Localisation (algèbre commutative) - Localization (commutative algebra)

En algèbre commutative et en géométrie algébrique , la localisation est une manière formelle d'introduire les "dénominateurs" d'un anneau ou d'un module donné . C'est-à-dire qu'il introduit un nouvel anneau/module à partir d'un anneau/module existant R , de sorte qu'il se compose de fractions telles que le dénominateur s appartient à un sous-ensemble donné S de R . Si S est l'ensemble des éléments non nuls d'un domaine entier , alors la localisation est le corps des fractions : ce cas généralise la construction de l'anneau des nombres rationnels à partir de l'anneau des entiers . ${\displaystyle {\frac {m}{s}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La technique est devenue fondamentale, en particulier en géométrie algébrique , car elle fournit un lien naturel avec la théorie des faisceaux . En fait, le terme localisation trouve son origine dans la géométrie algébrique : si R est un anneau de fonctions définies sur un objet géométrique ( variété algébrique ) V , et que l'on veut étudier cette variété « localement » près d'un point p , alors on considère l'ensemble S de toutes les fonctions qui ne sont pas nulles en p et localise R par rapport à S . L'anneau résultant contient des informations sur le comportement de V près de p , et exclut les informations qui ne sont pas "locales", telles que les zéros des fonctions qui sont en dehors de V (cf l'exemple donné à l'anneau local ). ${\style d'affichage S^{-1}R}$

Localisation d'un anneau

La localisation d'un anneau commutatif R par un ensemble clos multiplicativement S est un nouvel anneau dont les éléments sont des fractions de numérateurs dans R et de dénominateurs dans S . ${\style d'affichage S^{-1}R}$

Si l'anneau est un domaine entier la construction généralise et suit de près celle du corps des fractions , et, en particulier, celle des nombres rationnels comme corps des fractions des entiers. Pour les anneaux qui ont des diviseurs nuls , la construction est similaire mais nécessite plus de soin.

Ensemble multiplicatif

La localisation se fait couramment par rapport à un ensemble multiplicative S (également appelé un ensemble multiplicative ou un système multiplicatif ) d'éléments d'un anneau R , qui est un sous - ensemble de R qui est fermé sous la multiplication, et contient 1 .

L'exigence selon laquelle S doit être un ensemble multiplicatif est naturelle, puisqu'elle implique que tous les dénominateurs introduits par la localisation appartiennent à S . La localisation par un ensemble U qui n'est pas multiplicativement clos peut aussi être définie, en prenant comme dénominateurs possibles tous les produits d'éléments de U . Cependant, la même localisation est obtenue en utilisant l'ensemble fermé multiplicativement S de tous les produits des éléments de U . Comme cela simplifie souvent le raisonnement et la notation, il est de pratique courante de ne considérer que les localisations par ensembles multiplicatifs.

Par exemple, la localisation par un seul élément s introduit des fractions de la forme mais aussi des produits de telles fractions, comme So, les dénominateurs appartiendront à l'ensemble multiplicatif des puissances de s . Ainsi, on parle généralement de "la localisation par la puissance d'un élément" plutôt que de "la localisation par un élément". ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$

La localisation d'un anneau R par un ensemble multiplicatif S est généralement notée mais d'autres notations sont couramment utilisées dans certains cas particuliers : si se compose des puissances d'un seul élément, est souvent noté si est le complément d'un idéal premier , alors est noté${\style d'affichage S^{-1}R,}$${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle R_{t};}$${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

Dans la suite de cet article, seules les localisations par un ensemble multiplicatif sont considérées.

