Symétrie icosaédrique - Icosahedral symmetry

Groupes de points en trois dimensions

Symétrie involutive C s , (*) [ ] =	Symétrie cyclique C nv , (*nn) [n] =	Symétrie dièdre D nh , (*n22) [n,2] =
Groupe polyédrique , [n,3], (*n32)
Symétrie tétraédrique T d , (*332) [3,3] =	Symétrie octaédrique O h , (*432) [4,3] =	Symétrie icosaédrique I h , (*532) [5,3] =

Un icosaèdre régulier a 60 symétries de rotation (ou préservant l'orientation) et un ordre de symétrie de 120, y compris les transformations qui combinent une réflexion et une rotation. Le dodécaèdre régulier ( dual de l'icosaèdre) et le triacontaèdre rhombique ont le même ensemble de symétries.

Le groupe de symétrie complet (y compris les réflexions) est connu sous le nom de groupe de Coxeter H ₃ , et est également représenté par la notation de Coxeter [5,3] et le diagramme de Coxeter . L'ensemble des symétries préservant l'orientation forme un sous-groupe isomorphe au groupe A ₅ (le groupe alterné sur 5 lettres).

En tant que groupe de points

Outre les deux séries infinies de symétrie prismatique et antiprismatique, la symétrie icosaédrique rotationnelle ou la symétrie icosaédrique chirale des objets chiraux et la symétrie icosaédrique complète ou la symétrie icosaédrique achirale sont les symétries ponctuelles discrètes (ou de manière équivalente, les symétries sur la sphère ) avec les plus grands groupes de symétrie .

La symétrie icosaédrique n'est pas compatible avec la symétrie translationnelle , il n'y a donc pas de groupes ponctuels cristallographiques ou de groupes spatiaux associés .

Schö.	Coxeter		Orbe.	Structure abstraite	Commander
je	[5,3] +		532	Un 5	60
je h	[5,3]		*532	Un 5 ×2	120

Les présentations correspondant à ce qui précède sont :

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

Ceux-ci correspondent aux groupes icosaédriques (rotationnels et pleins) étant les groupes triangulaires (2,3,5) .

La première présentation a été donnée par William Rowan Hamilton en 1856, dans son article sur le calcul icosien .

A noter que d'autres présentations sont possibles, par exemple en groupe alterné (pour I ).

Visualisations

Schoe. ( Orb. )	Notation de Coxeter	Éléments	Diagrammes miroir
			Orthogonal	Projection stéréographique
Je h (*532)	[5,3]	Lignes miroir : 15
moi (532)	[5,3] +	Points de giration : 12 5 20 3 30 2

Structure du groupe

Les bords d'un composé sphérique de cinq octaèdres représentent les 15 plans miroirs sous forme de grands cercles colorés. Chaque octaèdre peut représenter 3 plans miroirs orthogonaux par ses arêtes.
La symétrie pyritoédrique est un sous-groupe d'indice 5 de la symétrie icosaédrique, avec 3 lignes de réflexion vertes orthogonales et 8 points de giration rouges d'ordre 3. Il existe 5 orientations différentes de symétrie pyritoédrique.

Les le groupe de rotation icosaédrique I est d'ordre 60. Le groupeIestisomorpheàA₅, legroupe alternédes permutations paires de cinq objets. Cet isomorphisme peut être réalisé parIagissant sur divers composés,particulier lecomposé de cinq cubes(qui inscrire dans ledodécaèdre), lecomposé de cinq octaèdres, ou l'un des deuxcomposés de cinq tétraèdres(qui sonténantiomorphes, et inscrire dans le dodécaèdre).

Le groupe contient 5 versions de T _h avec 20 versions de D ₃ (10 axes, 2 par axe), et 6 versions de D ₅ .

Les le groupe icosaédrique complet I _h est d'ordre 120. Il aIcommesous-groupe normald'indice2. Le groupeI _h est isomorphe àI×Z₂, ouA₅×Z₂, avec l'inversion au centre correspondant à l'élément (identité, -1), oùZ₂s'écrit multiplicativement.

