Quaternions hamiltoniens classiques - Classical Hamiltonian quaternions

William Rowan Hamilton a inventé les quaternions , une entité mathématique en 1843. Cet article décrit le traitement original de Hamilton des quaternions, en utilisant sa notation et ses termes. Le traitement de Hamilton est plus géométrique que l'approche moderne, qui met l'accent sur les propriétés algébriques des quaternions . Mathématiquement, les quaternions discutés ne diffèrent de la définition moderne que par la terminologie utilisée.

Éléments classiques d'un quaternion

Hamilton a défini un quaternion comme le quotient de deux lignes dirigées dans un espace tridimensionnel ; ou, plus généralement, comme quotient de deux vecteurs.

Un quaternion peut être représenté comme la somme d'un scalaire et d'un vecteur . Il peut également être représenté comme le produit de son tenseur et de son verseur .

Scalaire

Hamilton a inventé le terme scalaires pour les nombres réels , parce qu'ils couvrent "l'échelle de progression de l'infini positif à négatif" ou parce qu'ils représentent la "comparaison des positions sur une échelle commune". Hamilton considérait l'algèbre scalaire ordinaire comme la science du temps pur.

Vecteur

Hamilton a défini un vecteur comme "une ligne droite ... ayant non seulement une longueur mais aussi une direction". Hamilton a dérivé le mot vecteur du latin vehere , to carry.

Hamilton a conçu un vecteur comme la «différence de ses deux points extrêmes». Pour Hamilton, un vecteur était toujours une entité tridimensionnelle, ayant trois coordonnées par rapport à un système de coordonnées donné, y compris, mais sans s'y limiter, les systèmes polaires et rectangulaires . Il a donc qualifié les vecteurs de "triplets".

Hamilton a défini l'addition de vecteurs en termes géométriques, en plaçant l' origine du deuxième vecteur à la fin du premier. Il a ensuite défini la soustraction vectorielle.

En ajoutant un vecteur à lui-même plusieurs fois, il a défini la multiplication d'un vecteur par un entier , puis l'a étendu à la division par un entier et à la multiplication (et à la division) d'un vecteur par un nombre rationnel. Enfin, en prenant des limites, il définit le résultat de la multiplication d'un vecteur α par tout scalaire x comme un vecteur β de même direction que α si x est positif; la direction opposée à α si x est négatif; et une longueur qui est | x | fois la longueur de α.

Le quotient de deux parallèles vecteurs ou anti-parallèles est donc un scalaire dont la valeur absolue est égale au rapport entre les longueurs des deux vecteurs; le scalaire est positif si les vecteurs sont parallèles et négatif s'ils sont anti-parallèles.

Vecteur d'unité

Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur un. Des exemples de vecteurs unitaires comprennent i, j et k.

Tenseur

Remarque: l'utilisation du mot tenseur par Hamilton ne coïncide pas avec la terminologie moderne. Le tenseur de Hamilton est en fait la valeur absolue de l'algèbre des quaternions, ce qui en fait un espace vectoriel normé .

Hamilton a défini le tenseur comme une quantité numérique positive ou, plus exactement, un nombre sans signe. Un tenseur peut être considéré comme un scalaire positif. Le «tenseur» peut être considéré comme représentant un «facteur d'étirement».

Hamilton a introduit le terme tenseur dans son premier livre, Lectures on Quaternions, basé sur des conférences qu'il a données peu de temps après son invention des quaternions:

• il paraît commode d'élargir par définition la signification du nouveau mot tenseur, de manière à le rendre capable d'inclure aussi les autres cas où l'on opère sur une ligne en diminuant au lieu d'augmenter sa longueur; et généralement en modifiant cette longueur dans n'importe quel rapport défini. Nous aurons donc (comme cela a été suggéré à la fin de l'article en question) des tenseurs fractionnaires et même incommensurables , qui seront simplement des multiplicateurs numériques, et seront tous positifs ou (pour parler plus correctement) des nombres sans signe , c'est-à-dire dénudés de les signes algébriques du positif et du négatif  ; car, dans l'opération ici considérée, on fait abstraction des directions (ainsi que des situations) des lignes qui sont comparées ou opérées.

