Groupe simple - Simple group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe quotient Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidien E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , un groupe simple est un groupe non trivial dont les seuls sous-groupes normaux sont le groupe trivial et le groupe lui-même. Un groupe qui n'est pas simple peut être divisé en deux groupes plus petits, à savoir un sous-groupe normal non trivial et le groupe quotient correspondant . Ce processus peut être répété, et pour les groupes finis, on arrive finalement à des groupes simples déterminés de manière unique, par le théorème de Jordan-Hölder .

La classification complète des groupes simples finis , achevée en 2004, est une étape majeure dans l'histoire des mathématiques.

Exemples

Groupes simples finis

Le groupe cyclique G = ( Z /3 Z , +) = Z ₃ des classes de congruence modulo 3 (voir arithmétique modulaire ) est simple. Si H est un sous-groupe de ce groupe, son ordre (le nombre d'éléments) doit être un diviseur de l'ordre de G qui est 3. Puisque 3 est premier, ses seuls diviseurs sont 1 et 3, donc soit H est G , soit H est le groupe trivial. Par contre, le groupe G = ( Z /12 Z , +) = Z ₁₂ n'est pas simple. L'ensemble H des classes de congruence de 0, 4 et 8 modulo 12 est un sous-groupe d'ordre 3, et c'est un sous-groupe normal puisque tout sous-groupe d'un groupe abélien est normal. De même, le groupe additif des entiers ( Z , +) n'est pas simple ; l'ensemble des entiers pairs est un sous-groupe normal propre non trivial.

On peut utiliser le même genre de raisonnement pour tout groupe abélien, pour en déduire que les seuls groupes abéliens simples sont les groupes cycliques d' ordre premier . La classification des groupes simples non abéliens est beaucoup moins triviale. Le plus petit groupe simple non abélien est le groupe alterné A ₅ d'ordre 60, et tout groupe simple d'ordre 60 est isomorphe à A ₅ . Le deuxième plus petit groupe simple non abélien est le groupe linéaire spécial projectif PSL(2,7) d'ordre 168, et chaque groupe simple d'ordre 168 est isomorphe à PSL(2,7) .

Groupes simples infinis

Le groupe alternatif infini, à savoir le groupe de permutations même pris en charge des entiers finiment, A _∞ est simple. Ce groupe peut être écrit comme l'union croissante des groupes simples finis A _n par rapport aux plongements standards A _n → A _{n +1} . Une autre famille d'exemples de groupes simples infinis est donnée par PSL _n ( F ), où F est un corps infini et n 2 .

Il est beaucoup plus difficile de construire des groupes simples infinis de type fini . Le premier résultat d'existence est non explicite ; elle est due à Graham Higman et se compose de simples quotients du groupe de Higman . Des exemples explicites, qui s'avèrent être présentés de manière finie, incluent les groupes de Thompson infinis T et V . Des groupes simples infinis sans torsion à présentation finie ont été construits par Burger et Mozes.

Classification

Il n'y a pas encore de classification connue pour les groupes simples généraux (infinis), et aucune classification de ce type n'est attendue.

Groupes simples finis

Les groupes simples finis sont importants car, dans un certain sens, ils sont les « blocs de construction de base » de tous les groupes finis, un peu de la même manière que les nombres premiers sont les blocs de construction de base des nombres entiers . Ceci est exprimé par le théorème de Jordan-Hölder qui stipule que deux séries de composition d'un groupe donné ont la même longueur et les mêmes facteurs, à permutation et isomorphisme près . Dans un énorme effort de collaboration, la classification des groupes simples finis a été déclarée accomplie en 1983 par Daniel Gorenstein , bien que certains problèmes aient fait surface (en particulier dans la classification des groupes quasi - minces , qui ont été branchés en 2004).

En bref, les groupes simples finis sont classés comme appartenant à l'une des 18 familles, ou à l'une des 26 exceptions :

• Z _p – groupe cyclique d'ordre premier
• Un _n – groupe alterné pour n 5

  Les groupes alternés peuvent être considérés comme des groupes de type de Lie sur le corps à un élément , qui unit cette famille au suivant, et ainsi toutes les familles de groupes simples finis non abéliens peuvent être considérées comme de type de Lie.

• Une des 16 familles de groupes de type Lie

  Le groupe Tits est généralement considéré de cette forme, bien qu'à proprement parler il ne soit pas de type Lie, mais plutôt d'indice 2 dans un groupe de type Lie.

• L'une des 26 exceptions, les groupes sporadiques , dont 20 sont des sous-groupes ou des sous - quotients du groupe des monstres et sont appelés « Happy Family », tandis que les 6 autres sont appelés parias .

Structure des groupes simples finis

Le célèbre théorème de Feit et Thompson affirme que tout groupe d'ordre impair est résoluble . Par conséquent, tout groupe simple fini a un ordre pair à moins qu'il ne soit cyclique d'ordre premier.

La conjecture de Schreier affirme que le groupe des automorphismes externes de chaque groupe simple fini est résoluble. Cela peut être prouvé en utilisant le théorème de classification.

Histoire des groupes simples finis

Il y a deux fils dans l'histoire des groupes simples finis – la découverte et la construction de groupes et de familles simples spécifiques, qui se sont déroulées depuis les travaux de Galois dans les années 1820 jusqu'à la construction du Monstre en 1981 ; et la preuve que cette liste était complète, qui a commencé au 19ème siècle, a eu lieu le plus significativement de 1955 à 1983 (lorsque la victoire a été initialement déclarée), mais il n'a été généralement convenu d'être terminé qu'en 2004. À partir de 2010, les travaux sur l'amélioration des preuves et la compréhension continue ; voir ( Silvestri 1979 ) pour l'histoire des groupes simples au XIXe siècle.

