Le papillon de Hofstadter - Hofstadter's butterfly

Rendu du papillon par Hofstadter

En physique de la matière condensée , le papillon de Hofstadter est un graphique des propriétés spectrales des électrons bidimensionnels sans interaction dans un champ magnétique perpendiculaire dans un réseau . La nature fractale et auto-similaire du spectre a été découverte dans le doctorat de 1976. travail de Douglas Hofstadter et est l'un des premiers exemples de visualisation de données scientifiques modernes. Le nom reflète le fait que, comme l'a écrit Hofstadter, « les grandes lacunes [dans le graphique] forment un motif très frappant ressemblant quelque peu à un papillon ».

Le papillon de Hofstadter joue un rôle important dans la théorie de l' effet Hall quantique entier et la théorie des nombres quantiques topologiques .

Histoire

La première description mathématique des électrons sur un réseau 2D, soumis à un champ magnétique homogène perpendiculaire, a été étudiée par Rudolf Peierls et son étudiant RG Harper dans les années 1950.

Hofstadter a décrit la structure pour la première fois en 1976 dans un article sur les niveaux d'énergie des électrons de Bloch dans des champs magnétiques perpendiculaires. Il donne une représentation graphique du spectre de l'équation de Harper à différentes fréquences. Un aspect clé de la structure mathématique de ce spectre - la division des bandes d'énergie pour une valeur spécifique du champ magnétique, le long d'une seule dimension (énergie) - avait été précédemment mentionné en passant par le physicien soviétique Mark Azbel en 1964 (dans un article cité par Hofstadter), mais Hofstadter a considérablement développé ce travail en traçant toutes les valeurs du champ magnétique par rapport à toutes les valeurs d'énergie, créant le tracé bidimensionnel qui a d'abord révélé les propriétés géométriques récursives uniques du spectre.

Rédigé alors que Hofstadter était à l' Université de l'Oregon , son article a eu une influence sur l'orientation de recherches ultérieures. Il a prédit sur des bases théoriques que les valeurs de niveau d'énergie autorisées d'un électron dans un réseau carré à deux dimensions , en fonction d'un champ magnétique appliqué perpendiculairement au système, formaient ce que l'on appelle maintenant un ensemble fractal . C'est-à-dire que la distribution des niveaux d'énergie pour les changements à petite échelle du champ magnétique appliqué répète de manière récursive les motifs observés dans la structure à grande échelle. « Gplot », comme Hofstadter appelait la figure, a été décrit comme une structure récursive dans son article de 1976 dans Physical Review B , écrit avant que le mot nouvellement inventé « fractal » par Benoit Mandelbrot ne soit introduit dans un texte anglais. Hofstadter discute également de la figure dans son livre de 1979 Gödel, Escher, Bach . La structure est devenue généralement connue sous le nom de "papillon de Hofstadter".

David J. Thouless et son équipe ont découvert que les ailes du papillon sont caractérisées par des entiers de Chern , qui permettent de calculer la conductance de Hall dans le modèle de Hofstadter.

Confirmation

Une simulation d'électrons via des qubits supraconducteurs donne le papillon de Hofstadter

En 1997, le papillon de Hofstadter a été reproduit dans des expériences avec un guide micro-ondes équipé d'un réseau de diffuseurs. La similitude entre la description mathématique du guide hyperfréquence avec diffuseurs et les ondes de Bloch en champ magnétique a permis la reproduction du papillon de Hofstadter pour des séquences périodiques des diffuseurs.

En 2001, Christian Albrecht, Klaus von Klitzing et leurs collaborateurs ont réalisé un montage expérimental pour tester Thouless et al. les prédictions de Hofstadter sur le papillon de Hofstadter avec un gaz d'électrons bidimensionnel dans un potentiel de super-réseau.