Chaque quaternion a un tenseur, qui est une mesure de sa magnitude (de la même manière que la longueur d'un vecteur est une mesure de la magnitude d'un vecteur). Lorsqu'un quaternion est défini comme le quotient de deux vecteurs, son tenseur est le rapport des longueurs de ces vecteurs.

Versor

Un verseur est un quaternion avec un tenseur de 1. Alternativement, un verseur peut être défini comme le quotient de deux vecteurs de même longueur.

En général, un verseur définit tous les éléments suivants: un axe directionnel; le plan normal à cet axe; et un angle de rotation.

Quand un verseur et un vecteur qui se trouve dans le plan du verseur sont multipliés, le résultat est un nouveau vecteur de même longueur mais tourné de l'angle du verseur.

Arc de vecteur

Puisque chaque vecteur unitaire peut être considéré comme un point sur une sphère unitaire , et comme un verseur peut être considéré comme le quotient de deux vecteurs, un verseur a un arc de grand cercle représentatif , appelé arc vectoriel , reliant ces deux points, tiré du diviseur ou de la partie inférieure du quotient, vers le dividende ou la partie supérieure du quotient.

Verseur droit

Lorsque l'arc d'un verseur a la grandeur d'un angle droit , alors il est appelé un verseur droit , un verseur radial droit ou quadrantal .

Formes dégénérées

Il existe deux cas de verseurs dégénérés spéciaux, appelés les scalaires unitaires. Ces deux scalaires (unité négative et positive) peuvent être considérés comme des quaternions scalaires . Ces deux scalaires sont des cas limites spéciaux, correspondant à des verseurs avec des angles de zéro ou de π.

Contrairement aux autres verseurs, ces deux ne peuvent pas être représentés par un arc unique. L'arc de 1 est un point unique et –1 peut être représenté par un nombre infini d'arcs, car il existe un nombre infini de lignes les plus courtes entre les points antipodaux d'une sphère.

Quaternion

Chaque quaternion peut être décomposé en un scalaire et un vecteur.

${\ displaystyle q = \ mathbf {S} (q) + \ mathbf {V} (q)}$

Ces deux opérations S et V sont appelées "prendre le scalaire de" et "prendre le vecteur" d'un quaternion. La partie vectorielle d'un quaternion est également appelée la partie droite.

Chaque quaternion est égal à un verseur multiplié par le tenseur du quaternion. Dénotant le verseur d'un quaternion par

${\ displaystyle \ mathbf {U} q}$

et le tenseur d'un quaternion par

${\ displaystyle \ mathbf {T} q}$

on a

${\ displaystyle q = \ mathbf {T} q \ mathbf {U} q}$

Quaternion droit

Un quaternion droit est un quaternion dont la composante scalaire est nulle,

${\ displaystyle S (q) = 0}$

L'angle d'un quaternion droit est de 90 degrés. Un quaternion droit peut également être considéré comme un vecteur plus un scalaire nul. Les quaternions justes peuvent être mis dans ce qu'on a appelé la forme trinomiale standard. Par exemple, si Q est un quaternion droit, il peut s'écrire:

${\ displaystyle Q = xi + yj + zk}$

Quatre opérations

Quatre opérations sont d'une importance fondamentale dans la notation quaternion.

+ - ÷ ×

En particulier, il est important de comprendre qu'il y a une seule opération de multiplication, une seule opération de division et une seule opération d'addition et de soustraction. Cet opérateur de multiplication unique peut opérer sur n'importe lequel des types d'entités mathématiques. De même, chaque type d'entité peut être divisé, ajouté ou soustrait de tout autre type d'entité. Comprendre la signification du symbole de soustraction est essentiel dans la théorie des quaternions, car cela conduit à une compréhension du concept de vecteur.

Opérateurs ordinaux

Les deux opérations ordinales en notation quaternion classique étaient l'addition et la soustraction ou + et -.

Ces marques sont:

"... caractéristiques de synthèse et d'analyse d'un état de progression, selon que cet état est considéré comme dérivé ou comparé à un autre état de cette progression."

Soustraction

La soustraction est un type d' analyse appelé analyse ordinale

... que l'espace soit maintenant considéré comme le champ de progression à étudier, et les POINTS comme les états de cette progression. ... Je suis amené à considérer le mot «moins», ou la marque -, en géométrie, comme le signe ou la caractéristique d'analyse d'une position géométrique (dans l'espace), par rapport à une autre (telle) position. La comparaison d'un point mathématique avec un autre en vue de déterminer ce que l'on peut appeler leur relation ordinale, ou leur position relative dans l'espace ...

