Analyse quaternionique - Quaternionic analysis

En mathématiques , l' analyse quaternionique est l'étude des fonctions avec des quaternions comme domaine et/ou plage. De telles fonctions peuvent être appelées fonctions d'une variable quaternion tout comme les fonctions d'une variable réelle ou d'une variable complexe sont appelées.

Comme pour l'analyse complexe et réelle , il est possible d'étudier les concepts d' analyticité , d' holomorphie , d' harmonie et de conformité dans le contexte des quaternions. Contrairement aux nombres complexes et comme les réels , les quatre notions ne coïncident pas.

Propriétés

Les projections d'un quaternion sur sa partie scalaire ou sur sa partie vectorielle, ainsi que les fonctions module et verseur , sont des exemples fondamentaux pour comprendre la structure du quaternion.

Un exemple important d'une fonction d'une variable de quaternion est

${\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}}$

qui fait tourner la partie vectorielle de q de deux fois l'angle représenté par u .

L' inverse multiplicatif du quaternion est une autre fonction fondamentale, mais comme avec d'autres systèmes de nombres, et les problèmes connexes sont généralement exclus en raison de la nature de la division par zéro . ${\displaystyle f_{2}(q)=q^{-1}}$${\style d'affichage f_{2}(0)}$

Les transformations affines des quaternions ont la forme

${\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .}$

Les transformations fractionnaires linéaires des quaternions peuvent être représentées par des éléments de l' anneau matriciel opérant sur la ligne projective sur . Par exemple, les correspondances où et sont des verseurs fixes servent à produire les mouvements de l'espace elliptique . ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle q\mapsto uqv,}$${\displaystyle u}$${\style d'affichage v}$

La théorie des variables quaternions diffère à certains égards de la théorie des variables complexes. Par exemple : La cartographie complexe conjuguée du plan complexe est un outil central mais nécessite l'introduction d'une opération non arithmétique, non analytique . En effet, la conjugaison change l' orientation des figures planes, chose que les fonctions arithmétiques ne changent pas.

Contrairement au complexe conjugué , la conjugaison quaternion peut être exprimée arithmétiquement, comme${\displaystyle f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}$

Cette équation peut être prouvée à partir de la base {1, i, j, k} :

${\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1 }{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}$.

Par conséquent, puisque est linéaire , ${\style d'affichage f_{4}}$

${\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_ {4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

Le succès de l' analyse complexe dans la fourniture d'une riche famille de fonctions holomorphes pour le travail scientifique a engagé certains chercheurs dans des efforts pour étendre la théorie planaire, basée sur les nombres complexes, à une étude dans 4 espaces avec des fonctions d'une variable quaternionique. Ces efforts ont été résumés dans Deavours (1973) .

Bien qu'apparaissant comme une union de plans complexes , la proposition suivante montre que l'extension de fonctions complexes nécessite une attention particulière : ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Soit une fonction d'une variable complexe, . Supposons également que soit une fonction paire de et que soit une fonction impaire de . Alors est une extension de à une variable quaternion où et . Ensuite, laissez représenter le conjugué de , de sorte que . L'extension à sera terminée lorsqu'il sera montré que . En effet, par hypothèse ${\style d'affichage f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$${\style d'affichage z=x+iy}$${\displaystyle u}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage v}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}$${\style d'affichage f_{5}}$${\style d'affichage q=x+an}$${\style d'affichage r^{2}=-1}$${\displaystyle r\in \mathbb {H} }$${\displaystyle r^{*}}$${\style d'affichage r}$${\displaystyle q=x-yr^{*}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-an^{*})}$

${\displaystyle u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }$ on obtient

${\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y )=f_{5}(q).}$

Homographies

Dans ce qui suit, les deux points et les crochets sont utilisés pour désigner des vecteurs homogènes .

La rotation autour de l'axe r est une application classique des quaternions à la cartographie spatiale . En termes d' homographie , la rotation s'exprime

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}$

où est un verseur . Si p * = − p , alors la traduction est exprimée par ${\displaystyle u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$${\displaystyle q\mapsto q+p}$

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].}$

La rotation et la translation xr le long de l'axe de rotation sont données par

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].}$

Une telle cartographie s'appelle un déplacement de vis . En cinématique classique , le théorème de Chasles stipule que tout mouvement de corps rigide peut être affiché comme un déplacement de vis. De même que la représentation d'une isométrie plan euclidien comme une rotation est une question d'arithmétique de nombres complexes, de même le théorème de Chasles, et l' axe de vis requis, est une question d'arithmétique de quaternions avec homographies : Soit s un verseur droit, ou racine carrée de moins un, perpendiculaire à r , avec t = rs .

