' équivalence sur les tresses ) soient pertinentes laisse présager un aperçu plus subtil. Il provient de l' intégrale de chemin de Feynman , dans laquelle tous les chemins d'un point initial à un point final dans l' espace-temps contribuent avec un facteur de phase approprié . L' intégrale de chemin de Feynman peut être motivée par l'expansion du propagateur à l'aide d'une méthode appelée time-slicing, dans laquelle le temps est discrétisé.

Dans les chemins non homotopes, on ne peut pas aller de n'importe quel point d'une tranche de temps à un autre point de la tranche de temps suivante. Cela signifie que nous pouvons considérer que la classe d'équivalence homotope des chemins a des facteurs de pondération différents.

On voit donc que la notion topologique d'équivalence vient d'une étude de l' intégrale de chemin de Feynman .

Pour une manière plus transparente de voir que la notion homotopique d'équivalence est la "bonne" à utiliser, voir effet Aharonov-Bohm .

Expérience

Un groupe de physiciens théoriciens travaillant à l' Université d'Oslo , dirigé par Jon Leinaas et Jan Myrheim , a calculé en 1977 que la division traditionnelle entre fermions et bosons ne s'appliquerait pas aux particules théoriques existant en deux dimensions . On s'attendrait à ce que de telles particules présentent une gamme diversifiée de propriétés auparavant inattendues. En 1982, Frank Wilczek a publié dans deux articles, explorant les statistiques fractionnaires de quasiparticules en deux dimensions, en leur donnant le nom de "anyons".

Micrographie électronique à balayage par interféromètre à quasiparticules de Laughlin d'un dispositif semi - conducteur . Les quatre régions gris clair sont des grilles Au / Ti d' électrons non appauvris ; les courbes bleues sont les canaux de bord des équipotentielles de ces électrons non appauvris. Les courbes gris foncé sont des tranchées gravées appauvries en électrons, les points bleus sont les jonctions tunnel , les points jaunes sont des contacts ohmiques . Les électrons dans l'appareil sont confinés dans un plan 2D.

Daniel Tsui et Horst Störmer ont découvert l'effet Hall quantique fractionnaire en 1982. Les mathématiques développées par Wilczek se sont avérées utiles à Bertrand Halperin de l'Université Harvard pour en expliquer certains aspects. Frank Wilczek, Dan Arovas et Robert Schrieffer ont vérifié cette affirmation en 1985 avec un calcul explicite qui prédisait que les particules existant dans ces systèmes sont en fait des anyons.

En 2020, deux équipes de scientifiques (l'une à Paris, l'autre à Purdue) ont annoncé de nouvelles preuves expérimentales de l'existence des anyons. Les deux expériences ont été présentées dans Discover Magazine ' annuel 2020 « état de la science » question.

En avril 2020, des chercheurs de l' École normale supérieure (Paris) et du Centre des nanosciences et nanotechnologies (C2N) ont rapporté les résultats d'un minuscule « collisionneur de particules » pour anyons. Ils ont détecté des propriétés qui correspondaient aux prédictions de la théorie pour n'importe qui.

En juillet 2020, des scientifiques de l'Université Purdue ont détecté des personnes utilisant une configuration différente. L'interféromètre de l'équipe achemine les électrons à travers une nanostructure gravée en forme de labyrinthe faite d'arséniure de gallium et d'arséniure de gallium d'aluminium. "Dans le cas de nos anyons, la phase générée par le tressage était de 2π/3", a-t-il déclaré. "C'est différent de ce qui a été vu dans la nature auparavant."

Anyons non-abéliens

En 1988, Jürg Fröhlich a montré qu'il était valable sous le théorème de la statistique de spin que l'échange de particules soit monoïdal (statistiques non abéliennes). En particulier, cela peut être réalisé lorsque le système présente une certaine dégénérescence, de sorte que plusieurs états distincts du système ont la même configuration de particules. Ensuite, un échange de particules peut contribuer non seulement à un changement de phase, mais peut envoyer le système dans un état différent avec la même configuration de particules. L'échange de particules correspond alors à une transformation linéaire sur ce sous-espace d'états dégénérés. Lorsqu'il n'y a pas de dégénérescence, ce sous-espace est unidimensionnel et donc toutes ces transformations linéaires commutent (parce qu'elles ne sont que des multiplications par un facteur de phase). Lorsqu'il y a dégénérescence et que ce sous-espace a une dimension plus élevée, alors ces transformations linéaires n'ont pas besoin de commuter (tout comme la multiplication matricielle n'en a pas).