Le premier exemple de soustraction est de prendre le point A pour représenter la terre, et le point B pour représenter le soleil, puis une flèche tirée de A vers B représente l'acte de se déplacer ou de vection de A à B.

B - A

ceci représente le premier exemple dans les conférences d'Hamilton d'un vecteur. Dans ce cas, le fait de voyager de la terre à la lune.

Une addition

L'addition est un type d'analyse appelé synthèse ordinale.

Ajout de vecteurs et de scalaires

Des vecteurs et des scalaires peuvent être ajoutés. Lorsqu'un vecteur est ajouté à un scalaire, une entité complètement différente, un quaternion est créé.

Un vecteur plus un scalaire est toujours un quaternion même si le scalaire est nul. Si le scalaire ajouté au vecteur est égal à zéro, le nouveau quaternion produit est appelé un quaternion droit. Il a un angle caractéristique de 90 degrés.

Opérations cardinales

Les deux opérations cardinales en notation quaternion sont la multiplication géométrique et la division géométrique et peuvent s'écrire:

÷, ×

Il n'est pas nécessaire d'apprendre les termes plus avancés suivants pour utiliser la division et la multiplication.

La division est une sorte d' analyse appelée analyse cardinale. La multiplication est une sorte de synthèse appelée synthèse cardinale

Division

Classiquement, le quaternion était considéré comme le rapport de deux vecteurs, parfois appelé fraction géométrique.

Si OA et OB représentent deux vecteurs tirés de l'origine O vers deux autres points A et B, alors la fraction géométrique s'écrit

${\ displaystyle OA: OB}$

Alternativement, si les deux vecteurs sont représentés par α et β, le quotient s'écrit

${\ displaystyle \ alpha \ div \ beta}$

ou

${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$

Hamilton affirme: "Le quotient de deux vecteurs est généralement un quaternion". Les conférences sur les quaternions introduisent également d'abord le concept de quaternion comme quotient de deux vecteurs:

Logiquement et par définition,

si ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = q}$

alors . ${\ displaystyle {q} \ times {\ beta} = \ alpha.}$

Dans le calcul de Hamilton, le produit n'est pas commutatif , c'est-à-dire que l'ordre des variables est d'une grande importance. Si l'ordre de q et β était inversé, le résultat ne serait en général pas α. Le quaternion q peut être pensé comme un opérateur qui change β en α, en le faisant d'abord tourner, autrefois un acte de version puis en changeant la longueur de celui-ci, anciennement appelé acte de tension .

Par définition également, le quotient de deux vecteurs est égal au numérateur multiplié par la réciproque du dénominateur . La multiplication des vecteurs n'étant pas commutative, l'ordre ne peut pas être modifié dans l'expression suivante.

${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = \, {\ alpha} \ times {\ frac {1} {\ beta}}}$

Là encore, l'ordre des deux quantités sur le côté droit est significatif.

Hardy présente la définition de la division en termes de règles d'annulation mnémotechniques. "Annulation effectuée par un coup de main vers le haut à droite".

Si alpha et bêta sont des vecteurs et q est un quaternion tel que

${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = q}$

puis ${\ displaystyle \ alpha \ beta ^ {- 1} = q}$

et ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {\ beta}}. \ beta = \ alpha \ beta ^ {- 1}. \ beta = \ alpha}$

${\ displaystyle \ times}$et sont des opérations inverses, telles que:${\ displaystyle \ div}$

${\ displaystyle \ beta \ div \ alpha \ times \ alpha = \ beta}$ et ${\ Displaystyle q \ times \ alpha \ div \ alpha = q}$

et

${\ displaystyle \ gamma = (\ gamma \ div \ beta) \ times (\ beta \ div \ alpha) \ times \ alpha}$

Une façon importante de penser q est comme un opérateur qui change β en α, en le tournant d'abord ( version ) puis en changeant sa longueur (tension).

${\ displaystyle \ gamma \ div \ alpha = (\ gamma \ div \ beta) \ times (\ beta \ div \ alpha)}$

Division des vecteurs unitaires i , j , k

Les résultats de l'utilisation de l'opérateur de division sur i , j et k étaient les suivants.

