p -groupe - p-group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe de quotients Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidien E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , en particulier en théorie des groupes , étant donné un nombre premier p , un p- groupe est un groupe dans lequel l' ordre de chaque élément est une puissance de p . C'est-à-dire que pour chaque élément g d'un p -groupe G , il existe un entier non négatif n tel que le produit de p ⁿ copies de g , et non moins, est égal à l' élément d'identité . Les ordres des différents éléments peuvent être des puissances différentes de p .

Les p- groupes abéliens sont également appelés p- primaires ou simplement primaires .

Un groupe fini est un p -groupe si et seulement si son ordre (le nombre de ses éléments) est une puissance de p . Étant donné un groupe fini G , les théorèmes de Sylow garantissent l'existence d'un sous - groupe de G d'ordre p ⁿ pour toute puissance première p ⁿ qui divise l'ordre de G .

Le reste de cet article traite des p -groupes finis . Pour un exemple d'un p- groupe abélien infini , voir le groupe de Prüfer , et pour un exemple d'un p- groupe simple infini , voir le groupe de monstres de Tarski .

Propriétés

Tout p- groupe est périodique puisque par définition tout élément est d' ordre fini .

Si p est premier et G est un groupe d'ordre p ^k , alors G a un sous - groupe d'ordre p ^m pour chaque 1 ≤ m ≤ k . Ceci suit par induction, en utilisant le théorème de Cauchy et le théorème de correspondance pour les groupes. Une esquisse de preuve est la suivante : parce que le centre Z de G est non trivial (voir ci-dessous), selon le théorème de Cauchy, Z a un sous-groupe H d'ordre p . Étant central dans G , H est nécessairement normal dans G . Nous pouvons maintenant appliquer l'hypothèse inductive à G/H , et le résultat découle du théorème des correspondances.

Centre non trivial

L'un des premiers résultats standard utilisant l' équation de classe est que le centre d'un groupe p fini non trivial ne peut pas être le sous-groupe trivial.

Cela constitue la base de nombreuses méthodes inductives dans les groupes p .

Par exemple, le normalisateur N d'un sous-groupe propre H d'un p- groupe fini G contient proprement H , car pour tout contre-exemple avec H = N , le centre Z est contenu dans N , et donc aussi dans H , mais alors il y a un petit exemple H / Z dont le normalisateur dans G / Z est N / Z = H / Z , créant une descente infinie. En corollaire, tout p -groupe fini est nilpotent .

Dans une autre direction, tout sous-groupe normal d'un p -groupe fini coupe le centre de manière non triviale comme on peut le prouver en considérant les éléments de N qui sont fixés lorsque G agit sur N par conjugaison. Puisque chaque sous-groupe central est normal, il s'ensuit que chaque sous-groupe normal minimal d'un p -groupe fini est central et d'ordre p . En effet, le socle d'un p -groupe fini est le sous-groupe du centre constitué des éléments centraux d'ordre p .

Si G est un p -groupe, alors G / Z l'est aussi , et il a donc aussi un centre non trivial. La préimage en G du centre de G / Z est appelée le deuxième centre et ces groupes commencent la série centrale supérieure . En généralisant les observations antérieures sur le socle, un fini p -group avec ordre p ⁿ contient des sous - groupes normaux d'ordre p ⁱ avec 0 ≤ i ≤ n , et tout sous - groupe d'ordre p ⁱ est contenu dans le i ème centre Z _i . Si un sous-groupe normal n'est pas contenu dans Z _i , alors son intersection avec Z _{i +1} a une taille au moins p ^{i +1} .

Automorphismes

Les groupes d' automorphismes des p -groupes sont bien étudiés. Tout comme chaque p -groupe fini a un centre non trivial de sorte que le groupe d'automorphismes interne est un quotient propre du groupe, chaque p -groupe fini a un groupe d'automorphismes externes non trivial . Tout automorphisme de G induit un automorphisme sur G /Φ( G ), où Φ( G ) est le sous - groupe de Frattini de G . Le quotient G/Φ( G ) est un groupe abélien élémentaire et son groupe d'automorphisme est un groupe linéaire général , donc très bien compris. L'application du groupe d'automorphisme de G dans ce groupe linéaire général a été étudiée par Burnside , qui a montré que le noyau de cette application est un p -groupe.

Exemples

les p -groupes du même ordre ne sont pas nécessairement isomorphes ; par exemple, le groupe cyclique C ₄ et le groupe à quatre de Klein V ₄ sont tous deux des 2-groupes d'ordre 4, mais ils ne sont pas isomorphes.

Un p -groupe n'a pas non plus besoin d' être abélien ; le groupe dièdre Dih ₄ d'ordre 8 est un 2-groupe non abélien. Cependant, tout groupe d'ordre p ² est abélien.

Les groupes dièdres sont à la fois très similaires et très dissemblables des groupes quaternions et des groupes semi - dièdres . Ensemble, les groupes dièdre, demi-èdre et quaternion forment les 2-groupes de classe maximale , c'est-à-dire les groupes d'ordre 2 ^{n +1} et de classe de nilpotence n .

