Groupe profini - Profinite group

En mathématiques , les groupes profinis sont des groupes topologiques qui sont en un certain sens assemblés à partir de groupes finis . Ils partagent de nombreuses propriétés avec leurs quotients finis : par exemple, le théorème de Lagrange et les théorèmes de Sylow se généralisent bien aux groupes profinis.

Une généralisation non compacte d'un groupe profini est un groupe localement profini .

Définition

Les groupes profinis peuvent être définis de deux manières équivalentes.

Première définition

Un groupe profini est un groupe topologique isomorphe à la limite inverse d'un système inverse de groupes finis discrets . Dans ce contexte, un système inverse se compose d'un ensemble dirigé , d'une collection de groupes finis , chacun ayant la topologie discrète, et d'une collection d' homomorphismes tels que l'identité sur et la collection satisfait la propriété de composition . La limite inverse est l'ensemble : ${\style d'affichage (je,\leq )}$${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{G_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$${\displaystyle f_{i}^{i}}$${\displaystyle G_{i}}$${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$

${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}G_{i}:f_{i}^{j }(g_{j})=g_{i}{\text{ pour tous }}j\geq i\right\}}$

équipé de la topologie de produit relative . En termes catégoriques , il s'agit d'un cas particulier de construction limite cofiltrée . On peut aussi définir la limite inverse en termes de propriété universelle .

Deuxième définition

Un groupe profini est un groupe topologique de Hausdorff , compact et totalement déconnecté : c'est-à-dire un groupe topologique qui est aussi un espace de Stone . Compte tenu de cette définition, il est possible de récupérer la première définition en utilisant la limite inverse où s'étend à travers les sous-groupes normaux ouverts d' inclusion ordonnée par (inversée). ${\displaystyle \varprojlim G/N}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage G}$

Exemples

• Les groupes finis sont profinis, si on leur donne la topologie discrète .
• Le groupe des entiers p- adiques sous addition est profini (en fait procyclique ). C'est la limite inverse des groupes finis où n s'étend sur tous les nombres naturels et les cartes naturelles pour sont utilisées pour le processus limite. La topologie sur ce groupe profini est la même que la topologie résultant de l'évaluation p-adique sur .${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$${\style d'affichage n\geq m}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Le groupe des entiers profinis est la limite inverse des groupes finis où et nous utilisons les applications pour dans le processus limite. Ce groupe est le produit de tous les groupes , et c'est le groupe de Galois absolu de tout corps fini.${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\style d'affichage m|n}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• La théorie galoisienne des extensions de champ de degré infini donne naturellement naissance à des groupes de Galois profinis. Plus précisément, si L / K est une extension galoisienne , nous considérons le groupe G = Gal( L / K ) constitué de tous les automorphismes de corps de L qui gardent tous les éléments de K fixes. Ce groupe est la limite inverse des groupes finis Gal( F / K ), où F s'étend sur tous les corps intermédiaires tels que F / K est une extension finie de Galois. Pour le processus limite, nous utilisons la restriction homomorphismes Gal ( F ₁ / K ) → Gal ( F ₂ / K ), où F ₂ ⊆ F ₁ . La topologie que nous obtenons sur Gal( L / K ) est connue sous le nom de topologie de Krull d' après Wolfgang Krull . Waterhouse (1974) a montré que chaque groupe profini est isomorphe à un groupe résultant de la théorie de Galois d'un certain champ K , mais on ne peut pas (encore) contrôler quel champ K sera dans ce cas. En fait, pour de nombreux corps K on ne sait pas en général précisément quels groupes finis apparaissent comme groupes de Galois sur K . C'est le problème de Galois inverse pour un corps  K . (Pour certains champs K, le problème de Galois inverse est résolu, comme le champ des fonctions rationnelles dans une variable sur les nombres complexes.) Tous les groupes profinis ne se présentent pas comme un groupe de Galois absolu d'un champ.
• Les groupes fondamentaux considérés en géométrie algébrique sont aussi des groupes profinis, grosso modo parce que l'algèbre ne peut « voir » que des revêtements finis d'une variété algébrique . Les groupes fondamentaux de la topologie algébrique , cependant, ne sont en général pas profinis : pour tout groupe prescrit, il existe un complexe CW à 2 dimensions dont le groupe fondamental lui est égal (fixer une présentation du groupe ; le complexe CW a une cellule 0, une boucle pour chaque générateur, et une 2-cellule pour chaque relation, dont la carte de rattachement correspond à la relation de manière "évidente": par exemple pour la relation abc=1 , la carte de rattachement trace un générateur des groupes fondamentaux des boucles pour a , b et c dans l'ordre. Le calcul suit le théorème de van Kampen .)
• Le groupe d'automorphismes d'un arbre à racines localement finies est profini.