Domaines intégrés

Lorsque l'anneau R est un domaine entier et que S ne contient pas 0 , l'anneau est un sous-anneau du corps des fractions de R . ${\style d'affichage S^{-1}R}$

Plus précisément, c'est le sous - anneau du corps des fractions de R , qui est constitué des fractions telles que C'est un sous-anneau puisque la somme et le produit de deux éléments de sont dans Cela résulte de la propriété de définition d'un ensemble multiplicatif, qui implique également que Dans ce cas, R est un sous-anneau de Il est montré ci-dessous que ce n'est plus vrai en général, généralement lorsque S contient des diviseurs nuls . ${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$${\displaystyle s\in S.}$${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle S^{-1}R.}$${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$${\displaystyle S^{-1}R.}$

Par exemple, les fractions décimales sont la localisation de l'anneau des nombres entiers par l'ensemble multiplicatif des puissances de dix. Dans ce cas, se compose des nombres rationnels qui peuvent être écrits comme où n est un entier et k est un entier non négatif. ${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$

Construction générale

Dans le cas général, un problème se pose avec les diviseurs nuls . Soit S un ensemble multiplicatif dans un anneau commutatif R . Si est l'image dans de et si comme = 0 avec alors on doit avoir et donc certains éléments non nuls de R doivent être nuls dans La construction qui suit est conçue pour prendre cela en compte. ${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle a\in R,}$${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle {\tfrac {0}{s}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {a}{1}},}$${\displaystyle S^{-1}R.}$

Étant donné R et S comme ci-dessus, on considère la relation d'équivalence sur qui est définie par s'il existe un tel que${\displaystyle R\fois S}$${\style d'affichage (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$${\displaystyle t\in S}$${\style d'affichage t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

La localisation est définie comme l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation. La classe de ( r , s ) est notée ou Donc, on a si et seulement s'il existe un tel que${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$ ${\displaystyle r/s,}$${\displaystyle s^{-1}r.}$${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$${\displaystyle t\in S}$${\style d'affichage t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

La localisation est un anneau commutatif avec addition ${\style d'affichage S^{-1}R}$

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+ r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

multiplication

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2} }{s_{1}s_{2}}},}$

identité additive et identité multiplicative${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

La fonction

${\displaystyle r\mapsto {\frac {r}{1}}}$

définit un homomorphisme d'anneaux à partir de dans laquelle est injective si et seulement si S ne contient pas de diviseurs de zéro. ${\style d'affichage R}$${\style d'affichage S^{-1}R,}$

Si alors est l' anneau zéro qui a 0 comme élément unique. ${\style d'affichage 0\dans S,}$${\style d'affichage S^{-1}R}$

Si S est l'ensemble de tous les éléments réguliers de R (c'est-à-dire les éléments qui ne sont pas des diviseurs nuls), on l'appelle l' anneau total des fractions de R . ${\style d'affichage S^{-1}R}$

Propriété universelle

L'homomorphisme d'anneau (défini ci-dessus) satisfait une propriété universelle qui est décrite ci-dessous. Ceci caractérise jusqu'à un isomorphisme. Ainsi toutes les propriétés des localisations peuvent être déduites de la propriété universelle, indépendamment de la manière dont elles ont été construites. De plus, de nombreuses propriétés importantes de la localisation sont facilement déduites des propriétés générales des propriétés universelles, tandis que leur démonstration directe peut être à la fois technique, simple et ennuyeuse. ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$${\style d'affichage S^{-1}R}$

La propriété universelle satisfaite par est la suivante : si est un homomorphisme d'anneau qui fait correspondre chaque élément de S à une unité (élément inversible) dans T , il existe un unique homomorphisme d'anneau tel que${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$${\displaystyle f\colon R\à T}$${\displaystyle g\colon S^{-1}R\à T}$${\displaystyle f=g\circ j.}$

En utilisant la théorie des catégories , cela peut être exprimé en disant que la localisation est un foncteur qui est adjoint à gauche à un foncteur oubli . Plus précisément, soit et soit les catégories dont les objets sont des paires d'un anneau commutatif et d'un sous- monoïde respectivement du demi - groupe multiplicatif ou du groupe des unités de l'anneau. Les morphismes de ces catégories sont les homomorphismes en anneau qui mappent le sous-monoïde du premier objet dans le sous-monoïde du second. Enfin, soit le foncteur d'oubli qui oublie que les éléments du deuxième élément de la paire sont inversibles. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$

Alors la factorisation de la propriété universelle définit une bijection ${\displaystyle f=g\circ j}$

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{ -1}R,j(S)),(T,U)).}$

Cela peut sembler une manière assez délicate d'exprimer la propriété universelle, mais c'est utile pour montrer facilement de nombreuses propriétés, en utilisant le fait que la composition de deux foncteurs adjoints à gauche est un foncteur adjoint à gauche.