I _h agit sur le composé de cinq cubes et le composé de cinq octaèdres , mais −1 agit comme l'identité (car les cubes et les octaèdres sont à symétrie centrale). Il agit sur le composé de dix tétraèdres : I agit sur les deux moitiés chirales ( composés de cinq tétraèdres ), et -1 échange les deux moitiés. Notamment, il n'agit pas comme S ₅ , et ces groupes ne sont pas isomorphes ; voir ci-dessous pour plus de détails.

Le groupe contient 10 versions de D _3d et 6 versions de D _5d (symétries comme des antiprismes).

I est également isomorphe à PSL ₂ (5), mais I _h n'est pas isomorphe à SL ₂ (5).

Isomorphisme de I avec A ₅

Il est utile de décrire explicitement à quoi ressemble l'isomorphisme entre I et A ₅ . Dans le tableau suivant, les permutations P _i et Q _i agissent respectivement sur 5 et 12 éléments, tandis que les matrices de rotation M _i sont les éléments de I . Si P _k est le produit de la permutation P _i et de l'application de P _j , alors pour les mêmes valeurs de i , j et k , il est également vrai que Q _k est le produit de Q _i et de l'application de Q _j , et aussi que prémultiplier un vecteur par M _k revient à prémultiplier ce vecteur par M _i puis à prémultiplier ce résultat avec M _j , c'est-à-dire M _k = M _j × M _i . Puisque les permutations P _i sont toutes les 60 permutations paires de 12345, la correspondance biunivoque est rendue explicite, donc l'isomorphisme aussi.

