-1 - −1

En mathématiques , -1 (également connu sous le nom de moins un ou moins un ) est l' inverse additif de 1 , c'est-à-dire le nombre qui, ajouté à 1, donne l' élément d' identité additif , 0. C'est l' entier négatif supérieur à moins deux ( −2) et inférieur à  0 .

Propriétés algébriques

Multiplier un nombre par −1 équivaut à changer le signe du nombre – c'est-à-dire que pour tout x nous avons (−1) ⋅  x = − x . Ceci peut être prouvé en utilisant la loi distributive et l'axiome que 1 est l' identité multiplicative :

x + (−1)  x = 1  x + (−1) ⋅  x = (1 + (−1)) ⋅  x = 0  x = 0 .

Ici, nous avons utilisé le fait que tout nombre x fois 0 est égal à 0, ce qui s'ensuit par annulation de l'équation

0  x = (0 + 0)  x = 0  x + 0  x .

0, 1, −1, i et − i dans le plan complexe ou cartésien

En d'autres termes,

x + (−1)  x = 0 ,

donc (−1) ⋅  x est l'inverse additif de x , c'est-à-dire (−1) ⋅  x = − x , comme il fallait le montrer.

Carré de -1

Le carré de -1, c'est-à-dire -1 multiplié par -1, est égal à 1. Par conséquent, un produit de deux nombres négatifs est positif.

Pour une preuve algébrique de ce résultat, commencez par l'équation

0 = -1 0 = -1 [1 + (-1)] .

La première égalité découle du résultat ci-dessus, et la seconde découle de la définition de -1 comme inverse additif de 1 : c'est précisément ce nombre qui, ajouté à 1 donne 0. Maintenant, en utilisant la loi de distribution, nous voyons que

0 = −1 [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) (−1) .

La troisième égalité découle du fait que 1 est une identité multiplicative. Mais maintenant ajouter 1 aux deux côtés de cette dernière équation implique

(−1) (−1) = 1 .

Les arguments ci-dessus tiennent dans n'importe quel anneau , un concept d' algèbre abstraite généralisant les entiers et les nombres réels .

Racines carrées de -1

Bien qu'il n'y ait pas de racines carrées réelles de -1, le nombre complexe i satisfait i ² = -1 , et en tant que tel peut être considéré comme une racine carrée de -1. Le seul autre nombre complexe dont le carré est −1 est − i car il existe exactement deux racines carrées de tout nombre complexe non nul, ce qui découle du théorème fondamental de l'algèbre . Dans l'algèbre des quaternions – où le théorème fondamental ne s'applique pas – qui contient les nombres complexes, l'équation x ² = −1 a une infinité de solutions .

Exponentation aux entiers négatifs

L'exponentiation d'un nombre réel non nul peut être étendue aux entiers négatifs . On fait la définition que x ⁻¹ = 1/X, ce qui signifie que nous définissons élever un nombre à la puissance -1 pour avoir le même effet que prendre sa réciproque . Cette définition est ensuite étendue aux entiers négatifs, en préservant la loi exponentielle x ^a x ^b = x ^{( a + b )} pour les nombres réels a et b .

L'exponentiation aux entiers négatifs peut être étendue aux éléments inversibles d'un anneau, en définissant x ^-1 comme l'inverse multiplicatif de x .

Un -1 qui apparaît comme un exposant d'une fonction ne signifie pas prendre l'inverse (point par point) de cette fonction, mais plutôt la fonction inverse de la fonction. Par exemple, sin ^-1 ( x ) est une notation pour la fonction arc sinus , et en général f ^-1 ( x ) désigne la fonction inverse de f ( x ) ,. Lorsqu'un sous-ensemble du codomaine est spécifié à l'intérieur de la fonction, il dénote à la place la pré-image de ce sous-ensemble sous la fonction.

Les usages

• Dans le développement de logiciels , −1 est une valeur initiale courante pour les entiers et est également utilisé pour montrer qu'une variable ne contient aucune information utile .
• −1 est en relation avec l'identité d' Euler puisque e ^iπ = −1 .

Voir également

• Ternaire équilibré
• Le théorème de Ménélas

Les références