Exemples

• Si est l'anneau des nombres entiers , et alors est le corps des nombres rationnels .${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Si R est un domaine intégral , alors est le corps des fractions de R . L'exemple précédent est un cas particulier de celui-ci.${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$${\style d'affichage S^{-1}R}$
• Si R est un anneau commutatif , et si S est le sous - ensemble de ses éléments qui ne sont pas des diviseurs de zéro , alors le cycle total de fractions de R . Dans ce cas, S est le plus grand ensemble multiplicatif tel que l'homomorphisme est injectif. L'exemple précédent est un cas particulier de celui-ci.${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• Si x est un élément d'un anneau commutatif R et peut alors être identifié (est canoniquement isomorphe à) (La preuve consiste à montrer que cet anneau satisfait à la propriété universelle ci-dessus.) Ce type de localisation joue un rôle fondamental dans la définition d'un schéma affine .${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$
• Si est un idéal premier d'un anneau commutatif R , le complément d'ensemble de dans R est un ensemble multiplicatif (par définition d'un idéal premier). L'anneau est un anneau local qui est généralement noté et appelé anneau local de R à Cette sorte de localisation est fondamentale en algèbre commutative , car de nombreuses propriétés d'un anneau commutatif peuvent être lues sur ses anneaux locaux. Une telle propriété est souvent appelée propriété locale . Par exemple, un anneau est régulier si et seulement si tous ses anneaux locaux sont réguliers.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$

Propriétés de l'anneau

La localisation est une construction riche qui possède de nombreuses propriétés utiles. Dans cette section, seules les propriétés relatives aux anneaux et à une seule localisation sont considérées. Les propriétés concernant les idéaux , les modules , ou plusieurs ensembles multiplicatifs sont considérées dans d'autres sections.

• ${\style d'affichage S^{-1}R=0}$ si et seulement si S contient 0 .
• L' homomorphisme d'anneau est injectif si et seulement si S ne contient pas de diviseurs nuls .${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• L'homomorphisme des anneaux est un épimorphisme dans la catégorie des anneaux , qui n'est pas surjectif en général.${\displaystyle R\to S^{-1}R}$
• L'anneau est un plat R -module (voir § localisation d'un module pour les détails).${\style d'affichage S^{-1}R}$
• Si est le complément d'un idéal premier , on note alors un anneau local ; c'est-à-dire qu'il n'a qu'un seul idéal maximal .${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\style d'affichage S^{-1}R,}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$

Propriétés à déplacer dans une autre section

• La localisation commute avec des formations de sommes finies, de produits, d'intersections et de radicaux ; par exemple, si dénotent le radical d'un idéal I dans R , alors${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

En particulier, R est réduit si et seulement si son anneau total de fractions est réduit.

• Soit R un domaine entier avec le corps de fractions K . Alors sa localisation à un idéal premier peut être considérée comme un sous-anneau de K . De plus,${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

où la première intersection est sur tous les idéaux premiers et la seconde sur les idéaux maximaux.

• Il existe une bijection entre l'ensemble des idéaux premiers de S ⁻¹ R et l'ensemble des idéaux premiers de R qui ne coupent pas S . Cette bijection est induite par l'homomorphisme donné R → S  ⁻¹ R .

Saturation d'un ensemble multiplicatif

Soit un ensemble multiplicatif. La saturation de est l'ensemble ${\displaystyle S\subseteq R}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$${\style d'affichage S}$

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

L'ensemble multiplicatif S est saturé s'il est égal à sa saturation, c'est-à-dire si , ou de manière équivalente, si implique que r et s sont dans S . ${\displaystyle {\hat {S}}=S}$${\displaystyle rs\in S}$

Si S n'est pas saturé, et est alors un inverse multiplicatif de l'image de r dans So, les images des éléments de sont toutes inversibles dans et la propriété universelle implique que et sont canoniquement isomorphes , c'est-à-dire qu'il existe un unique isomorphisme entre eux qui fixent les images des éléments de R . ${\displaystyle rs\in S,}$${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$${\displaystyle S^{-1}R.}$${\displaystyle {\hat {S}}}$${\style d'affichage S^{-1}R,}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$