Matrice de rotation	Permutation de 5 sur 1 2 3 4 5	Permutation de 12 sur 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{1}}$ = ()	${\displaystyle Q_{1}}$ = ()
${\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{2}}$ = (3 4 5)	${\displaystyle Q_{2}}$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
${\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2 }}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{3}}$ = (3 5 4)	${\displaystyle Q_{3}}$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
${\displaystyle M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi } {2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{4}}$ = (2 3)(4 5)	${\displaystyle Q_{4}}$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
${\displaystyle M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{5}}$ = (2 3 4)	${\displaystyle Q_{5}}$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
${\displaystyle M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2} }\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2 }}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{6}}$ = (2 3 5)	${\displaystyle Q_{6}}$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
${\displaystyle M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{7}}$ = (2 4 3)	${\displaystyle Q_{7}}$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
${\displaystyle M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{8}}$ = (2 4 5)	${\displaystyle Q_{8}}$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
${\displaystyle M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi } }&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{9}}$ = (2 4)(3 5)	${\displaystyle Q_{9}}$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
${\displaystyle M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}} \\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2} }&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{10}}$ = (2 5 3)	${\displaystyle Q_{10}}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
${\displaystyle M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{11}}$ = (2 5 4)	${\displaystyle Q_{11}}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
${\displaystyle M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}} \\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{12}}$ = (2 5)(3 4)	${\displaystyle Q_{12}}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
${\displaystyle M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{13}}$ = (1 2)(4 5)	${\displaystyle Q_{13}}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
${\displaystyle M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2} }&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{14}}$ = (1 2)(3 4)	${\displaystyle Q_{14}}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
${\displaystyle M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2 }}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{15}}$ = (1 2)(3 5)	${\displaystyle Q_{15}}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
${\displaystyle M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2 }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{16}}$ = (1 2 3)	${\displaystyle Q_{16}}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
${\displaystyle M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2} }\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}} &-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{17}}$ = (1 2 3 4 5)	${\displaystyle Q_{17}}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
${\displaystyle M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\ phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{18}}$ = (1 2 3 5 4)	${\displaystyle Q_{18}}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
${\displaystyle M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2 }}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{ 2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{19}}$ = (1 2 4 5 3)	${\displaystyle Q_{19}}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
${\displaystyle M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{20}}$ = (1 2 4)	${\displaystyle Q_{20}}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
${\displaystyle M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}} \\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}} &{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{21}}$ = (1 2 4 3 5)	${\displaystyle Q_{21}}$ = (1 2 9 11 7) (3 6 12 10 4)
${\displaystyle M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{22}}$ = (1 2 5 4 3)	${\displaystyle Q_{22}}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
${\displaystyle M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{23}}$ = (1 2 5)	${\displaystyle Q_{23}}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
${\displaystyle M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{ 2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{24}}$ = (1 2 5 3 4)	${\displaystyle Q_{24}}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
${\displaystyle M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2 }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{25}}$ = (1 3 2)	${\displaystyle Q_{25}}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
${\displaystyle M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\ \-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi } }&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{26}}$ = (1 3 4 5 2)	${\displaystyle Q_{26}}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
${\displaystyle M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2} }\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{27}}$ = (1 3 5 4 2)	${\displaystyle Q_{27}}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
${\displaystyle M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi } {2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{28}}$ = (1 3)(4 5)	${\displaystyle Q_{28}}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
${\displaystyle M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2} }\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1} {2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{29}}$ = (1 3 4)	${\displaystyle Q_{29}}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
${\displaystyle M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{ 2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{30}}$ = (1 3 5)	${\displaystyle Q_{30}}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
${\displaystyle M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{31}}$ = (1 3)(2 4)	${\displaystyle Q_{31}}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
${\displaystyle M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2} }\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2} }&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{32}}$ = (1 3 2 4 5)	${\displaystyle Q_{32}}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
${\displaystyle M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\ \{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2} }&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{33}}$ = (1 3 5 2 4)	${\displaystyle Q_{33}}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
${\displaystyle M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\ \{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}& {\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{34}}$ = (1 3)(2 5)	${\displaystyle Q_{34}}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
${\displaystyle M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi } }\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{35}}$ = (1 3 2 5 4)	${\displaystyle Q_{35}}$ = (1 11 2 7 9) (3 10 6 4 12)
${\displaystyle M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2} }\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{ 2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{36}}$ = (1 3 4 2 5)	${\displaystyle Q_{36}}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
${\displaystyle M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{37}}$ = (1 4 5 3 2)	${\displaystyle Q_{37}}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
${\displaystyle M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{38}}$ = (1 4 2)	${\displaystyle Q_{38}}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
${\displaystyle M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{ 2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{39}}$ = (1 4 3 5 2)	${\displaystyle Q_{39}}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
${\displaystyle M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2 }}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{ 2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{40}}$ = (1 4 3)	${\displaystyle Q_{40}}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
${\displaystyle M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{41}}$ = (1 4 5)	${\displaystyle Q_{41}}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
${\displaystyle M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}} \\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2 }}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{42}}$ = (1 4)(3 5)	${\displaystyle Q_{42}}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
${\displaystyle M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2 \phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{43}}$ = (1 4 5 2 3)	${\style d'affichage Q_{43}}$ = (1 9 7 2 11) (3 12 4 6 10)
${\displaystyle M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2} }\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{ 2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{44}}$ = (1 4)(2 3)	${\displaystyle Q_{44}}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
${\displaystyle M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\ \-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2} }&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{45}}$ = (1 4 2 3 5)	${\displaystyle Q_{45}}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
${\displaystyle M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}} &-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{46}}$ = (1 4 2 5 3)	${\displaystyle Q_{46}}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
${\displaystyle M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2 }}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{47}}$ = (1 4 3 2 5)	${\displaystyle Q_{47}}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
${\displaystyle M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{48}}$ = (1 4)(2 5)	${\displaystyle Q_{48}}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
${\displaystyle M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2} }&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{49}}$ = (1 5 4 3 2)	${\displaystyle Q_{49}}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
${\displaystyle M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{50}}$ = (1 5 2)	${\displaystyle Q_{50}}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
${\displaystyle M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}} \\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}} &{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{51}}$ = (1 5 3 4 2)	${\displaystyle Q_{51}}$ = (1 7 11 9 2) (3 4 10 12 6)
${\displaystyle M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }} \\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2 \phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{52}}$ = (1 5 3)	${\displaystyle Q_{52}}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
${\displaystyle M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{53}}$ = (1 5 4)	${\displaystyle Q_{53}}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
${\displaystyle M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{ 2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{54}}$ = (1 5)(3 4)	${\displaystyle Q_{54}}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
${\displaystyle M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\ \-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2} }&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{55}}$ = (1 5 4 2 3)	${\displaystyle Q_{55}}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
${\displaystyle M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi } }\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2 \phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{56}}$ = (1 5)(2 3)	${\displaystyle Q_{56}}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
${\displaystyle M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2} }\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{ 2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{57}}$ = (1 5 2 3 4)	${\displaystyle Q_{57}}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
${\displaystyle M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}} \\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi } {2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{58}}$ = (1 5 2 4 3)	${\displaystyle Q_{58}}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
${\displaystyle M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}} \\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2 }}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{59}}$ = (1 5 3 2 4)	${\displaystyle Q_{59}}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
${\displaystyle M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\style d'affichage P_{60}}$ = (1 5)(2 4)	${\displaystyle Q_{60}}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Groupes souvent confondus