Construction

Les groupes simples ont été étudiés au moins depuis le début de la théorie de Galois , où Évariste Galois s'est rendu compte que le fait que les groupes alternés sur cinq points ou plus soient simples (et donc non résolubles), ce qu'il a prouvé en 1831, était la raison pour laquelle on ne pouvait pas résoudre la quintique en radicaux. Galois a également construit le groupe linéaire spécial projectif d'un plan sur un corps fini premier, PSL(2, p ) , et a remarqué qu'ils étaient simples pour p non 2 ou 3. Ceci est contenu dans sa dernière lettre à Chevalier, et sont les prochain exemple de groupes simples finis.

Les découvertes suivantes ont été faites par Camille Jordan en 1870. Jordan avait trouvé 4 familles de groupes matriciels simples sur des corps finis d'ordre premier, qui sont maintenant connus sous le nom de groupes classiques .

À peu près à la même époque, il a été démontré qu'une famille de cinq groupes, appelée les groupes de Mathieu et décrite pour la première fois par Émile Léonard Mathieu en 1861 et 1873, était également simple. Étant donné que ces cinq groupes ont été construits par des méthodes qui n'offraient pas une infinité de possibilités, ils ont été appelés « sporadiques » par William Burnside dans son manuel de 1897.

Plus tard, les résultats de Jordan sur les groupes classiques ont été généralisés à des corps finis arbitraires par Leonard Dickson , suivant la classification des algèbres de Lie simples complexes par Wilhelm Killing . Dickson a également construit des groupes d'exception de type G ₂ et E ₆ , mais pas de types F ₄ , E ₇ ou E ₈ ( Wilson 2009 , p. 2). Dans les années 1950, le travail sur les groupes de type Lie se poursuit, Claude Chevalley donnant une construction uniforme des groupes classiques et des groupes de type exceptionnel dans un article de 1955. Cela omettait certains groupes connus (les groupes unitaires projectifs), qui ont été obtenus en « tordant » la construction de Chevalley. Les autres groupes de type Lie ont été produits par Steinberg, Tits et Herzig (qui ont produit ³ D ₄ ( q ) et ² E ₆ ( q )) et par Suzuki et Ree (les groupes Suzuki-Ree ).

Ces groupes (les groupes de type Lie, ainsi que les groupes cycliques, les groupes alternés et les cinq groupes exceptionnels de Mathieu) étaient considérés comme une liste complète, mais après une accalmie de près d'un siècle depuis les travaux de Mathieu, en 1964, le le premier groupe de Janko a été découvert, et les 20 groupes sporadiques restants ont été découverts ou conjecturés en 1965-1975, culminant en 1981, lorsque Robert Griess a annoncé qu'il avait construit le « groupe Monster » de Bernd Fischer . Le monstre est le plus grand groupe simple sporadique ayant un ordre de 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000. Le Monstre a une représentation fidèle à 196 883 dimensions dans l' algèbre de Griess à 196 884 dimensions , ce qui signifie que chaque élément du Monstre peut être exprimé sous la forme d'une matrice de 196 883 par 196 883.

Classification

La classification complète est généralement acceptée comme commençant par le théorème de Feit-Thompson de 1962-63, qui dure en grande partie jusqu'en 1983, mais ne se termine qu'en 2004.

Peu de temps après la construction du Monstre en 1981, une preuve, totalisant plus de 10 000 pages, fut fournie que les théoriciens des groupes avaient réussi à énumérer tous les groupes simples finis , avec la victoire déclarée en 1983 par Daniel Gorenstein. C'était prématuré - certaines lacunes ont été découvertes plus tard, notamment dans la classification des groupes quasi - minces , qui ont finalement été remplacées en 2004 par une classification de 1 300 pages des groupes quasi-minces, qui est maintenant généralement acceptée comme complète.

Tests de non-simplicité

Test de Sylow : Soit n un entier positif non premier, et soit p un diviseur premier de n . Si 1 est le seul diviseur de n congru à 1 modulo p , alors il n'existe pas de groupe simple d'ordre n .

Preuve : Si n est une puissance première, alors un groupe d'ordre n a un centre non trivial et, par conséquent, n'est pas simple. Si n n'est pas une puissance première, alors tout sous-groupe de Sylow est propre et, par le troisième théorème de Sylow , nous savons que le nombre de p -sous-groupes de Sylow d'un groupe d'ordre n est égal à 1 modulo p et divise n . Puisque 1 est le seul de ces nombres, le sous-groupe Sylow p est unique et donc normal. Puisqu'il s'agit d'un sous-groupe propre et non identitaire, le groupe n'est pas simple.

Burnside : Un groupe simple fini non abélien a un ordre divisible par au moins trois nombres premiers distincts. Cela découle du théorème de Burnside .

Voir également

• Groupe presque simple
• Groupe caractéristiquement simple
• Groupe quasi-simple
• Groupe semi-simple
• Liste des groupes simples finis

Les références

Remarques

Manuels

• Knapp, Anthony W. (2006), Algèbre de base , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
• Rotman, Joseph J. (1995), Une introduction à la théorie des groupes , Textes de troisième cycle en mathématiques, 148 , Springer, ISBN 978-0-387-94285-8
• Smith, Geoff ; Tabachnikova, Olga (2000), Sujets en théorie des groupes , Springer série de mathématiques de premier cycle (2 éd.), Springer, ISBN 978-1-85233-235-8

Papiers