Si S et T sont deux ensembles multiplicatifs, alors et sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même saturation, ou, de manière équivalente, si s appartient à l'un des ensembles multiplicatifs, alors il existe tel que st appartient à l'autre. ${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle T^{-1}R}$${\style d'affichage t\dans R}$

Les ensembles multiplicatifs saturés ne sont pas largement utilisés explicitement, car, pour vérifier qu'un ensemble est saturé, il faut connaître toutes les unités de l'anneau.

Terminologie expliquée par le contexte

Le terme localisation trouve son origine dans la tendance générale des mathématiques modernes à étudier localement les objets géométriques et topologiques , c'est-à-dire en fonction de leur comportement à proximité de chaque point. Des exemples de cette tendance sont les concepts fondamentaux de variétés , de germes et de gerbes . En géométrie algébrique , un ensemble algébrique affine peut être identifié à un anneau quotient d'un anneau polynomial de telle manière que les points de l'ensemble algébrique correspondent aux idéaux maximaux de l'anneau (c'est le Nullstellensatz de Hilbert ). Cette correspondance a été généralisée pour faire de l'ensemble des idéaux premiers d'un anneau commutatif un espace topologique équipé de la topologie de Zariski ; cet espace topologique est appelé le spectre de l'anneau .

Dans ce contexte, une localisation par un ensemble multiplicatif peut être considérée comme la restriction du spectre d'un anneau au sous-espace des idéaux premiers (considérés comme des points ) qui ne coupent pas l'ensemble multiplicatif.

Deux classes de localisations sont plus communément considérées :

• L'ensemble multiplicatif est le complément d'un idéal premier d'un anneau R . Dans ce cas, on parle de « localisation en », ou « localisation en un point ». L'anneau résultant, noté est un anneau local , et est l'analogue algébrique d'un anneau de germes .${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
• L'ensemble multiplicatif est constitué de toutes les puissances d'un élément t d'un anneau R . L'anneau résultant est communément noté et son spectre est l'ensemble ouvert de Zariski des idéaux premiers qui ne contiennent pas t . Ainsi, la localisation est l'analogue de la restriction d'un espace topologique à un voisinage d'un point (tout idéal premier a une base de voisinage constituée d'ouverts de Zariski de cette forme).${\style d'affichage R_{t},}$

En théorie des nombres et en topologie algébrique , lorsqu'on travaille sur l'anneau des entiers , on se réfère à une propriété relative à un entier n comme une propriété vraie en n ou loin de n , selon la localisation considérée. " Loin de n " signifie que la propriété est considérée après localisation par les puissances de n , et , si p est un nombre premier , " à p " signifie que la propriété est considérée après localisation à l' idéal premier . Cette terminologie peut s'expliquer par le fait que, si p est premier, les idéaux premiers non nuls de la localisation de sont soit l' ensemble singleton {p} soit son complément dans l'ensemble des nombres premiers. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Localisation et saturation des idéaux

Soit S un ensemble multiplicatif dans un anneau commutatif R , et l'homomorphisme d'anneau canonique. Étant donné un idéal I dans R , soit l'ensemble des fractions dont le numérateur est dans I . Il s'agit d'un idéal généré par j ( I ) , et appelé localisation de I par S . ${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}I}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\style d'affichage S^{-1}R,}$

La saturation de I par S est c'est un idéal de R , qui peut aussi être défini comme l'ensemble des éléments tels qu'il existe avec${\displaystyle j^{-1}(S^{-1}I);}$${\style d'affichage r\dans R}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle sr\in I.}$

De nombreuses propriétés des idéaux sont soit préservées par saturation et localisation, soit peuvent être caractérisées par des propriétés plus simples de localisation et de saturation. Dans ce qui suit, S est un ensemble multiplicatif dans un anneau I , et I et J sont des idéaux de R ; la saturation d'un idéal I par un ensemble multiplicatif S est notée ou, lorsque l'ensemble multiplicatif S est clair d'après le contexte,${\displaystyle \operatorname {sat} _{S}(I),}$${\displaystyle \operatorname {sat} (I).}$