Les groupes suivants ont tous l'ordre 120, mais ne sont pas isomorphes :

• S ₅ , le groupe symétrique sur 5 éléments
• I _h , le groupe icosaédrique complet (sujet de cet article, également connu sous le nom de H ₃ )
• 2 I , le groupe binaire icosaédrique

Ils correspondent aux courtes suites exactes suivantes (dont cette dernière ne se dédouble pas) et produisent

${\displaystyle 1\à A_{5}\à S_{5}\à Z_{2}\à 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\fois Z_{2}}$

${\displaystyle 1\à Z_{2}\à 2I\à A_{5}\à 1}$

Dans les mots,

• ${\style d'affichage A_{5}}$est un sous-groupe normal de${\style d'affichage S_{5}}$
• ${\style d'affichage A_{5}}$est un facteur de , qui est un produit direct${\displaystyle I_{h}}$
• ${\style d'affichage A_{5}}$est un groupe quotient de${\style d'affichage 2I}$

Notez que a une représentation tridimensionnelle irréductible exceptionnelle (comme le groupe de rotation icosaédrique), mais n'a pas de représentation tridimensionnelle irréductible, correspondant au groupe icosaédrique complet n'étant pas le groupe symétrique. ${\style d'affichage A_{5}}$${\style d'affichage S_{5}}$

Ceux-ci peuvent également être liés à des groupes linéaires sur le corps fini à cinq éléments, qui présentent directement les sous-groupes et les groupes couvrants ; aucun de ceux-ci n'est le groupe icosaédrique complet :

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$le groupe linéaire spécial projectif , voir ici pour une preuve;
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$le groupe linéaire général projectif ;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$le groupe linéaire spécial .

Cours de conjugaison

Les 120 symétries se répartissent en 10 classes de conjugaison.

cours de conjugaison

je

classes supplémentaires de I h

identité, ordre 1 12 × rotation de ±72°, ordre 5, autour des 6 axes passant par les centres des faces du dodécaèdre 12 × rotation de ±144°, ordre 5, autour des 6 axes passant par les centres des faces du dodécaèdre 20 × rotation de ±120°, ordre 3, autour des 10 axes passant par les sommets du dodécaèdre 15 × rotation de 180°, ordre 2, autour des 15 axes passant par les milieux des arêtes du dodécaèdre

inversion centrale, ordre 2 12 × réflexion du rotor de ±36°, ordre 10, autour des 6 axes passant par les centres des faces du dodécaèdre 12 × réflexion du rotor de ±108°, ordre 10, autour des 6 axes passant par les centres des faces du dodécaèdre 20 × réflexion du rotor de ±60°, ordre 6, autour des 10 axes passant par les sommets du dodécaèdre 15 × réflexion, ordre 2, à 15 plans à travers les bords du dodécaèdre