En 2013, trois groupes distincts de chercheurs ont rapporté indépendamment des preuves du spectre du papillon Hofstadter dans des dispositifs au graphène fabriqués sur des substrats hexagonaux de nitrure de bore . Dans ce cas, le spectre papillon résulte de l'interaction entre le champ magnétique appliqué et le motif de moiré à grande échelle qui se développe lorsque le réseau de graphène est orienté avec un décalage d'angle proche de zéro avec le nitrure de bore.

En septembre 2017, le groupe de John Martinis chez Google, en collaboration avec le groupe Angelakis du CQT Singapour , a publié les résultats d'une simulation d'électrons 2D dans un champ magnétique perpendiculaire utilisant des photons en interaction dans 9 qubits supraconducteurs . La simulation a récupéré le papillon de Hofstadter, comme prévu.

Modèle théorique

Le papillon de Hofstadter est la solution graphique de l'équation de Harper, où le rapport d'énergie est tracé en fonction du rapport de flux .${\style d'affichage \epsilon }$${\style d'affichage 2\pi \alpha }$

Dans son article original, Hofstadter considère la dérivation suivante : une particule quantique chargée dans un réseau carré à deux dimensions, avec un espacement de réseau , est décrite par une équation de Schrödinger périodique , sous un champ magnétique homogène statique perpendiculaire limité à une seule bande de Bloch. Pour un réseau carré 2D, la relation de dispersion d' énergie de liaison étroite est ${\style d'affichage a}$

${\displaystyle W(\mathbf {k} )=E_{0}(\cos k_{x}a+\cos k_{y}a)={\frac {E_{0}}{2}}(e^{ ik_{x}a}+e^{-ik_{x}a}+e^{ik_{y}a}+e^{-ik_{y}a})}$,

où est la fonction d'énergie, est la quantité de mouvement du cristal et est un paramètre empirique. Le champ magnétique , où le potentiel vecteur magnétique , peut être pris en compte en utilisant la substitution de Peierls , en remplaçant la quantité de mouvement du cristal par la quantité de mouvement canonique , où est l' opérateur de quantité de mouvement de la particule et est la charge de la particule ( pour l'électron, est l' élément élémentaire frais ). Pour plus de commodité, nous choisissons la jauge . ${\displaystyle W(\mathbf {k} )}$${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y})}$${\style d'affichage E_{0}}$${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \hbar \mathbf {k} \to \mathbf {p} -q\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y})}$${\style d'affichage q}$${\style d'affichage q=-e}$${\style d'affichage e}$${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$

L'utilisation de cela est l' opérateur de traduction , de sorte que , où et est la fonction d'onde bidimensionnelle de la particule . On peut utiliser comme hamiltonien effectif pour obtenir l'équation de Schrödinger indépendante du temps suivante : ${\displaystyle e^{ip_{j}a}}$${\displaystyle e^{ip_{j}a}\psi (x,y)=\psi (x+a,y)}$${\style d'affichage j=x,y,z}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi (x,y)}$${\displaystyle W(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )}$

${\displaystyle E\psi (x,y)={\frac {E_{0}}{2}}\left[\psi (x+a,y)+\psi (xa,y)+\psi (x ,y+a)e^{-iqBxa/\hbar }+\psi (x,ya)e^{+iqBxa/\hbar }\right].}$

Considérant que la particule ne peut sauter qu'entre les points du réseau, nous écrivons , où sont des nombres entiers. Hofstadter fait l' ansatz suivant : , où dépend de l'énergie, afin d'obtenir l'équation de Harper (également connue sous le nom d' opérateur presque Mathieu pour ) : ${\style d'affichage x=na,y=ma}$${\style d'affichage n,m}$${\displaystyle \psi (x,y)=g_{n}e^{i\nu m}}$${\style d'affichage \nu }$${\style d'affichage \lambda =1}$