• ${\displaystyle 1\in S^{-1}I\quad \iff \quad 1\in \operatorname {sat} (I)\quad \iff \quad S\cap I\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle I\subseteq J\quad \implies \quad S^{-1}I\subseteq S^{-1}J\quad {\text{and}}\quad \operatorname {sat} (I)\subseteq \operatorname {sam} (J)}$
  (ce n'est pas toujours vrai pour les inclusions strictes )
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cap J)=S^{-1}I\cap S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I\cap J)=\operatorname { sat} (I)\cap \operatorname {sat} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I+J)=S^{-1}I+S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I+J)=\operatorname {sat} ( I)+\nom_opérateur {sam} (J)}$
• ${\displaystyle S^{-1}(I\cdot J)=S^{-1}I\cdot S^{-1}J,\qquad \operatorname {sat} (I\cdot J)=\operatorname { sat} (I)\cdot \operatorname {sat} (J)}$
• Si est un idéal premier tel que then est un idéal premier et ; si l'intersection n'est pas vide, alors et${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset ,}$${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})}$${\displaystyle S^{-1}{\mathfrak {p}}=S^{-1}R}$${\displaystyle \operatorname {sat} ({\mathfrak {p}})=R.}$

Localisation d'un module

Soit R un anneau commutatif , S un ensemble multiplicatif dans R , et M un R - module . La localisation du module M par S , notée S ^-1 M , est un S ^-1 R -module qui est construit exactement comme la localisation de R , sauf que les numérateurs des fractions appartiennent à M . C'est-à-dire qu'en tant qu'ensemble, il se compose de classes d'équivalence , notées , de paires ( m , s ) , où et et deux paires ( m , s ) et ( n , t ) sont équivalentes s'il existe un élément u dans S tel cette ${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$${\displaystyle m\in M}$${\displaystyle s\in S,}$

${\displaystyle u(sn-tm)=0.}$

L'addition et la multiplication scalaire sont définies comme pour les fractions usuelles (dans la formule suivante, et ) : ${\style d'affichage r\dans R,}$ ${\style d'affichage s,t\in S,}$${\style d'affichage m,n\dans M}$

${\displaystyle {\frac {m}{s}}+{\frac {n}{t}}={\frac {tm+sn}{st}},}$

${\displaystyle {\frac {r}{s}}{\frac {m}{t}}={\frac {rm}{st}}.}$

De plus, S ⁻¹ M est aussi un R -module avec multiplication scalaire

${\displaystyle r\,{\frac {m}{s}}={\frac {r}{1}}{\frac {m}{s}}={\frac {rm}{s}}.}$

Il est simple de vérifier que ces opérations sont bien définies, c'est-à-dire qu'elles donnent le même résultat pour différents choix de représentants de fractions.

La localisation d'un module peut être définie de manière équivalente en utilisant des produits tensoriels :

${\displaystyle S^{-1}M=S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

La preuve d'équivalence (à un isomorphisme canonique près ) peut se faire en montrant que les deux définitions satisfont à la même propriété universelle.

Propriétés du module

Si M est un sous - module d'un R -module N , et S est un ensemble multiplicatif dans R , on a Cela implique que, si est un homomorphisme de module injectif , alors ${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$${\displaystyle f\colon M\à N}$

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N }$

est aussi un homomorphisme injectif.

Puisque le produit tensoriel est un foncteur exact à droite , cela implique que la localisation par S mappe des séquences exactes de R -modules à des séquences exactes de -modules. En d' autres termes, la localisation est un foncteur exact , et est un plat R -module . ${\style d'affichage S^{-1}R}$${\style d'affichage S^{-1}R}$

Cette planéité et le fait que la localisation résout une propriété universelle font que la localisation préserve de nombreuses propriétés des modules et des anneaux, et est compatible avec les solutions d'autres propriétés universelles. Par exemple, la carte naturelle

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

est un isomorphisme. Si est un module de présentation finie , la carte naturelle ${\style d'affichage M}$

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S ^{-1}N)}$

est aussi un isomorphisme.