Sous-groupes du groupe de symétrie icosaédrique complet

Chaque ligne du tableau suivant représente une classe de sous-groupes conjugués (c'est-à-dire géométriquement équivalents). La colonne "Mult." (multiplicité) donne le nombre de sous-groupes différents dans la classe de conjugaison. Explication des couleurs : vert = les groupes générés par les réflexions, rouge = les groupes chiraux (préservant l'orientation), qui ne contiennent que des rotations.

Les groupes sont décrits géométriquement en termes de dodécaèdre. L'abréviation "hts(edge)" signifie "demi-tour permutant cette arête avec son arête opposée", et de même pour "face" et "vertex".

Schön.	Coxeter		Orbe.	HM	Structure	Cycl.	Commander	Indice	Mult.	La description
je h	[5,3]		*532	53 2/m	A 5 × Z 2		120	1	1	groupe complet
J 2h	[2,2]		*222	mmm	D 4 ×D 2 =D 2 3		8	15	5	fixer deux bords opposés, éventuellement les intervertir
C 5v	[5]		*55	5m	D 10		dix	12	6	réparer un visage
C 3v	[3]		*33	3m	D 6 =S 3		6	20	dix	fixer un sommet
C 2v	[2]		*22	2 mm	D 4 =D 2 2		4	30	15	fixer un bord
C s	[ ]		*	2 ou m	D 2		2	60	15	réflexion permutant deux extrémités d'une arête
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 × Z 2		24	5	5	groupe pyritoédrique
J 5j	[2 + ,10]		2*5	10 m2	D 20 =Z 2 ×D 10		20	6	6	fixation de deux faces opposées, éventuellement permutation
D 3d	[2 + ,6]		2*3	3 mètres	D 12 =Z 2 ×D 6		12	dix	dix	fixer deux sommets opposés, éventuellement les intervertir
D 1j = C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	D 4 = Z 2 × D 2		4	30	15	demi-tour autour du milieu du bord, plus inversion centrale
S 10	[2 + ,10 + ]		5×	5	Z 10 =Z 2 ×Z 5		dix	12	6	rotations d'un visage, plus inversion centrale
S 6	[2 + ,6 + ]		3×	3	Z 6 =Z 2 ×Z 3		6	20	dix	rotations autour d'un sommet, plus inversion centrale
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	Z 2		2	60	1	renversement central
je	[5,3] +		532	532	Un 5		60	2	1	toutes les rotations
T	[3,3] +		332	332	Un 4		12	dix	5	rotations d'un tétraèdre contenu
D 5	[2,5] +		522	522	D 10		dix	12	6	rotations autour du centre d'un visage, et hts(visage)
D 3	[2,3] +		322	322	D 6 =S 3		6	20	dix	rotations autour d'un sommet, et hts(sommet)
D 2	[2,2] +		222	222	D 4 =Z 2 2		4	30	15	demi-tour autour du milieu du bord, et hts(bord)
C 5	[5] +		55	5	Z 5		5	24	6	rotations autour d'un centre de visage
C 3	[3] +		33	3	Z 3 = A 3		3	40	dix	rotations autour d'un sommet
C 2	[2] +		22	2	Z 2		2	60	15	demi-tour autour du milieu du bord
C 1	[ ] +		11	1	Z 1		1	120	1	groupe trivial

Stabilisateurs de sommet

Les stabilisateurs d'une paire de sommets opposés peuvent être interprétés comme des stabilisateurs de l'axe qu'ils génèrent.

