Groupe algébrique linéaire - Linear algebraic group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe quotient Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidienne E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , un groupe algébrique linéaire est un sous - groupe du groupe des matrices inversibles (sous multiplication matricielle ) défini par des équations polynomiales . Un exemple est le groupe orthogonal , défini par la relation où est la transposée de . ${\style d'affichage n\ fois n}$ ${\style d'affichage M^{T}M=1}$${\displaystyle M^{T}}$${\style d'affichage M}$

De nombreux groupes de Lie peuvent être considérés comme des groupes algébriques linéaires sur le corps des nombres réels ou complexes . (Par exemple, tout groupe de Lie compact peut être considéré comme un groupe algébrique linéaire sur R (nécessairement R -anisotrope et réducteur), de même que de nombreux groupes non compacts tels que le groupe de Lie simple SL( n , R ) .) Les groupes de Lie simples ont été classés par Wilhelm Killing et Élie Cartan dans les années 1880 et 1890. A cette époque, aucune utilisation particulière n'était faite du fait que la structure des groupes pouvait être définie par des polynômes, c'est-à-dire qu'il s'agissait de groupes algébriques. Les fondateurs de la théorie des groupes algébriques sont Maurer , Chevalley et Kolchin  ( 1948 ). Dans les années 1950, Armand Borel a construit une grande partie de la théorie des groupes algébriques telle qu'elle existe aujourd'hui.

L'une des premières utilisations de la théorie a été de définir les groupes de Chevalley .

Exemples

Pour un entier positif , le groupe linéaire général sur un corps , composé de toutes les matrices inversibles , est un groupe algébrique linéaire sur . Il contient les sous-groupes ${\style d'affichage n}$ ${\style d'affichage GL(n)}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage n\ fois n}$${\style d'affichage k}$

${\displaystyle U\sous-ensemble B\sous-ensemble GL(n)}$

constitué de matrices de la forme

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end {array}}\right)}$et .${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{tableau}}\right)}$

Le groupe est un exemple de groupe algébrique linéaire unipotent , le groupe est un exemple de groupe algébrique résoluble appelé le sous - groupe de Borel de . C'est une conséquence du théorème de Lie-Kolchin que tout sous-groupe résoluble connexe de est conjugué en . Tout sous-groupe unipotent peut être conjugué en . ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage GL(n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage U}$

Un autre sous-groupe algébrique de est le groupe linéaire spécial de matrices avec le déterminant 1. ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$

Le groupe est appelé le groupe multiplicatif , généralement désigné par . Le groupe de points est le groupe multiplicatif des éléments non nuls du champ . Le groupe additif , dont les points sont isomorphes au groupe additif de , peut également être exprimé comme un groupe matriciel, par exemple comme le sous-groupe dans  : ${\displaystyle GL(1)}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$${\style d'affichage k}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }(k)}$${\displaystyle k^{*}}$${\style d'affichage k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage k}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Ces deux exemples de base de groupes algébriques linéaires commutatifs, les groupes multiplicatifs et additifs, se comportent très différemment en termes de leurs représentations linéaires (en tant que groupes algébriques). Toute représentation du groupe multiplicatif est une somme directe de représentations irréductibles . (Ses représentations irréductibles ont toutes la dimension 1, de la forme pour un entier .) En revanche, la seule représentation irréductible du groupe additif est la représentation triviale. Ainsi, chaque représentation de (telle que la représentation bidimensionnelle ci-dessus) est une extension itérée de représentations triviales, et non une somme directe (à moins que la représentation ne soit triviale). La théorie de la structure des groupes algébriques linéaires analyse tout groupe algébrique linéaire en fonction de ces deux groupes de base et de leurs généralisations, tores et groupes unipotents, comme discuté ci-dessous. ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$

Définitions

Pour un corps algébriquement clos k , une grande partie de la structure d'une variété algébrique X sur k est codée dans son ensemble X ( k ) de k - points rationnels , ce qui permet une définition élémentaire d'un groupe algébrique linéaire. Tout d'abord, définissez une fonction du groupe abstrait GL ( n , k ) à k pour être régulière si elle peut être écrite comme un polynôme dans les entrées d'une matrice n × n A et dans 1/det( A ), où det est le déterminant . Alors un groupe algébrique linéaire G sur un corps algébriquement clos k est un sous - groupe G ( k ) du groupe abstrait GL ( n , k ) pour un nombre naturel n tel que G ( k ) est défini par la disparition d' un ensemble de les fonctions.