${\ displaystyle ij = k}$	${\ displaystyle {\ frac {k} {j}} = i}$
${\ displaystyle jk = i}$	${\ displaystyle {\ frac {i} {k}} = j}$
${\ displaystyle ki = j}$	${\ displaystyle {\ frac {j} {i}} = k}$
${\ displaystyle ji = -k}$	${\ displaystyle {\ frac {-k} {i}} = j}$
${\ displaystyle kj = -i}$	${\ displaystyle {\ frac {-i} {j}} = k}$
${\ displaystyle ik = -j}$	${\ displaystyle {\ frac {-j} {k}} = i}$
${\ Displaystyle i (-j) = - k}$	${\ displaystyle {\ frac {-k} {- j}} = i}$
${\ Displaystyle i (-k) = j}$	${\ displaystyle {\ frac {j} {- k}} = i}$
${\ displaystyle k (-i) = - j}$	${\ displaystyle {\ frac {-j} {- i}} = k}$
${\ displaystyle k (-j) = i}$	${\ displaystyle {\ frac {i} {- j}} = k}$
${\ displaystyle j (-k) = - i}$	${\ displaystyle {\ frac {-i} {- k}} = j}$
${\ displaystyle j (-i) = k}$	${\ displaystyle {\ frac {k} {- i}} = j}$

L'inverse d'un vecteur unitaire est le vecteur inversé.

${\ displaystyle {\ frac {1} {i}} = i ^ {- 1} = - i}$

Parce qu'un vecteur unitaire et son réciproque sont parallèles l'un à l'autre mais pointent dans des directions opposées, le produit d'un vecteur unitaire et son réciproque ont une propriété commutative de cas particulier, par exemple si a est un vecteur unitaire, alors:

${\ displaystyle {\ frac {1} {a}} a = (- a) a = 1 = a (-a) = a {\ frac {1} {a}}.}$

Cependant, dans le cas plus général impliquant plus d'un vecteur (qu'il s'agisse ou non d'un vecteur unitaire), la propriété commutative ne tient pas. Par exemple:

${\ displaystyle i {\ frac {k} {i}}}$ ≠ ${\ displaystyle {\ frac {k} {i}} i.}$

C'est parce que k / i est soigneusement défini comme:

${\ displaystyle {\ frac {k} {i}} = k {\ frac {1} {i}} = ki ^ {- 1} = k (-i) = - (ki) = - (j) = - j}$.

Pour que:

${\ displaystyle i {\ frac {k} {i}} = i (-j) = - k}$,

pourtant

${\ Displaystyle {\ frac {k} {i}} i = (- j) i = - (ji) = - (- k) = k}$

Division de deux vecteurs parallèles

Alors qu'en général le quotient de deux vecteurs est un quaternion, si α et β sont deux vecteurs parallèles alors le quotient de ces deux vecteurs est un scalaire. Par exemple, si

${\ displaystyle \ alpha = ai}$,

et puis ${\ displaystyle \ beta = bi}$

${\ displaystyle \ alpha \ div \ beta = {\ frac {\ alpha} {\ beta}} = {\ frac {ai} {bi}} = {\ frac {a} {b}}}$

Où a / b est un scalaire.

Division de deux vecteurs non parallèles

Le quotient de deux vecteurs est en général le quaternion:

${\ displaystyle q = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$${\ displaystyle = {\ frac {T \ alpha} {T \ beta}} (\ cos \ phi + \ epsilon \ sin \ phi)}$

Où α et β sont deux vecteurs non parallèles, φ est cet angle entre eux, et ε est un vecteur unitaire perpendiculaire au plan des vecteurs α et β, avec sa direction donnée par la règle standard de la main droite.

Multiplication

La notation classique des quaternions n'avait qu'un seul concept de multiplication. La multiplication de deux nombres réels, de deux nombres imaginaires ou d'un nombre réel par un nombre imaginaire dans le système de notation classique était la même opération.

La multiplication d'un scalaire et d'un vecteur a été réalisée avec le même opérateur de multiplication unique; la multiplication de deux vecteurs de quaternions utilise cette même opération que la multiplication d'un quaternion et d'un vecteur ou de deux quaternions.