Considérons l'axe passant par s et parallèle à r . La rotation à son sujet est exprimée par la composition d'homographie

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}$

où ${\displaystyle z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .}$

Maintenant dans le ( s,t )-plan le paramètre trace un cercle dans le demi-plan${\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}$${\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}$

Tout p dans ce demi-plan se trouve sur un rayon de l'origine à travers le cercle et peut être écrit${\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace }$${\displaystyle p=au^{-1}z,\ \ a>0.}$

Alors up = az , avec comme homographie exprimant la conjugaison d'une rotation par une translation p. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}}$

La dérivée des quaternions

Depuis Hamilton, on s'est rendu compte qu'exiger l'indépendance de la dérivée du chemin que suit une différentielle vers zéro est trop restrictif : cela exclut même de la différenciation. Par conséquent, une dérivée dépendante de la direction est nécessaire pour les fonctions d'une variable de quaternion. Considérer l'incrément de la fonction polynomiale de l'argument quaternionique montre que l'incrément est une carte linéaire de l'incrément de l'argument. A partir de là, une définition peut être faite : ${\style d'affichage f(q)=q^{2}}$

Une carte continue est dite dérivable sur l'ensemble , si , en tout point , l'incrément de la carte peut être représenté par ${\displaystyle f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$${\displaystyle U\sous-ensemble \mathbb {H} }$${\style d'affichage x\dans U}$${\style d'affichage f}$

${\style d'affichage f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)}$

où

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

est une application linéaire de l'algèbre des quaternions et est une application continue telle que ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0}$

La carte linéaire est appelée la dérivée de la carte . ${\style d'affichage {\frac {df(x)}{dx}}}$${\style d'affichage f}$

Sur les quaternions, la dérivée peut être exprimée sous la forme

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1} f(x)}{dx}}}$

Par conséquent, le différentiel de la carte peut être exprimé comme suit avec des crochets de chaque côté. ${\style d'affichage f}$

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left(\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\ frac {d_{s1}f(x)}{dx}}\right)\circ dx=\sum _{s}{\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac { d_{s1}f(x)}{dx}}}$

Le nombre de termes dans la somme dépendra de la fonction f . Les expressions sont appelées composantes de dérivée. ${\displaystyle {\frac {d_{sp}df(x)}{dx}},p=0,1}$

La dérivée d'une fonction quaternionique détient les égalités suivantes

${\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}\circ h=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+th)-f(x))) }$

${\style d'affichage {\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}+{\frac {dg(x)}{dx }}}$

${\style d'affichage {\frac {df(x)g(x)}{dx}}={\frac {df(x)}{dx}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {dg (x)}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {df(x)g(x)}{dx}}\circ h=\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)\ g(x )+f(x)\gauche({\frac {dg(x)}{dx}}\circ h\right)}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}=a\ {\frac {df(x)}{dx}}\ b}$

${\displaystyle {\frac {daf(x)b}{dx}}\circ h=a\left({\frac {df(x)}{dx}}\circ h\right)b}$

Pour la fonction f ( x ) = axb , la dérivée est

${\displaystyle {\frac {daxb}{dx}}=a\fois b}$

${\displaystyle dy={\frac {daxb}{dx}}\circ dx=a\,dx\,b}$

et donc les composants sont :

${\displaystyle {\frac {d_{10}axb}{dx}}=a}$

${\displaystyle {\frac {d_{11}axb}{dx}}=b}$

De même, pour la fonction f ( x ) = x ² , la dérivée est

${\displaystyle {\frac {dx^{2}}{dx}}=x\otimes 1+1\otimes x}$

${\displaystyle dy={\frac {dx^{2}}{dx}}\circ dx=x\,dx+dx\,x}$

et les composants sont :

${\displaystyle {\frac {d_{10}x^{2}}{dx}}=x}$		${\displaystyle {\frac {d_{11}x^{2}}{dx}}=1}$
${\displaystyle {\frac {d_{20}x^{2}}{dx}}=1}$		${\displaystyle {\frac {d_{21}x^{2}}{dx}}=x}$

Enfin, pour la fonction f ( x ) = x ⁻¹ , la dérivée est

${\displaystyle {\frac {dx^{-1}}{dx}}=-x^{-1}\otimes x^{-1}}$

${\displaystyle dy={\frac {dx^{-1}}{dx}}\circ dx=-x^{-1}dx\,x^{-1}}$

et les composants sont :

${\displaystyle {\frac {d_{10}x^{-1}}{dx}}=-x^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {d_{11}x^{-1}}{dx}}=x^{-1}}$

Voir également

• Transformée de Cayley

Remarques

Citations

Les références

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