Gregory Moore , Nicholas Read et Xiao-Gang Wen ont souligné que des statistiques non abéliennes peuvent être réalisées dans l' effet Hall quantique fractionnaire (FQHE). Alors qu'au début les anyons non abéliens étaient généralement considérés comme une curiosité mathématique, les physiciens ont commencé à pousser vers leur découverte lorsqu'Alexei Kitaev a montré que les anyons non abéliens pouvaient être utilisés pour construire un ordinateur quantique topologique . En 2012, aucune expérience n'a démontré de manière concluante l'existence d'anyons non abéliens bien que des indices prometteurs émergent dans l'étude de l'état ν = 5/2 FQHE. Des preuves expérimentales d'anyons non abéliens, bien que non encore concluantes et actuellement contestées, ont été présentées en octobre 2013.

Fusion d'anyons

De la même manière que deux fermions (par exemple les deux de spin 1/2) peuvent être considérés ensemble comme un boson composite (avec un spin total dans une superposition de 0 et 1), deux ou plusieurs anyons forment ensemble un anyon composite ( éventuellement un boson ou un fermion). L'anyon composite est dit être le résultat de la fusion de ses composants.

Si des anyons abéliens identiques chacun avec des statistiques individuelles (c'est-à-dire que le système prend une phase où deux anyons individuels subissent un échange adiabatique dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) fusionnent tous ensemble, ils ont ensemble des statistiques . Cela peut être vu en notant que lors de la rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de deux anyons composites l'un autour de l'autre, il existe des paires d'anyons individuels (un dans le premier anyon composite, un dans le deuxième anyon composite) qui contribuent chacun à une phase . Une analyse analogue s'applique à la fusion d'anyons abéliens non identiques. Les statistiques de l'anyon composite sont uniquement déterminées par les statistiques de ses composants. ${\style d'affichage N}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle e^{i\alpha }}$${\displaystyle N^{2}\alpha }$${\style d'affichage N^{2}}$${\displaystyle e^{i\alpha }}$

Les anyons non abéliens ont des relations de fusion plus compliquées. En règle générale, dans un système avec des anyons non abéliens, il existe une particule composite dont l'étiquette statistique n'est pas uniquement déterminée par les étiquettes statistiques de ses composants, mais existe plutôt comme une superposition quantique (cela est complètement analogue à la façon dont deux fermions connus pour avoir le spin 1/2 sont ensemble en superposition quantique du spin total 1 et 0). Si les statistiques globales de la fusion de l'ensemble de plusieurs anyons sont connues, il existe toujours une ambiguïté dans la fusion de certains sous-ensembles de ces anyons, et chaque possibilité est un état quantique unique. Ces états multiples fournissent un espace de Hilbert sur lequel le calcul quantique peut être effectué.

Base topologique

Rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre

Rotation horaire

Echange de deux particules dans l'espace-temps 2 + 1 par rotation. Les rotations sont inéquivalentes, puisque l'une ne peut pas être déformée dans l'autre (sans que les lignes d'univers ne quittent le plan, une impossibilité dans l'espace 2d).

Dans plus de deux dimensions, le théorème de la statistique de spin stipule que tout état multiparticulaire de particules indiscernables doit obéir aux statistiques de Bose-Einstein ou de Fermi-Dirac. Pour tout d  > 2, les groupes de Lie SO( d ,1) (qui généralise le groupe de Lorentz ) et Poincaré( d ,1) ont Z ₂ comme premier groupe d'homotopie . Parce que le groupe cyclique Z ₂ est composé de deux éléments, il ne reste que deux possibilités. (Les détails sont plus compliqués que cela, mais c'est le point crucial.)

La situation change en deux dimensions. Ici le premier groupe d'homotopie de SO(2,1), et aussi de Poincaré(2,1), est Z (cyclique infini). Cela signifie que Spin(2,1) n'est pas la couverture universelle : elle n'est pas simplement connectée . En détail, il existe des représentations projectives du groupe orthogonal spécial SO(2,1) qui ne découlent pas de représentations linéaires de SO(2,1), ou de sa double couverture , le groupe de spin Spin(2,1). Les Anyons sont des représentations également complémentaires de la polarisation de spin par une particule chargée.

Ce concept s'applique également aux systèmes non relativistes. La partie pertinente ici est que le groupe de rotation spatiale SO(2) a un premier groupe d'homotopie infini.