Facteur, faciend et factum

Facteur × Faciend = Factum

Lorsque deux quantités sont multipliées, la première quantité est appelée facteur, la seconde quantité est appelée faciend et le résultat est appelé mémoire.

Distributif

En notation classique, la multiplication était distributive . Comprendre cela permet de comprendre facilement pourquoi le produit de deux vecteurs en notation classique a produit un quaternion.

${\ displaystyle q = (ai + bj + ck) \ times (ei + fj + gk)}$

${\ displaystyle q = ae ({i} \ times {i}) + af ({i} \ times {j}) + ag ({i} \ times {k}) + be ({j} \ times {i }) + bf ({j} \ times {j}) + bg ({j} \ times {k}) + ce ({k} \ times {i}) + cf ({k} \ times {j}) + cg ({k} \ times {k})}$

En utilisant la table de multiplication des quaternions, nous avons:

${\ Displaystyle q = ae (-1) + af (+ k) + ag (-j) + be (-k) + bf (-1) + bg (+ i) + ce (+ j) + cf (- i) + cg (-1)}$

Puis collecte des termes:

${\ Displaystyle q = -ae-bf-cg + (bg-cf) i + (ce-ag) j + (af-be) k}$

Les trois premiers termes sont un scalaire.

Location

${\ displaystyle w = -ae-bf-cg}$

${\ displaystyle x = (bg-cf)}$

${\ displaystyle y = (ce-ag)}$

${\ displaystyle z = (af-be)}$

Alors que le produit de deux vecteurs est un quaternion, et peut s'écrire sous la forme:

${\ Displaystyle q = w + xi + yj + zk}$

Produit de deux quaternions droits

Le produit de deux quaternions droits est généralement un quaternion.

Soit α et β les quaternions justes résultant de la prise des vecteurs de deux quaternions:

${\ displaystyle \ alpha = \ mathbf {V} p}$

${\ displaystyle \ beta = \ mathbf {V} q}$

Leur produit en général est un nouveau quaternion représenté ici par r. Ce produit n'est pas ambigu car la notation classique n'a qu'un seul produit.

${\ displaystyle r = \, \ alpha \ beta;}$

Comme tous les quaternions, r peut maintenant être décomposé en ses parties vectorielles et scalaires.

${\ displaystyle r = \ mathbf {S} r + \ mathbf {V} r}$

Les termes de droite sont appelés scalaires du produit et le vecteur du produit de deux quaternions droits.

Remarque: «Scalaire du produit» correspond au produit scalaire euclidien de deux vecteurs jusqu'au changement de signe (multiplication à −1).

Autres opérateurs en détail

Scalaire et vecteur

Deux opérations importantes dans deux du système de notation classique du quaternion étaient S (q) et V (q), ce qui signifiait prendre la partie scalaire de, et prendre la partie imaginaire, de ce que Hamilton appelait la partie vectorielle du quaternion. Ici S et V sont des opérateurs agissant sur q. Les parenthèses peuvent être omises dans ces types d'expressions sans ambiguïté. Notation classique:

${\ displaystyle q = \, \ mathbf {S} q + \ mathbf {V} q}$

Ici, q est un quaternion. S q est le scalaire du quaternion tandis que V q est le vecteur du quaternion.

Conjuguer

K est l'opérateur conjugué. Le conjugué d'un quaternion est un quaternion obtenu en multipliant la partie vectorielle du premier quaternion par moins un.

Si

${\ displaystyle q = \, \ mathbf {S} q + \ mathbf {V} q}$

puis

${\ displaystyle \ mathbf {K} q = \ mathbf {S} \, q- \ mathbf {V} q}$.

L'expression

${\ displaystyle r = \, \ mathbf {K} q}$,

signifie, assignez au quaternion r la valeur du conjugué du quaternion q.

Tenseur

T est l'opérateur tenseur. Il renvoie une sorte de nombre appelé tenseur .