Pour un corps arbitraire k , les variétés algébriques sur k sont définies comme un cas particulier de schémas sur k . Dans ce langage, un groupe algébrique linéaire G sur un corps k est un schéma de sous-groupes fermé lisse de GL ( n ) sur k pour un nombre naturel n . En particulier, G est défini par la disparition d'un ensemble de fonctions régulières sur GL ( n ) sur k , et ces fonctions doivent avoir la propriété que pour chaque k - algèbre commutative R , G ( R ) est un sous-groupe du groupe abstrait GL ( n , R ). (Ainsi un groupe algébrique G sur k n'est pas seulement le groupe abstrait G ( k ), mais plutôt toute la famille des groupes G ( R ) pour les k -algèbres commutatives R ; c'est la philosophie de décrire un schéma par son foncteur de points .)

Dans l'une ou l'autre langue, on a la notion d'un homomorphisme de groupes algébriques linéaires. Par exemple, lorsque k est algébriquement clos, un homomorphisme de G ⊂ GL ( m ) à H ⊂ GL ( n est un morphisme de groupes abstraits) G ( k ) → H ( k ) qui est définie par des fonctions périodiques sur G . Cela rend les groupes algébriques linéaires sur k dans une catégorie . En particulier, cela définit ce que cela signifie pour deux groupes algébriques linéaires d'être isomorphes .

Dans le langage des schémas, un groupe algébrique linéaire G sur un corps k est en particulier un schéma de groupe sur k , c'est-à-dire un schéma sur k avec un k -point 1 G ( k ) et des morphismes

${\displaystyle m\colon G\times _{k}G\à G,\;i\colon G\à G}$

sur k qui satisfont aux axiomes usuels pour les applications de multiplication et d'inverse dans un groupe (associativité, identité, inverses). Un groupe algébrique linéaire est aussi lisse et de type fini sur k , et il est affine (en tant que schéma). Inversement, tout schéma de groupe affine G de type fini sur un corps k a une représentation fidèle en GL ( n ) sur k pour un certain n . Un exemple est l'incorporation du groupe additif G _a dans GL (2), comme mentionné ci - dessus. En conséquence, on peut considérer les groupes algébriques linéaires soit comme des groupes matriciels, soit, de manière plus abstraite, comme des schémas de groupes affines lisses sur un corps. (Certains auteurs utilisent "groupe algébrique linéaire" pour désigner tout schéma de groupe affine de type fini sur un corps.)

Pour une compréhension complète des groupes algébriques linéaires, il faut considérer des schémas de groupes plus généraux (non lisses). Par exemple, soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p > 0. Alors l'homomorphisme f : G _m → G _m défini par x ↦ x ^p induit un isomorphisme de groupes abstraits k * → k *, mais f n'est pas un isomorphisme de groupes algébriques (car x ^{1/ p} n'est pas une fonction régulière). Dans le langage des schémas de groupe, il y a une raison plus claire pour laquelle f n'est pas un isomorphisme : f est surjectif, mais il a un noyau non trivial , à savoir le schéma de groupe _p des p ièmes racines de l'unité. Ce problème ne se pose pas dans la caractéristique zéro. En effet, tout schéma de groupe de type fini sur un corps k de caractéristique zéro est lisse sur k . Un schéma de groupe de type fini sur tout corps k est lisse sur k si et seulement s'il est géométriquement réduit , ce qui signifie que le changement de base est réduit , où est une clôture algébrique de k . ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

Puisqu'un schéma affine X est déterminé par son anneau O ( X ) de fonctions régulières, un schéma de groupes affine G sur un corps k est déterminé par l'anneau O ( G ) avec sa structure d' algèbre de Hopf (provenant de la multiplication et de l'inverse cartes sur G ). Cela donne une équivalence de catégories (flèches inversées) entre les schémas de groupes affines sur k et les algèbres de Hopf commutatives sur k . Par exemple, l'algèbre de Hopf correspondant au groupe multiplicatif G _m = GL (1) est l' anneau polynomial de Laurent k [ x , x ⁻¹ ], de comultiplication donnée par

${\displaystyle x\mapsto x\otimes x.}$

Notions de base

Pour un groupe algébrique linéaire G sur un corps k , la composante identité G ^o (la composante connexe contenant le point 1) est un sous-groupe normal d' indice fini . Il y a donc une extension de groupe

${\displaystyle 1\à G^{\circ }\à G\à F\à 1,}$

où F est un groupe algébrique fini. (Pour k algébriquement clos, F peut être identifié à un groupe fini abstrait.) Pour cette raison, l'étude des groupes algébriques se concentre principalement sur les groupes connectés.