Si un module M est de type fini sur R , on a

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

où dénote annihilator , c'est l'idéal des éléments de l'anneau qui mappent à zéro tous les éléments du module. En particulier, ${\displaystyle \operatorname {Ann} }$

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

c'est-à-dire si pour certains${\style d'affichage tM=0}$${\displaystyle t\in S.}$

Localisation aux nombres premiers

La définition d'un idéal premier implique immédiatement que le complément d'un idéal premier dans un anneau commutatif R est un ensemble multiplicatif. Dans ce cas, la localisation est communément notée L'anneau est un anneau local , c'est-à-dire l'anneau local de R à Cela signifie que c'est l'unique idéal maximal de l'anneau${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\style d'affichage S^{-1}R}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,R_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}\otimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

De telles localisations sont fondamentales pour l'algèbre commutative et la géométrie algébrique pour plusieurs raisons. La première est que les anneaux locaux sont souvent plus faciles à étudier que les anneaux commutatifs généraux, en particulier à cause du lemme de Nakayama . Cependant, la raison principale est que de nombreuses propriétés sont vraies pour un anneau si et seulement si elles sont vraies pour tous ses anneaux locaux. Par exemple, un anneau est régulier si et seulement si tous ses anneaux locaux sont des anneaux locaux réguliers .

Propriétés d'un anneau qui peut être caractérisée sur ses anneaux locaux sont appelés propriétés locales , et sont souvent la contrepartie algébrique des géométriques propriétés locales des variétés algébriques , qui sont des propriétés qui peuvent être étudiés par la restriction à un petit voisinage de chaque point de la variété . (Il existe un autre concept de propriété locale qui fait référence à la localisation vers des ensembles ouverts de Zariski ; voir § Localisation vers des ensembles ouverts de Zariski , ci-dessous.)

De nombreuses propriétés locales sont une conséquence du fait que le module

${\displaystyle \bigoplus _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$

est un module fidèlement plat lorsque la somme directe est prise sur tous les idéaux premiers (ou sur tous les idéaux maximaux de R ). Voir aussi Descente fidèlement plate .

Exemples de propriétés locales

Une propriété P d'un R -module M est une propriété locale si les conditions suivantes sont équivalentes :

• P est valable pour M .
• P est valable pour tout où est un idéal premier de R .${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• P est vrai pour tout où est un idéal maximal de R .${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Voici les propriétés locales :

• M est zéro.
• M est sans torsion (dans le cas où R est un domaine commutatif ).
• M est un module plat .
• M est un module inversible (dans le cas où R est un domaine commutatif, et M est un sous-module du corps des fractions de R ).
• ${\displaystyle f\colon M\à N}$est injectif (resp. surjectif), où N est un autre R -module.

En revanche, certaines propriétés ne sont pas des propriétés locales. Par exemple, un produit direct infini de champs n'est pas un domaine intégral ni un anneau noethérien , alors que tous ses anneaux locaux sont des champs, et donc des domaines intégraux noethériens.

Localisation vers les ensembles ouverts de Zariski

Cas non commutatif

La localisation des anneaux non commutatifs est plus difficile. Bien que la localisation existe pour chaque ensemble S d'unités potentielles, elle peut prendre une forme différente de celle décrite ci-dessus. Une condition qui garantit que la localisation se comporte bien est la condition Ore .

Un cas pour les anneaux non commutatifs où la localisation a un intérêt évident est celui des anneaux d'opérateurs différentiels. Elle a pour interprétation, par exemple, d'adjoindre un inverse formel D ^-1 pour un opérateur de différentiation D . Cela se fait dans de nombreux contextes dans les méthodes d' équations différentielles . Il existe maintenant une grande théorie mathématique à ce sujet, nommée microlocalisation , qui se connecte à de nombreuses autres branches. Le micro- tag est à voir avec les connexions avec la théorie de Fourier , en particulier.

Voir également

• Analyse locale
• Localisation d'une catégorie
• Localisation d'un espace topologique

Les références

Liens externes

• Localisation à partir de MathWorld .