Le tenseur d'un scalaire positif est ce scalaire. Le tenseur d'un scalaire négatif est la valeur absolue du scalaire (c'est-à-dire sans le signe négatif). Par exemple:

${\ displaystyle \ mathbf {T} (5) = 5}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} (-5) = 5}$

Le tenseur d'un vecteur est par définition la longueur du vecteur. Par exemple, si:

${\ displaystyle \ alpha = xi + yj + zk}$

Puis

${\ displaystyle \ mathbf {T} \ alpha = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$

Le tenseur d'un vecteur unitaire est un. Puisque le verseur d'un vecteur est un vecteur unitaire, le tenseur du verseur de tout vecteur est toujours égal à l'unité. Symboliquement:

${\ displaystyle \ mathbf {TU} \ alpha = 1}$

Un quaternion est par définition le quotient de deux vecteurs et le tenseur d'un quaternion est par définition le quotient des tenseurs de ces deux vecteurs. En symboles:

${\ displaystyle q = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}.}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} q = {\ frac {\ mathbf {T} \ alpha} {\ mathbf {T} \ beta}}.}$

À partir de cette définition, on peut montrer qu'une formule utile pour le tenseur d'un quaternion est:

${\ displaystyle \ mathbf {T} q = {\ sqrt {w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}}$

On peut également prouver à partir de cette définition qu'une autre formule pour obtenir le tenseur d'un quaternion est issue de la norme commune, définie comme le produit d'un quaternion et de son conjugué. La racine carrée de la norme commune d'un quaternion est égale à son tenseur.

${\ displaystyle \ mathbf {T} q = {\ sqrt {qKq}}}$

Une identité utile est que le carré du tenseur d'un quaternion est égal au tenseur du carré d'un quaternion, de sorte que les parenthèses peuvent être omises.

${\ displaystyle (\ mathbf {T} q) ^ {2} = \ mathbf {T} (q ^ {2}) = \ mathbf {T} q ^ {2}}$

De plus, les tenseurs des quaternions conjugués sont égaux.

${\ displaystyle \ mathbf {TK} q = \ mathbf {T} q}$

Le tenseur d'un quaternion est maintenant appelé sa norme .

Axe et angle

En prenant l'angle d'un quaternion non scalaire, on obtient une valeur supérieure à zéro et inférieure à π.

Lorsqu'un quaternion non scalaire est considéré comme le quotient de deux vecteurs, alors l'axe du quaternion est un vecteur unité perpendiculaire au plan des deux vecteurs dans ce quotient d'origine, dans une direction spécifiée par la règle de droite. L'angle est l'angle entre les deux vecteurs.

En symboles,

${\ displaystyle u = Ax.q}$

${\ displaystyle \ theta = \ angle q}$

Réciproque

Si

${\ displaystyle q = {\ frac {\ alpha} {\ beta}}}$

alors sa réciproque est définie comme

${\ displaystyle {\ frac {1} {q}} = q ^ {- 1} = {\ frac {\ beta} {\ alpha}}}$

L'expression:

${\ displaystyle {q} \ times {\ alpha} \ times {\ frac {1} {q}}}$

Les réciproques ont de nombreuses applications importantes, par exemple les rotations , en particulier lorsque q est un verseur. Un verseur a une formule facile pour sa réciproque.

${\ displaystyle {\ frac {1} {(\ mathbf {U} q)}} = \ mathbf {SU} q- \ mathbf {VU} q = \ mathbf {KU} q}$

Dans les mots, la réciproque d'un verseur est égale à son conjugué. Les points entre les opérateurs montrent l'ordre des opérations et aident également à indiquer que S et U, par exemple, sont deux opérations différentes plutôt qu'une seule opération nommée SU.

Norme commune

Le produit d'un quaternion avec son conjugué est sa norme commune.

L'opération de prendre la norme commune d'un quaternion est représenté par la lettre N . Par définition, la norme commune est le produit d'un quaternion avec son conjugué. On peut prouver que la norme commune est égale au carré du tenseur d'un quaternion. Cependant cette preuve ne constitue pas une définition. Hamilton donne des définitions exactes et indépendantes de la norme commune et du tenseur. Cette norme a été adoptée comme suggéré par la théorie des nombres, mais pour citer Hamilton "ils ne seront pas souvent recherchés". Le tenseur est généralement d'une plus grande utilité. Le mot norme n'apparaît pas dans les conférences sur les quaternions , et seulement deux fois dans la table des matières des éléments des quaternions .