Diverses notions de la théorie abstraite des groupes peuvent être étendues aux groupes algébriques linéaires. Il est simple de définir ce que signifie pour un groupe algébrique linéaire d'être commutatif , nilpotent ou soluble , par analogie avec les définitions de la théorie des groupes abstraite. Par exemple, un groupe algébrique linéaire est résoluble s'il a une série de composition de sous-groupes algébriques linéaires tels que les groupes quotients sont commutatifs. De plus, le normalisateur , le centre et le centralisateur d'un sous-groupe fermé H d'un groupe algébrique linéaire G sont naturellement considérés comme des schémas de sous-groupes fermés de G . S'ils sont lisses sur k , alors ce sont des groupes algébriques linéaires tels que définis ci-dessus.

On peut se demander dans quelle mesure les propriétés d'un groupe algébrique linéaire connexe G sur un corps k sont déterminées par le groupe abstrait G ( k ). Un résultat utile dans ce sens est que si le champ k est parfait (par exemple, de caractéristique zéro), ou si G est réductif (comme défini ci-dessous), alors G est unrationnel sur k . Donc, si de plus k est infini, le groupe G ( k ) est Zariski dense dans G . Par exemple, sous les hypothèses mentionnées, G est commutatif, nilpotent ou résoluble si et seulement si G ( k ) possède la propriété correspondante.

L'hypothèse de connexité ne peut être omise dans ces résultats. Par exemple, que G soit le groupe u ₃ ⊂ GL (1) des racines cubiques de l' unité sur les nombres rationnels Q . Alors G est un groupe algébrique linéaire sur Q pour lequel G ( Q ) = 1 n'est pas Zariski dense dans G , car est un groupe d'ordre 3. ${\displaystyle G({\overline {\mathbf {Q} }})}$

Sur un corps algébriquement clos, il existe un résultat plus fort concernant les groupes algébriques en tant que variétés algébriques : tout groupe algébrique linéaire connecté sur un corps algébriquement clos est une variété rationnelle .

L'algèbre de Lie d'un groupe algébrique

L' algèbre de Lie d'un groupe algébrique G peut être définie de plusieurs manières équivalentes : comme l' espace tangent T ₁ ( G ) à l'élément d'identité 1 G ( k ), ou comme l'espace des dérivations invariantes à gauche . Si k est algébriquement clos, une dérivation D : O ( G ) → O ( G ) sur k de l'anneau de coordonnées de G est invariante à gauche si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}$

pour tout x dans G ( k ), où λ _x : O ( G ) → O ( G ) est induit par multiplication à gauche par x . Pour un corps arbitraire k , l'invariance à gauche d'une dérivation est définie comme une égalité analogue de deux applications linéaires O ( G ) → O ( G ) O ( G ). La parenthèse de Lie de deux dérivations est définie par [ D ₁ , D ₂ ] = D ₁ D ₂ − D ₂ D ₁ .

Le passage de G à est donc un processus de différenciation . Pour un élément x ∈ G ( k ), le dérivé de 1 ∈ G ( k ) de la conjugaison carte G → G , g ↦ xgx ^-1 , est un automorphismes de , ce qui donne la représentation adjointe : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

Sur un corps de caractéristique zéro, un sous-groupe connexe H d'un groupe algébrique linéaire G est uniquement déterminé par son algèbre de Lie . Mais toute sous-algèbre de Lie de ne correspond pas à un sous-groupe algébrique de G , comme on le voit dans l'exemple du tore G = ( G _m ) ² sur C . En caractéristique positive, il peut y avoir de nombreux sous-groupes connectés différents d'un groupe G avec la même algèbre de Lie (encore une fois, le tore G = ( G _m ) ² fournit des exemples). Pour ces raisons, bien que l'algèbre de Lie d'un groupe algébrique soit importante, la théorie de la structure des groupes algébriques nécessite des outils plus globaux. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Éléments semi-simples et unipotents

Pour un corps algébriquement clos k , une matrice g dans GL ( n , k ) est dite semi - simple si elle est diagonalisable , et unipotente si la matrice g −1 est nilpotente . De manière équivalente, g est unipotent si toutes les valeurs propres de g sont égales à 1. La forme canonique de Jordan pour les matrices implique que chaque élément g de GL ( n , k ) peut être écrit uniquement comme un produit g = g _ss g _u tel que g _ss est semi-simple, g _u est unipotent et g _ss et g _u commutent l'un avec l'autre.