• les stabilisateurs de sommet dans I donnent des groupes cycliques C ₃
• les stabilisateurs de sommet dans I _h donnent des groupes dièdres D ₃
• les stabilisateurs d'une paire opposée de sommets dans I donnent des groupes dièdres D ₃
• les stabilisateurs d'une paire opposée de sommets dans I _h donnent${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

Stabilisateurs de bord

Les stabilisateurs d'une paire d'arêtes opposées peuvent être interprétés comme des stabilisateurs du rectangle qu'ils génèrent.

• les stabilisateurs de bords en I donnent des groupes cycliques Z ₂
• les stabilisateurs d'arêtes dans I _h donnent des quatre groupes de Klein ${\style d'affichage Z_{2}\fois Z_{2}}$
• les stabilisateurs d'une paire d'arêtes dans I donnent les quatre-groupes de Klein ; il y en a 5, donnés par rotation de 180° dans 3 axes perpendiculaires.${\style d'affichage Z_{2}\fois Z_{2}}$
• les stabilisateurs d'une paire d'arêtes dans I _h donnent ; il y en a 5, donnés par des réflexions sur 3 axes perpendiculaires.${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$

Stabilisateurs de visage

Les stabilisateurs d'une paire de faces opposées peuvent être interprétés comme des stabilisateurs de l' anti-prisme qu'ils génèrent.

• les stabilisateurs de face en I donnent des groupes cycliques C ₅
• les stabilisateurs de face dans I _h donnent des groupes dièdres D ₅
• les stabilisateurs d'une paire de faces opposées dans I donnent des groupes dièdres D ₅
• les stabilisateurs d'une paire de faces opposées dans I _h donnent${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

Stabilisateurs de polyèdre

Pour chacun d'eux, il y a 5 copies conjuguées, et l'action de conjugaison donne une application, voire un isomorphisme, . ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$

• les stabilisateurs des tétraèdres inscrits en I sont une copie de T
• les stabilisateurs des tétraèdres inscrits dans I _h sont une copie de T
• les stabilisateurs des cubes inscrits (ou paire opposée de tétraèdres, ou octaèdres) dans I sont une copie de T
• les stabilisateurs des cubes inscrits (ou paire opposée de tétraèdres, ou octaèdres) dans I _h sont une copie de T _h

Groupes électrogènes Coxeter

Le groupe de symétrie icosaédrique complet [5,3] () d'ordre 120 a des générateurs représentés par les matrices de réflexion R ₀ , R ₁ , R ₂ ci-dessous, avec des relations R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ ×R ₂ ) ³ = (R ₀ × R ₂ ) ² = Identité. Le groupe [5,3] ⁺ () d'ordre 60 est généré par deux quelconques des rotations S _0,1 , S _1,2 , S _0,2 . Une réflexion de rotor d'ordre 10 est générée par V _0,1,2 , le produit des 3 réflexions. Dénote ici le nombre d' or . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$

[5,3],

	Réflexions			Rotations			Rotoréflexion
Nom	R 0	R 1	R 2	S 0,1	S 1,2	S 0,2	V 0,1,2
Grouper
Commander	2	2	2	5	3	2	dix
Matrice	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}} \\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2 }}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\ {\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}} &{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\ \{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2 }}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\ \{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2 }}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0) n	${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix }})}$m	(0,1,0) n	${\style d'affichage (0,-1,\phi )}$axe	${\style d'affichage (1-\phi ,0,\phi )}$axe	${\style d'affichage (0,0,1)}$axe

Domaine fondamental

Les domaines fondamentaux pour le groupe de rotation icosaédrique et le groupe icosaédrique complet sont donnés par :

Groupe de rotation icosaédrique I

Groupe icosaédrique complet I h

Les faces du triacontaèdre disdyakis sont le domaine fondamental

Dans le triacontaèdre disdyakis, une face pleine est un domaine fondamental ; d'autres solides avec la même symétrie peuvent être obtenus en ajustant l'orientation des faces, par exemple en aplatissant des sous-ensembles de faces sélectionnés pour combiner chaque sous-ensemble en une seule face, ou en remplaçant chaque face par plusieurs faces, ou une surface courbe.