Produits de couronnes itérés

Les produits en couronne itérés des groupes cycliques d'ordre p sont des exemples très importants de groupes p . Désignons le groupe cyclique d'ordre p comme W (1), et le produit de couronne de W ( n ) avec W (1) comme W ( n  + 1). Alors W ( n ) est le p -sous- groupe Sylow du groupe symétrique Sym( p ⁿ ). Les p -sous-groupes maximaux du groupe linéaire général GL( n , Q ) sont des produits directs de divers W ( n ). Il est d'ordre p ^k où k  = ( p ⁿ  − 1)/( p  − 1). Il a une classe de puissance nulle p ^{n -1} , et sa série centrale inférieure, sa série centrale supérieure, sa série centrale exposant inférieur p et sa série centrale exposant supérieur p sont égales. Il est engendré par ses éléments d'ordre p , mais son exposant est p ⁿ . Le deuxième de ces groupes, W (2), est également un p -groupe de classe maximale, puisqu'il a l'ordre p ^{p +1} et la classe de nilpotence p , mais n'est pas un p -groupe régulier . Puisque les groupes d'ordre p ^p sont toujours des groupes réguliers, c'est aussi un exemple minimal de ce type.

Groupes dièdres généralisés

Lorsque p  = 2 et n  = 2, W ( n ) est le groupe dièdre d'ordre 8, donc dans un certain sens W ( n ) fournit un analogue pour le groupe dièdre pour tous les nombres premiers p lorsque n  = 2. Cependant, pour n supérieur l'analogie devient tendue. Il existe une autre famille d'exemples qui imite plus étroitement les groupes dièdres d'ordre 2 ⁿ , mais cela nécessite un peu plus de configuration. Soit ζ une racine p ième primitive de l'unité dans les nombres complexes, soit Z [ζ] l'anneau d' entiers cyclotomiques qu'il engendre, et soit P l' idéal premier engendré par 1−ζ. Soit G un groupe cyclique d'ordre p engendré par un élément z . Former le produit semi - direct E ( p ) de Z [ζ] et G où z agit comme une multiplication par ζ. Les puissances P ⁿ sont des sous-groupes normaux de E ( p ) et les exemples de groupes sont E ( p , n ) =  E ( p )/ P ⁿ . E ( p , n ) est d'ordre p ^{n +1} et de classe de puissance nulle n , donc est un p -groupe de classe maximale. Lorsque p  = 2, E (2, n ) est le groupe dièdre d'ordre 2 ⁿ . Lorsque p est impair, à la fois W (2) et E ( p , p ) sont des groupes irréguliers de classe maximale et d'ordre p ^{p +1} , mais ne sont pas isomorphes.

Groupes matriciels unitriangulaires

Les sous-groupes de Sylow des groupes linéaires généraux sont une autre famille fondamentale d'exemples. Soit V un espace vectoriel de dimension n avec base { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } et définir V _i à être l'espace vectoriel engendré par { e _i , e _{i 1} , ..., e _n } pour 1 ≤ i ≤ n , et définir V _i = 0 quand i > n . Pour chaque 1 ≤ m ≤ n , l'ensemble des transformations linéaires inversibles de V qui portent chaque V _i à V _{i + m} forment un sous-groupe de Aut( V ) noté U _m . Si V est un espace vectoriel sur Z / p Z , alors U ₁ est un p -sous-groupe de Sylow de Aut( V ) = GL( n , p ), et les termes de sa série centrale inférieure ne sont que les U _m . En termes de matrices, U _m sont les matrices triangulaires supérieures avec 1s sur la diagonale et 0s sur les m -1 premières superdiagonales. Le groupe U ₁ a l'ordre p ^{n ·( n -1)/2} , la classe de puissance nulle n , et l'exposant p ^k où k est le plus petit entier au moins aussi grand que le logarithme de base p de n .

Classification

Les groupes d'ordre p ⁿ pour 0 n ≤ 4 ont été classés au début de l'histoire de la théorie des groupes, et les travaux modernes ont étendu ces classifications aux groupes dont l'ordre divise p ⁷ , bien que le nombre de familles de ces groupes augmente si rapidement que d'autres classifications dans ce sens sont jugées difficiles à comprendre pour l'esprit humain. Par exemple, Marshall Hall Jr. et James K. Senior ont classé les groupes d'ordre 2 ⁿ pour n 6 en 1964.

Plutôt que de classer les groupes par ordre, Philip Hall a proposé d'utiliser une notion d' isoclinisme de groupes qui a rassemblé des p -groupes finis en familles basées sur un grand quotient et des sous-groupes.

Une méthode entièrement différente classe les p- groupes finis par leur coclasse , c'est-à-dire la différence entre leur longueur de composition et leur classe de nilpotence . Les conjectures dites de coclasse décrivent l'ensemble de tous les p -groupes finis de coclasse fixe comme des perturbations d'un nombre fini de groupes pro-p . Les conjectures de coclasse ont été prouvées dans les années 1980 en utilisant des techniques liées aux algèbres de Lie et aux groupes p puissants . Les preuves finales des théorèmes de coclasses sont dues à A. Shalev et indépendamment à CR Leedham-Green, tous deux en 1994. Ils admettent une classification des p -groupes finis dans des graphes de coclasses orientés constitués uniquement d'un nombre fini d'arbres de coclasses dont (infiniment nombreux) les membres sont caractérisés par un nombre fini de présentations paramétrées.