Pour tout corps k , un élément g de GL ( n , k ) est dit semi-simple s'il devient diagonalisable sur la clôture algébrique de k . Si le champ k est parfait, alors les parties semi-simple et unipotente de g se trouvent également dans GL ( n , k ). Enfin, pour tout groupe algébrique linéaire G ⊂ GL ( n ) sur un corps k , définir un k -point de G semi-simple ou unipotent s'il est semi-simple ou unipotent dans GL ( n , k ). (Ces propriétés sont en fait indépendantes du choix d'une représentation fidèle de G .) Si le corps k est parfait, alors les parties semi-simple et unipotente d'un k -point de G sont automatiquement dans G . C'est (la décomposition de Jordan ) : chaque élément g de G ( k ) peut être écrit uniquement comme un produit g = g _ss g _u dans G ( k ) tel que g _ss est semi-simple, g _u est unipotent, et g _ss et g _vous faites la navette les uns avec les autres. Cela réduit le problème de la description des classes de conjugaison dans G ( k ) aux cas semi-simples et unipotents.

Tori

Un tore sur un corps algébriquement clos k signifie un groupe isomorphe à ( G _m ) ⁿ , le produit de n copies du groupe multiplicatif sur k , pour un nombre naturel n . Pour un groupe algébrique linéaire G , un tore maximal dans G signifie un tore dans G qui n'est contenu dans aucun tore plus grand. Par exemple, le groupe des matrices diagonales dans GL ( n ) sur k est un tore maximal dans GL ( n ), isomorphe à ( G _m ) ⁿ . Un résultat de base de la théorie est que deux tores maximaux dans un groupe G sur un corps algébriquement clos k sont conjugués par un élément de G ( k ). Le rang de G signifie la dimension de tout tore maximal.

Pour un corps arbitraire k , un tore T sur k signifie un groupe algébrique linéaire sur k dont le changement de base à la clôture algébrique de k est isomorphe à ( G _m ) ⁿ sur , pour un certain nombre naturel n . Un tore scindé sur k signifie un groupe isomorphe à ( G _m ) ⁿ sur k pour un certain n . Un exemple de tore non scindé sur les nombres réels R est ${\displaystyle T_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

${\displaystyle T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},}$

avec une structure de groupe donnée par la formule de multiplication des nombres complexes x + iy . Ici T est un tore de dimension 1 sur R . Il n'est pas scindé, car son groupe de points réels T ( R ) est le groupe du cercle , qui n'est pas isomorphe même en tant que groupe abstrait à G _m ( R ) = R *.

Tout point d'un tore sur un corps k est semi-simple. Inversement, si G est un groupe algébrique linéaire connexe tel que tout élément de est semi-simple, alors G est un tore. ${\displaystyle G({\overline {k}})}$

Pour un groupe algébrique linéaire G sur un corps général k , on ne peut pas s'attendre à ce que tous les tores maximaux de G sur k soient conjugués par des éléments de G ( k ). Par exemple, le groupe multiplicatif G _m et le groupe circulaire T ci-dessus apparaissent comme des tores maximaux dans SL (2) sur R . Cependant, il est toujours vrai que deux tores maximaux divisés dans G sur k (c'est-à-dire des tores divisés dans G qui ne sont pas contenus dans un plus grand tore divisé ) sont conjugués par un élément de G ( k ). En conséquence, il est logique de définir le rang k ou le rang divisé d'un groupe G sur k comme la dimension de tout tore divisé maximal dans G sur k .

Pour tout tore maximal T dans un groupe algébrique linéaire G sur un corps k , Grothendieck a montré que est un tore maximal dans . Il s'ensuit que deux tores maximaux quelconques dans G sur un corps k ont la même dimension, bien qu'ils n'aient pas besoin d'être isomorphes. ${\displaystyle T_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Groupes unipotents

Soit U _n le groupe de matrices triangulaires supérieures dans GL ( n ) avec des entrées diagonales égales à 1, sur un corps k . Un schéma de groupe sur un corps k (par exemple, un groupe algébrique linéaire) est appelé unipotent s'il est isomorphe à un schéma de sous-groupe fermé de U _n pour un certain n . Il est simple de vérifier que le groupe U _n est nilpotent. En conséquence, chaque schéma de groupe unipotent est nilpotent.