En symboles:

${\ displaystyle \ mathbf {N} q = \, q \ mathbf {K} q = \, (\ mathbf {T} q) ^ {2}}$

La norme commune d'un verseur est toujours égale à l'unité positive.

${\ displaystyle \ mathbf {NU} q = \ mathbf {U} q. \ mathbf {KU} q = 1}$

Biquaternions

Nombres géométriquement réels et géométriquement imaginaires

Dans la littérature classique sur les quaternions, l'équation

${\ displaystyle q ^ {2} = - 1}$

on pensait avoir une infinité de solutions appelées géométriquement réelles . Ces solutions sont les vecteurs unitaires qui forment la surface d'une sphère unitaire.

Un quaternion géométriquement réel est un quaternion qui peut être écrit comme une combinaison linéaire de i , j et k , de telle sorte que les carrés des coefficients s'additionnent à un. Hamilton a démontré qu'il devait y avoir des racines supplémentaires de cette équation en plus des racines géométriquement réelles. Compte tenu de l'existence du scalaire imaginaire, un certain nombre d'expressions peuvent être écrites et avoir des noms propres. Tous ces éléments faisaient partie du calcul quaternion original de Hamilton. En symboles:

${\ displaystyle q + q '{\ sqrt {-1}}}$

où q et q ′ sont des quaternions réels, et la racine carrée de moins un est l' imaginaire de l'algèbre ordinaire , et sont appelées racines imaginaires ou symboliques et non pas une quantité vectorielle géométriquement réelle.

Scalaire imaginaire

Géométriquement Les quantités imaginaires sont des racines supplémentaires de l'équation ci-dessus de nature purement symbolique. Dans l'article 214 d' Eléments, Hamilton prouve que s'il y a un i, un j et un k, il doit aussi y avoir une autre quantité h qui est un scalaire imaginaire, ce qui, observe-t-il, aurait déjà dû arriver à quiconque avait lu les articles précédents avec attention. L'article 149 des éléments porte sur les nombres géométriquement imaginaires et comprend une note de bas de page introduisant le terme biquaternion . Les termes imaginaire d'algèbre ordinaire et imaginaire scalaire sont parfois utilisés pour ces quantités géométriquement imaginaires.

Géométriquement Les racines imaginaires d'une équation ont été interprétées dans la pensée classique comme des situations géométriquement impossibles. L'article 214 des éléments de quaternions explore l'exemple de l'équation d'une ligne et d'un cercle qui ne se coupent pas, comme indiqué par l'équation n'ayant qu'une racine géométriquement imaginaire.

Dans les écrits ultérieurs de Hamilton, il proposa d'utiliser la lettre h pour désigner le scalaire imaginaire

Biquaternion

À la page 665 des éléments des quaternions, Hamilton définit un biquaternion comme étant un quaternion avec des coefficients de nombres complexes . La partie scalaire d'un biquaternion est alors un nombre complexe appelé biscalar . La partie vectorielle d'un biquaternion est un bivecteur composé de trois composants complexes. Les biquaternions sont alors la complexification des quaternions originaux (réels).

Autres quaternions doubles

Hamilton a inventé le terme associatif pour faire la distinction entre le scalaire imaginaire (connu maintenant sous le nom de nombre complexe ) qui est à la fois commutatif et associatif, et quatre autres racines possibles d'unité négative qu'il a désignées L, M, N et O, en les mentionnant brièvement dans l'annexe B des conférences sur les quaternions et en lettres privées. Cependant, les racines non associatives de moins un n'apparaissent pas dans Elements of Quaternions . Hamilton est mort avant de travailler sur ces étranges entités. Son fils a prétendu qu'ils étaient "des arcs réservés aux mains d'un autre Ulysse".

Voir également

• Construction de Cayley – Dickson
• Octonions
• Théorème de Frobenius

Notes de bas de page

Les références

• WR Hamilton (1853), Conférences sur les quaternionssur Google Books Dublin: Hodges and Smith
• WR Hamilton (1866), Éléments de quaternionssur Google Books , 2e édition, édité par Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company.
• AS Hardy (1887), éléments de quaternions
• PG Tait (1890), Un traité élémentaire sur les quaternions , Cambridge: CJ Clay and Sons
• Herbert Goldstein (1980), Mécanique classique , 2e édition, numéro de catalogue de la bibliothèque du congrès QA805.G6 1980