Tout groupe d'ordre p ⁵ est métabélien .

Jusqu'à p ³

Le groupe trivial est le seul groupe d'ordre un, et le groupe cyclique C _p est le seul groupe d'ordre p . Il existe exactement deux groupes d'ordre p ² , tous deux abéliens, à savoir C _{p ²} et C _p  ×  C _p . Par exemple, le groupe cyclique C ₄ et le groupe à quatre de Klein V ₄ qui est C ₂  ×  C ₂ sont tous deux des 2-groupes d'ordre 4.

Il existe trois groupes abéliens d'ordre p ³ , à savoir C _{p ³} , C _{p ²} × C _p et C _p × C _p × C _p . Il existe également deux groupes non abéliens.

Pour p  2, l'un est un produit semi-direct de C _p × C _p avec C _p , et l'autre est un produit semi-direct de C _{p ²} avec C _p . Le premier peut être décrit en d'autres termes comme le groupe UT(3, p ) de matrices unitaires sur corps fini à p éléments, également appelé groupe de Heisenberg mod p .

Pour p  = 2, les deux produits semi-directs mentionnés ci-dessus sont isomorphes au groupe dièdre Dih ₄ d'ordre 8. L'autre groupe non abélien d'ordre 8 est le groupe quaternionique Q ₈ .

Prévalence

Parmi les groupes

Le nombre de classes d'isomorphismes de groupes d'ordre p ⁿ croît comme , et celles-ci sont dominées par les classes qui sont nilpotentes à deux étapes. En raison de cette croissance rapide, il existe une conjecture folklorique affirmant que presque tous les groupes finis sont des 2-groupes : la fraction des classes d'isomorphisme de 2-groupes parmi les classes d'isomorphisme des groupes d'ordre au plus n tend vers 1 lorsque n tend à l'infini. Par exemple, sur les 49 910 529 484 différents groupes d'ordre au plus 2000, 49 487 365 422, soit un peu plus de 99%, sont des 2-groupes d'ordre 1024. ${\style d'affichage p^{{\frac {2}{27}}n^{3}+O(n^{8/3})}}$

Au sein d'un groupe

Tout groupe fini dont l'ordre est divisible par p contient un sous-groupe qui est un p -groupe non trivial , à savoir un groupe cyclique d'ordre p engendré par un élément d'ordre p obtenu à partir du théorème de Cauchy . En fait, il contient un p -groupe d'ordre maximal possible : si où p ne divise pas m, alors G a un sous-groupe P d'ordre appelé p -sous- groupe de Sylow . Ce sous-groupe n'a pas besoin d'être unique, mais tous les sous-groupes de cet ordre sont conjugués, et tout p -sous-groupe de G est contenu dans un Sylow p -sous-groupe. Cette propriété et d'autres sont prouvées dans les théorèmes de Sylow . ${\displaystyle |G|=n=p^{k}m}$${\style d'affichage p^{k},}$

Application à la structure d'un groupe

Les p- groupes sont des outils fondamentaux pour comprendre la structure des groupes et dans la classification des groupes simples finis . Les groupes p apparaissent à la fois comme sous-groupes et comme groupes quotients. En tant que sous-groupes, pour un premier p donné, on a les p -sous-groupes P de Sylow (le plus grand p -sous-groupe non unique mais tous conjugués) et le p -noyau (le seul plus grand p -sous- groupe normal ), et divers autres. En tant que quotients, le plus grand quotient du groupe p est le quotient de G par le sous-groupe p -résiduel Ces groupes sont liés (pour différents nombres premiers), possèdent des propriétés importantes telles que le théorème du sous-groupe focal et permettent de déterminer de nombreux aspects de la structure du groupe. ${\style d'affichage O_{p}(G)}$ ${\style d'affichage O^{p}(G).}$

Contrôle local

Une grande partie de la structure d'un groupe fini est portée par la structure de ses sous- groupes dits locaux , les normalisateurs des p -sous - groupes sans identité .

Les grands sous - groupes abéliens élémentaires d'un groupe fini exercent un contrôle sur le groupe qui a été utilisé dans la preuve du théorème de Feit-Thompson . Certaines extensions centrales de groupes abéliens élémentaires appelés groupes extraspéciaux permettent de décrire la structure des groupes comme agissant sur des espaces vectoriels symplectiques .

Richard Brauer a classé tous les groupes dont les 2-sous-groupes de Sylow sont le produit direct de deux groupes cycliques d'ordre 4, et John Walter , Daniel Gorenstein , Helmut Bender , Michio Suzuki , George Glauberman , et d'autres ont classé les groupes simples dont les 2-sous-groupes de Sylow étaient abélien, dièdre, demi-èdre ou quaternion.

Voir également

• Groupe élémentaire
• rang Prüfer
• Groupe p régulier

Notes de bas de page

Remarques

Citations

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "p-Group" . MathWorld .