Un groupe algébrique linéaire G sur un corps k est unipotent si et seulement si chaque élément de est unipotent. ${\displaystyle G({\overline {k}})}$

Le groupe B _n des matrices triangulaires supérieures dans GL ( n ) est un produit semi - direct

${\displaystyle B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},}$

où T _n est le tore diagonal ( G _m ) ⁿ . Plus généralement, tous reliés groupe algébrique linéaire résoluble est un produit semi - direct d'un tore avec un groupe unipotent, T ⋉ U .

Un groupe unipotent connecté lisse sur un champ parfait k (par exemple, un champ algébriquement clos) a une série de composition avec tous les groupes quotients isomorphes au groupe additif G _a .

Sous-groupes de Borel

Les sous - groupes de Borel sont importants pour la théorie de la structure des groupes algébriques linéaires. Pour un groupe algébrique linéaire G sur un corps algébriquement clos k , un sous-groupe de Borel de G signifie un sous-groupe résoluble connexe maximal. Par exemple, un sous-groupe de Borel de GL ( n ) est le sous-groupe B des matrices triangulaires supérieures (toutes les entrées en dessous de la diagonale sont nulles).

Un résultat de base de la théorie est que deux sous-groupes de Borel quelconques d'un groupe connecté G sur un corps algébriquement clos k sont conjugués par un élément de G ( k ). (Une preuve standard utilise le théorème du point fixe de Borel : pour un groupe résoluble connexe G agissant sur une variété propre X sur un corps algébriquement clos k , il existe un k -point dans X qui est fixé par l'action de G .) La la conjugaison des sous-groupes de Borel dans GL ( n ) revient au théorème de Lie-Kolchin : chaque sous-groupe résoluble connexe lisse de GL ( n ) est conjugué à un sous-groupe du sous-groupe triangulaire supérieur dans GL ( n ).

Pour un corps arbitraire k , un sous-groupe Borel B de G est défini comme un sous-groupe sur k tel que, sur une clôture algébrique de k , est un sous-groupe Borel de . Ainsi G peut avoir ou non un sous-groupe de Borel sur k . ${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle B_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Pour un schéma en sous-groupes fermé H de G , l' espace quotient G / H est un schéma quasi-projectif lisse sur k . Un sous-groupe lisse P d'un groupe connexe G est dit parabolique si G / P est projectif sur k (ou de manière équivalente, propre sur k ). Une propriété importante des sous-groupes de Borel B est que G / B est une variété projective, appelée variété drapeau de G . C'est-à-dire que les sous-groupes de Borel sont des sous-groupes paraboliques. Plus précisément, pour k algébriquement clos, les sous-groupes de Borel sont exactement les sous-groupes paraboliques minimaux de G ; à l'inverse, tout sous-groupe contenant un sous-groupe Borel est parabolique. On peut donc lister tous les sous-groupes paraboliques de G (jusqu'à la conjugaison par G ( k )) en listant tous les sous-groupes algébriques linéaires de G qui contiennent un sous-groupe de Borel fixe. Par exemple, les sous - groupes P ⊂ GL (3) sur k contenant le Borel B de matrices triangulaires supérieur sont B lui - même, l'ensemble du groupe GL (3), et les sous - groupes intermédiaires

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$ et ${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

Les variétés homogènes projectives correspondantes GL (3)/ P sont (respectivement) : la variété drapeau de toutes les chaînes de sous-espaces linéaires

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}}$

avec V _i de dimension i ; un point; l' espace projectif P ² des droites (sous- espaces linéaires à 1 dimension ) dans A ³ ; et l'espace projectif dual P ² des plans de A ³ .

Groupes semi-simples et réducteurs

Un groupe algébrique linéaire connexe G sur un corps algébriquement clos est dit semi - simple si chaque sous-groupe normal résoluble connexe lisse de G est trivial. Plus généralement, un groupe algébrique linéaire connecté G sur un corps algébriquement clos est dit réductif si tout sous-groupe normal unipotent connecté lisse de G est trivial. (Certains auteurs n'exigent pas que les groupes réducteurs soient connectés.) Un groupe semi-simple est réducteur. Un groupe G sur un corps arbitraire k est dit semi-simple ou réducteur s'il est semi-simple ou réducteur. Par exemple, le groupe SL ( n ) de n × n matrices de déterminant 1 sur tout corps k est semi-simple, alors qu'un tore non trivial est réductif mais pas semi-simple. De même, GL ( n ) est réductrice mais pas semi-simple (parce que son centre G _m est un sous-groupe normal résoluble connexe lisse non trivial). ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Chaque groupe de Lie connexe compact a une complexification , qui est un groupe algébrique réducteur complexe. En fait, cette construction donne une correspondance bijective entre les groupes de Lie connexes compacts et les groupes réducteurs complexes, à isomorphisme près.