${\displaystyle g_{n+1}+g_{n-1}+2\cos(2\pi n\alpha -\nu )g_{n}=\epsilon g_{n},}$

où et , est proportionnel au flux magnétique à travers une cellule de réseau et est le quantum de flux magnétique . Le rapport de flux peut également être exprimé en termes de longueur magnétique , tel que . ${\displaystyle \epsilon =1E/E_{0}}$${\displaystyle \alpha =\phi (B)/\phi _{0}}$${\displaystyle \phi (B)=Ba^{2}}$${\displaystyle \phi _{0}=2\pi \hbar /q}$${\style d'affichage \alpha }$${\textstyle l_{\rm {m}}={\sqrt {\hbar /eB}}}$${\textstyle \alpha =(2\pi )^{-1}(a/l_{\rm {m}})^{2}}$

Le papillon de Hofstadter est le tracé résultant de en fonction du rapport de flux , où est l'ensemble de tous les possibles qui sont une solution à l'équation de Harper. ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$${\style d'affichage \epsilon }$

Solutions à l'équation de Harper et au traitement de Wannier

Diagramme de phase papillon de Hofstadter à température nulle. L'axe horizontal indique la densité électronique, en commençant par aucun électron à partir de la gauche. L'axe vertical indique la force du flux magnétique, à partir de zéro en bas, le motif se répète périodiquement pour des champs plus élevés. Les couleurs représentent les nombres de Chern des lacunes du spectre, également connus sous le nom d'entiers TKNN (Thouless, Kohmoto, Nightingale et Nijs). Les couleurs froides bleuâtres indiquent des nombres de Chern négatifs, les couleurs rouges chaudes indiquent des nombres de Chern positifs, le blanc indique zéro.

En raison des propriétés de la fonction cosinus, le motif est périodique avec la période 1 (il se répète pour chaque flux quantique par cellule unitaire). Le graphique dans la région comprise entre 0 et 1 a une symétrie de réflexion dans les lignes et . Notez qu'il est nécessairement borné entre -4 et 4. ${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage \alpha }$${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\style d'affichage \epsilon }$

L'équation de Harper a la propriété particulière que les solutions dépendent de la rationalité de . En imposant une périodicité sur , on peut montrer que si (un nombre rationnel ), où et sont des nombres premiers distincts , il existe exactement des bandes d'énergie. Pour les grands , les bandes d'énergie convergent vers des bandes d'énergie fines correspondant aux niveaux de Landau . ${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage \alpha =P/Q}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage Q}$${\style d'affichage Q}$${\displaystyle Q\gg P}$

Gregory Wannier a montré qu'en tenant compte de la densité d'états , on peut obtenir une équation diophantienne qui décrit le système, comme

${\displaystyle {\frac {n}{n_{0}}}=S+T\alpha }$

où

${\displaystyle n=\int _{-4}^{\epsilon _{\rm {F}}}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon \;;\;n_{0}=\int _{-4}^{4}\rho (\epsilon )\mathrm {d} \epsilon }$

où et sont des nombres entiers, et est la densité d'états à un . Ici compte le nombre d'états jusqu'à l' énergie de Fermi , et correspond aux niveaux de la bande complètement remplie (de à ). Cette équation caractérise toutes les solutions de l'équation de Harper. Plus important encore, on peut en déduire que lorsque est un nombre irrationnel , il existe une infinité de solutions pour . ${\style d'affichage S}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage \rho (\epsilon )}$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n_{0}}$${\style d'affichage \epsilon =-4}$${\style d'affichage \epsilon =4}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$

L'union de tous forme une fractale auto-similaire qui est discontinue entre les valeurs rationnelles et irrationnelles de . Cette discontinuité n'est pas physique, et la continuité est récupérée pour une incertitude finie dans ou pour des réseaux de taille finie. L'échelle à laquelle le papillon peut être résolu dans une expérience réelle dépend des conditions spécifiques du système. ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }}$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage B}$

Diagramme de phase, conductance et topologie

Le diagramme de phase des électrons dans un réseau carré à deux dimensions, en fonction d'un champ magnétique perpendiculaire, du potentiel chimique et de la température, a une infinité de phases. Thouless et ses collègues ont montré que chaque phase est caractérisée par une conductance Hall intégrale, où toutes les valeurs entières sont autorisées. Ces nombres entiers sont appelés nombres de Chern .

Les références