Ce fait est également lié aux groupes de tresses bien connus dans la théorie des nœuds . La relation peut être comprise quand on considère le fait qu'en deux dimensions le groupe de permutations de deux particules n'est plus le groupe symétrique S ₂ (à deux éléments) mais plutôt le groupe de tresses B ₂ (à un nombre infini d'éléments). L'essentiel est qu'une tresse puisse s'enrouler autour de l'autre, opération qui peut être réalisée à l'infini, dans le sens des aiguilles d'une montre comme dans le sens inverse.

Une approche très différente du problème de stabilité-décohérence en informatique quantique consiste à créer un ordinateur quantique topologique avec des anyons, des quasi-particules utilisées comme fils et s'appuyant sur la théorie des tresses pour former des portes logiques stables .

Généralisation dimensionnelle supérieure

Les excitations fractionnées en tant que particules ponctuelles peuvent être des bosons, des fermions ou des anyons dans 2+1 dimensions d'espace-temps. On sait que les particules ponctuelles ne peuvent être que des bosons ou des fermions dans des dimensions d'espace-temps 3+1 et supérieures. Cependant, les excitations de type boucle (ou string) ou membrane sont des objets étendus qui peuvent avoir des statistiques fractionnées. Les travaux de recherche actuels montrent que les excitations de type boucle et corde existent pour les ordres topologiques dans l' espace-temps en 3+1 dimensions, et leurs statistiques multi-boucles/chaînes de tressage sont les signatures clés pour identifier les ordres topologiques en 3+1 dimensions. Les statistiques multi-boucles/chaînes de tressage des ordres topologiques en 3+1 dimensions peuvent être capturées par les invariants de liaison de théories topologiques particulières des champs quantiques dans 4 dimensions d'espace-temps. Expliqués de manière familière, les objets étendus (boucle, corde ou membrane, etc.) peuvent être potentiellement anyoniques dans des dimensions d'espace-temps 3+1 et supérieures dans les systèmes intriqués à longue portée .

Voir également

• Algèbre de Lie anyonique  – espace vectoriel gradué U(1) L sur C équipé d'un opérateur bilinéaire
• Tube de flux  - Région de l'espace semblable à un tube avec un flux magnétique constant sur toute sa longueur
• Théorie de Ginzburg–Landau  – Théorie de la supraconductivité
• Représentation Husimi Q  – Outil de simulation de physique computationnelle
• Effet Josephson  – Phénomène physique quantique
• Phénomènes quantiques macroscopiques  – Processus macroscopiques montrant un comportement quantique
• Domaine magnétique  - Région d'un matériau magnétique dans laquelle l'aimantation a une direction uniforme
• Quantum de flux magnétique  – Unité quantifiée de flux magnétique
• Effet Meissner  - Expulsion d'un champ magnétique d'un supraconducteur lors de sa transition vers l'état supraconducteur
• Plekton  – Particule théorique
• Vortex quantique  - Circulation de flux quantifié d'une certaine quantité physique
• Matrice aléatoire  - variable aléatoire matrice à valeurs
• Défaut topologique  – Type de structure en mécanique quantique
• Calcul quantique topologique  - Calculateur quantique hypothétique tolérant aux pannes basé sur la matière condensée topologique

Les références

Lectures complémentaires

• Nayak, Chetan ; Simon, Steven H.; Stern, Ady ; Freedman, Michael ; Das Sarma, Sankar (2008). "Anyons non abéliens et calcul quantique topologique". Critiques de la physique moderne . 80 (3) : 1083. arXiv : 0707.1889 . Bibcode : 2008RvMP ... 80.1083N . doi : 10.1103/RevModPhys.80.1083 . S2CID  119628297 .
• Wen, Xiao-Gang (15 avril 2002). « Ordres quantiques et liquides de spin symétriques » (PDF) . Examen physique B . 65 (16) : 165113. arXiv : cond-mat/0107071 . Bibcode : 2002PhRvB..65p5113W . doi : 10.1103/PhysRevB.65.165113 . S2CID  119061254 . Archivé de l'original (PDF) le 9 juin 2011.
• Stern, Ady (2008). « Anyons et l'effet Hall quantique - Une revue pédagogique » (PDF) . Annales de Physique . 323 (1) : 204-249. arXiv : 0711.4697 . Bibcode : 2008AnPhy.323..204S . doi : 10.1016/j.aop.2007.10.008 . S2CID  15582782 .
• Najjar, Dana (2020). « Preuve « Jalon » pour Anyons, un troisième royaume de particules" . Magazine Quanta .