Un groupe algébrique linéaire G sur un corps k est appelé simple (ou k - simple ) s'il est semi-simple, non trivial, et que tout sous-groupe normal connecté de G sur k est trivial ou égal à G . (Certains auteurs appellent cette propriété "presque simple".) Cela diffère légèrement de la terminologie pour les groupes abstraits, en ce qu'un groupe algébrique simple peut avoir un centre non trivial (bien que le centre doit être fini). Par exemple, pour tout entier n au moins 2 et tout corps k , le groupe SL ( n ) sur k est simple, et son centre est le schéma de groupe _n des racines n ièmes de l'unité.

Tout groupe algébrique linéaire connexe G sur un corps parfait k est (de façon unique) une extension d'un groupe réducteur R par un groupe unipotent connexe lisse U , appelé le radical unipotent de G :

${\style d'affichage 1\à U\à G\à R\à 1.}$

Si k a pour caractéristique zéro, alors on a la décomposition de Levi plus précise : tout groupe algébrique linéaire connecté G sur k est un produit semi-direct d'un groupe réducteur par un groupe unipotent. ${\displaystyle R\ltimes U}$

Classification des groupes réducteurs

Les groupes réductifs comprennent les groupes algébriques linéaires les plus importants en pratique, tels que les groupes classiques : GL ( n ), SL ( n ), les groupes orthogonaux SO ( n ) et les groupes symplectiques Sp (2 n ). En revanche, la définition des groupes réducteurs est assez "négative", et il n'est pas évident que l'on puisse s'attendre à en dire beaucoup à leur sujet. Remarquablement, Claude Chevalley a donné une classification complète des groupes réductifs sur un corps algébriquement clos : ils sont déterminés par des données de racine . En particulier, les groupes simples sur un corps algébriquement clos k sont classés (aux quotients près par des schémas de sous-groupes centraux finis) par leurs diagrammes de Dynkin . Il est frappant de constater que cette classification est indépendante de la caractéristique de k . Par exemple, les groupes de Lie exceptionnels G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ et E ₈ peuvent être définis dans n'importe quelle caractéristique (et même en tant que schémas de groupe sur Z ). La classification des groupes simples finis dit que la plupart des groupes simples finis se présentent comme le groupe de k -points d'un groupe algébrique simple sur un corps fini k , ou comme des variantes mineures de cette construction.

Tout groupe réducteur sur un corps est le quotient par un schéma de sous-groupes central fini du produit d'un tore et de quelques groupes simples. Par exemple,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Pour un corps arbitraire k , un groupe réducteur G est dit scindé s'il contient un tore maximal scindé sur k (c'est-à-dire un tore scindé dans G qui reste maximal sur une clôture algébrique de k ). Par exemple, GL ( n ) est un groupe réducteur scindé sur tout corps k . Chevalley a montré que la classification des groupes réducteurs fractionnés est la même dans n'importe quel domaine. En revanche, la classification des groupes réducteurs arbitraires peut être difficile, selon le champ de base. Par exemple, toute forme quadratique non dégénérée q sur un corps k détermine un groupe réducteur SO ( q ), et toute algèbre centrale simple A sur k détermine un groupe réducteur SL ₁ ( A ). En conséquence, le problème de la classification des groupes réducteurs sur k inclut essentiellement le problème de la classification de toutes les formes quadratiques sur k ou de toutes les algèbres centrales simples sur k . Ces problèmes sont faciles pour k algébriquement clos, et ils sont compris pour d'autres champs tels que les champs de nombres , mais pour les champs arbitraires, il y a beaucoup de questions ouvertes.

Applications

Théorie des représentations

Une des raisons de l'importance des groupes réducteurs vient de la théorie des représentations. Toute représentation irréductible d'un groupe unipotent est triviale. Plus généralement, pour tout groupe algébrique linéaire G écrit comme une extension

${\displaystyle 1\à U\à G\à R\à 1}$

avec U unipotent et R réductif, toute représentation irréductible des facteurs G par R . Ceci focalise l'attention sur la théorie de la représentation des groupes réducteurs. (Pour être clair, les représentations considérées ici sont des représentations de G en tant que groupe algébrique . Ainsi, pour un groupe G sur un corps k , les représentations sont sur k -espaces vectoriels, et l'action de G est donnée par des fonctions régulières. Il est un problème important mais différent pour classer les représentations continues du groupe G ( R ) pour un groupe réducteur réel G , ou des problèmes similaires sur d'autres domaines.)