Polyèdres à symétrie icosaédrique

Polyèdres chiraux

Classer	Symboles	Photo
Archimédien	sr{5,3}
catalan	V3.3.3.3.5

Symétrie icosaédrique complète

Solide platonique	Polyèdres de Kepler-Poinsot		Solides d'Archimède
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
Solide platonique	Polyèdres de Kepler-Poinsot		Solides catalans
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Autres objets à symétrie icosaédrique

• Barth surfaces
• Structure du virus et capside
• En chimie, l' ion dodécaborate ([B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻ ) et la molécule de dodécaèdre (C ₂₀ H ₂₀ )

Cristaux liquides à symétrie icosaédrique

Pour la phase matérielle intermédiaire appelée cristaux liquides, l'existence d'une symétrie icosaédrique a été proposée par H. Kleinert et K. Maki et sa structure a d'abord été analysée en détail dans cet article. Voir l'article de synthèse ici . En aluminium, la structure icosaédrique a été découverte expérimentalement trois ans plus tard par Dan Shechtman , ce qui lui a valu le prix Nobel en 2011.

Géométries associées

La symétrie icosaédrique est équivalente au groupe linéaire spécial projectif PSL(2,5), et est le groupe de symétrie de la courbe modulaire X(5), et plus généralement PSL(2, p ) est le groupe de symétrie de la courbe modulaire X( p ). La courbe modulaire X(5) est géométriquement un dodécaèdre avec une cuspide au centre de chaque face polygonale, ce qui démontre le groupe de symétrie.

Cette géométrie, et le groupe de symétrie associé, a été étudié par Felix Klein en tant que groupes de monodromie d'une surface de Belyi - une surface de Riemann avec une application holomorphe à la sphère de Riemann, ramifiée seulement à 0, 1 et à l'infini (une fonction de Belyi ) - le les cuspides sont les points situés sur l'infini, tandis que les sommets et les centres de chaque arête se situent sur 0 et 1 ; le degré de recouvrement (nombre de feuilles) est égal à 5.

Cela résultait de ses efforts pour donner un cadre géométrique expliquant pourquoi la symétrie icosaédrique est apparue dans la solution de l' équation quintique , avec la théorie donnée dans le célèbre ( Klein 1888 ); une exposition moderne est donnée dans ( Tóth 2002 , Section 1.6, Additional Topic: Klein's Theory of the Icosahedron, p. 66 ).

Les recherches de Klein se sont poursuivies avec sa découverte des symétries d'ordre 7 et d'ordre 11 dans ( Klein & 1878/79b ) et ( Klein 1879 ) (et les revêtements associés de degré 7 et 11) et dessins d'enfants , le premier donnant la quartique de Klein , dont la géométrie associée a un pavage de 24 heptagones (avec une cuspide au centre de chacun). erreur harv : pas de cible : CITEREFKlein1878/79b ( aide )

Des géométries similaires existent pour PSL(2, n ) et des groupes plus généraux pour d'autres courbes modulaires.

Plus exotique, il existe des liaisons particulières entre les groupes PSL(2,5) (ordre 60), PSL(2,7) (ordre 168) et PSL(2,11) (ordre 660), qui admettent aussi des interprétations géométriques – PSL (2,5) est les symétries de l'icosaèdre (genre 0), PSL(2,7) de la quartique de Klein (genre 3), et PSL(2,11) la surface de buckyball (genre 70). Ces groupes forment une « trinité » au sens de Vladimir Arnold , qui donne un cadre aux différentes relations ; voir les trinités pour plus de détails.

Il existe une relation étroite avec les autres solides platoniciens .

Voir également

• Symétrie tétraédrique
• Symétrie octaédrique
• Groupe icosaédrique binaire
• Calcul icosien

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Groupe icosaédrique" . MathWorld .
• LES SOUS-GROUPES DE W(H3) ( Sous-groupes d'autres groupes de Coxeter ) Gotz Pfeiffer