Propriétés et faits

• Tout produit de (arbitrairement nombreux) groupes profinis est profini; la topologie issue de la profondeur s'accorde avec la topologie du produit . La limite inverse d'un système inverse de groupes profinis avec des cartes de transition continues est profinie et le foncteur limite inverse est exact sur la catégorie des groupes profinis. De plus, être profini est une propriété d'extension.
• Tout sous- groupe fermé d'un groupe profini est lui-même profini ; la topologie issue de la profondeur s'accorde avec la topologie du sous - espace . Si N est un sous-groupe normal fermé d'un groupe profini G , alors le groupe facteur G / N est profini ; la topologie issue de la profondeur s'accorde avec la topologie du quotient .
• Puisque tout groupe profini G est Hausdorff compact, nous avons une mesure de Haar sur G , qui nous permet de mesurer la "taille" des sous-ensembles de G , de calculer certaines probabilités et d'intégrer des fonctions sur G .
• Un sous-groupe d'un groupe profini est ouvert si et seulement s'il est fermé et d' indice fini .
• Selon un théorème de Nikolay Nikolov et Dan Segal , dans tout groupe profini topologiquement généré (c'est-à-dire un groupe profini qui a un sous -groupe dense de génération finie ), les sous-groupes d'indice fini sont ouverts. Ceci généralise un résultat antérieur analogue de Jean-Pierre Serre pour les groupes pro-p de génération finie topologiquement . La preuve utilise la classification des groupes simples finis .
• Comme corollaire facile du résultat de Nikolov–Segal ci-dessus, tout homomorphisme de groupe discret surjectif φ :  G → H entre les groupes profinis G et H est continu tant que G est de génération finie topologiquement. En effet, tout sous-groupe ouvert de H est d'indice fini, donc sa préimage dans G est aussi d'indice fini, donc elle doit être ouverte.
• Supposons que G et H sont des groupes profinis de génération finie topologiquement qui sont isomorphes en tant que groupes discrets par un isomorphisme . Alors ι est bijectif et continu par le résultat ci-dessus. De plus, ι ⁻¹ est aussi continu, donc ι est un homéomorphisme. Par conséquent, la topologie sur un groupe profini topologiquement généré de manière finie est uniquement déterminée par sa structure algébrique .

Achèvement profini

Étant donné un groupe arbitraire , il existe un groupe profini connexe , l' achèvement profini de . Elle est définie comme la limite inverse des groupes , où parcourt les sous-groupes normaux en d' indice fini (ces sous-groupes normaux sont partiellement ordonnés par inclusion, ce qui se traduit par un système inverse d'homomorphismes naturels entre les quotients). Il existe un homomorphisme naturel , et l' image de sous cet homomorphisme est dense en . L'homomorphisme est injectif si et seulement si le groupe est fini de façon résiduelle (c'est-à-dire , où l'intersection passe par tous les sous-groupes normaux d'indice fini). L'homomorphisme est caractérisé par la propriété universelle suivante : étant donné tout groupe profini et tout homomorphisme de groupe , il existe un unique homomorphisme de groupe continu avec . ${\style d'affichage G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle G/N}$${\style d'affichage N}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle \eta :G\rightarrow {\widehat {G}}}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\style d'affichage \eta }$${\style d'affichage G}$${\displaystyle \bigcap {N}=1}$${\style d'affichage \eta }$${\style d'affichage H}$${\displaystyle f:G\rightarrow H}$${\displaystyle g :{\widehat {G}}\rightarrow H}$${\displaystyle f=g\eta }$

Groupes ind-finis

Il existe une notion de groupe ind-fini , qui est le dual conceptuel des groupes profinis ; c'est-à-dire qu'un groupe G est ind-fini s'il est la limite directe d'un système inductif de groupes finis. (En particulier, c'est un ind-groupe .) La terminologie usuelle est différente : un groupe G est dit localement fini si tout sous - groupe fini est fini. Cela équivaut, en fait, à être « ind-fini ».

En appliquant la dualité de Pontryagin , on peut voir que les groupes abéliens profinis sont en dualité avec des groupes abéliens discrets localement finis. Ces derniers ne sont que les groupes de torsion abéliens .

Groupes profinis projectifs

Un groupe profini est projectif s'il a la propriété de levage pour chaque extension. Cela revient à dire que G est projectif si pour tout morphisme surjectif d'un profini H → G il existe une section G → H .

La projectivité pour un groupe profini G est équivalente à l'une des deux propriétés :

• la dimension cohomologique cd( G ) 1 ;
• pour tout nombre premier p, les p -sous-groupes de Sylow de G sont des pro- p -groupes libres.

Tout groupe profini projectif peut être réalisé comme un groupe de Galois absolu d'un corps pseudo algébriquement clos . Ce résultat est dû à Alexander Lubotzky et Lou van den Dries .

Groupe procyclique

Un groupe profini est procyclique s'il est généré topologiquement par un seul élément, c'est-à-dire du sous-groupe . ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }}}$${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$

Un groupe topologique est procyclique ssi où s'étend sur tous les nombres premiers rationnels et est isomorphe à ou . ${\style d'affichage G}$${\displaystyle G\cong \prod _{p}G_{p}}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle G_{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} }$

Voir également

• Groupe localement cyclique
• Groupe pro-p
• Entier profini
• Propriété résiduelle (mathématiques)
• Groupe résiduel fini
• Achèvement Hausdorff

Les références

• Fried, Michael D.; Jarden, Moshé (2008). Arithmétique de champ . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Fougère. 11 (3e édition révisée). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001 .
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "Sur les groupes profinis générés de manière finie. I. une forte complétude et des limites uniformes". arXiv : math.GR/0604399 ..
• Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "Sur les groupes profinis de génération finie. II. produits dans les groupes quasisimples". arXiv : math.GR/0604400 ..
• Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF) , conférence donnée à Oberwolfach.
• Lubotzky, Alexander (2001), « Book Review », Bulletin of the American Mathematical Society , 38 (4) : 475–479, doi : 10.1090/S0273-0979-01-00914-4. Revue de plusieurs livres sur les groupes profinis.
• Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne , Notes de cours en mathématiques (en français), 5 (5 éd.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, MR  1324577 , Zbl  0812.2002. Serre, Jean-Pierre (1997), Cohomologie galoisienne , Traduit par Patrick Ion, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Zbl  0902.12004
• Waterhouse, William C. (1974), "Profinite groups are Galois groups", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 42 (2) : 639–640, doi : 10.2307/2039560 , JSTOR  2039560 , Zbl  0281.20031.