Chevalley a montré que les représentations irréductibles d'un groupe réducteur scindé sur un corps k sont de dimension finie, et elles sont indexées par des poids dominants . C'est la même chose que ce qui se passe dans la théorie de la représentation des groupes de Lie compacts connectés, ou la théorie de la représentation en dimension finie des algèbres de Lie semi-simples complexes . Pour k de caractéristique zéro, toutes ces théories sont essentiellement équivalentes. En particulier, toute représentation d'un groupe réducteur G sur un corps de caractéristique zéro est une somme directe de représentations irréductibles, et si G est scindé, les caractères des représentations irréductibles sont donnés par la formule des caractères de Weyl . Le théorème de Borel-Weil donne une construction géométrique des représentations irréductibles d'un groupe réductif G en zéro caractéristique, comme espaces de sections de fibrés de droites sur la variété drapeau G / B .

La théorie de la représentation des groupes réducteurs (autres que les tores) sur un corps de caractéristique positive p est moins bien comprise. Dans cette situation, une représentation n'a pas besoin d'être une somme directe de représentations irréductibles. Et bien que les représentations irréductibles soient indexées par des poids dominants, les dimensions et les caractères des représentations irréductibles ne sont connus que dans certains cas. Andersen, Jantzen et Soergel ( 1994 ) ont déterminé ces caractères (prouvant la conjecture de Lusztig ) lorsque la caractéristique p est suffisamment grande par rapport au nombre de Coxeter du groupe. Pour les petits nombres premiers p , il n'y a même pas de conjecture précise.

Actions de groupe et théorie des invariants géométriques

Une action d'un groupe algébrique linéaire G sur une variété (ou schéma) X sur un corps k est un morphisme

${\displaystyle G\times _{k}X\à X}$

qui satisfait les axiomes d'une action de groupe . Comme dans d'autres types de théorie des groupes, il est important d'étudier les actions de groupe, car les groupes apparaissent naturellement sous forme de symétries d'objets géométriques.

Une partie de la théorie des actions de groupe est la théorie des invariants géométriques , qui vise à construire une variété quotient X / G , décrivant l'ensemble des orbites d'un groupe algébrique linéaire G sur X comme une variété algébrique. Diverses complications surviennent. Par exemple, si X est une variété affine, alors on peut essayer de construire X / G comme Spec de l' anneau d'invariants O ( X ) ^G . Cependant, Masayoshi Nagata a montré que l'anneau d'invariants n'a pas besoin d'être généré de manière finie comme une k -algèbre (et donc Spec de l'anneau est un schéma mais pas une variété), une réponse négative au 14ème problème de Hilbert . Dans le sens positif, l'anneau des invariants est de type fini si G est réductif, par le théorème de Haboush , prouvé en caractéristique zéro par Hilbert et Nagata.

La théorie des invariants géométriques implique d'autres subtilités lorsqu'un groupe réducteur G agit sur une variété projective X . En particulier, la théorie définit des sous-ensembles ouverts de points "stables" et "semistables" dans X , avec le morphisme quotient défini uniquement sur l'ensemble des points semistables.

Notions associées

Les groupes algébriques linéaires admettent des variantes dans plusieurs directions. Abandonnant l'existence de l'application inverse , on obtient la notion de monoïde algébrique linéaire . ${\displaystyle i\colon G\à G}$

Groupes de mensonges

Pour un groupe algébrique linéaire G sur les nombres réels R , le groupe de points réels G ( R ) est un groupe de Lie , essentiellement parce que les polynômes réels, qui décrivent la multiplication sur G , sont des fonctions lisses . De même, pour un groupe algébrique linéaire G sur C , G ( C ) est un groupe de Lie complexe . Une grande partie de la théorie des groupes algébriques a été développée par analogie avec les groupes de Lie.

Il y a plusieurs raisons pour lesquelles un groupe de Lie peut ne pas avoir la structure d'un groupe algébrique linéaire sur R .

• Un groupe de Lie avec un groupe infini de composants G/G ^o ne peut pas être réalisé comme un groupe algébrique linéaire.
• Un groupe algébrique G sur R peut être connecté en tant que groupe algébrique alors que le groupe de Lie G ( R ) n'est pas connecté, et de même pour les groupes simplement connectés . Par exemple, le groupe algébrique SL (2) est simplement connecté sur n'importe quel corps, alors que le groupe de Lie SL (2, R ) a un groupe fondamental isomorphe aux entiers Z . La double couverture H de SL (2, R ), connue sous le nom de groupe métaplectique , est un groupe de Lie qui ne peut pas être considéré comme un groupe algébrique linéaire sur R . Plus fortement, H n'a pas de représentation fidèle en dimension finie.
• Anatoly Maltsev a montré que chaque groupe de Lie nilpotent simplement connecté peut être considéré comme un groupe algébrique unipotent G sur R d'une manière unique. (En tant que variété, G est isomorphe à un espace affine d'une certaine dimension sur R .) En revanche, il existe des groupes de Lie résolubles simplement connectés qui ne peuvent pas être considérés comme de vrais groupes algébriques. Par exemple, la couverture universelle H du produit semi-direct S ¹ ⋉ R ² a un centre isomorphe à Z , qui n'est pas un groupe algébrique linéaire, et donc H ne peut pas être considéré comme un groupe algébrique linéaire sur R .

Variétés abéliennes

Les groupes algébriques qui ne sont pas affines se comportent très différemment. En particulier, un schéma de groupe connexe lisse qui est une variété projective sur un corps est appelé variété abélienne . Contrairement aux groupes algébriques linéaires, toute variété abélienne est commutative. Néanmoins, les variétés abéliennes ont une théorie riche. Même le cas des courbes elliptiques (variétés abéliennes de dimension 1) est au cœur de la théorie des nombres , avec des applications dont la preuve du dernier théorème de Fermat .

Catégories tannakiennes

Les représentations de dimension finie d'un groupe algébrique G , avec le produit tensoriel des représentations, forment une catégorie tannakienne Rep _G . En fait, les catégories tannakiennes avec un « foncteur fibre » sur un champ sont équivalentes à des schémas de groupes affines. (Chaque schéma de groupes affines sur un corps k est pro-algébrique dans le sens où il s'agit d'une limite inverse des schémas de groupes affines de type fini sur k .) Par exemple, le groupe de Mumford-Tate et le groupe motivique de Galois sont construits en utilisant ce formalisme. Certaines propriétés d'un groupe (pro-)algébrique G peuvent être lues à partir de sa catégorie de représentations. Par exemple, sur un corps de caractéristique zéro, Rep _G est une catégorie semi - simple si et seulement si la composante identité de G est pro-réductive.

Voir également

• Les groupes de type Lie sont les groupes simples finis construits à partir de groupes algébriques simples sur des corps finis.
• théorème de Lang
• Variété drapeau généralisée , décomposition de Bruhat , paire BN , groupe de Weyl , sous - groupe de Cartan , groupe de type adjoint , induction parabolique
• Forme réelle (théorie de Lie) , Diagramme de Satake
• Groupe algébrique adélique , conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa
• Classification Langlands , programme de Langlands , programme de Langlands géométrique
• Torseur , nonabelian cohomology , groupe spécial , invariant cohomologique , dimension essentielle , conjecture Kneser-Tits , la conjecture de Serre II
• Groupe pseudo-réducteur
• Théorie différentielle de Galois
• Distribution sur un groupe algébrique linéaire

Remarques

Les références

• Andersen, HH ; Jantzen, JC ; Soergel, W. (1994), Représentations des groupes quantiques à une p ième racine de l'unité et des groupes semi-simples en caractéristique p : Indépendance de p, Astérisque, 220 , Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179 , MR  1272539
• Borel, Armand (1991) [1969], Groupes algébriques linéaires (2e éd.), New York : Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR  1102012
• Bröcker, Théodore ; tom Dieck, Tammo (1985), Représentations des groupes de mensonges compacts , Springer Nature , ISBN 0-387-13678-9, MR  0781344
• Conrad, Brian (2014), "Schémas de groupes réducteurs" (PDF) , Autour des schémas en groupes , 1 , Paris: Société Mathématique de France , pp. 93-444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR  3309122
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• De Medts, Tom (2019), Groupes algébriques linéaires (notes de cours) (PDF) , Université de Gand
• Humphreys, James E. (1975), Groupes algébriques linéaires , Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR  0396773
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Liens externes

• "Groupe algébrique linéaire" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]