Groupe binaire icosaédrique - Binary icosahedral group

En mathématiques , le groupe binaire icosaédrique 2 I ou ⟨2,3,5⟩ est un certain groupe non abélien d' ordre 120. C'est une extension du groupe icosaédrique I ou (2,3,5) d'ordre 60 par le groupe cyclique d'ordre 2, et est la préimage du groupe icosaédrique sous l' homomorphisme couvrant 2:1

${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\à \operatorname {SO} (3)\,}$

du groupe orthogonal spécial par le groupe de spin . Il s'ensuit que le groupe binaire icosaédrique est un sous-groupe discret de Spin(3) d'ordre 120.

Il ne doit pas être confondu avec le groupe icosaédrique complet , qui est un groupe différent d'ordre 120, et est plutôt un sous-groupe du groupe orthogonal O(3).

Le groupe binaire icosaédrique est le plus facilement décrit concrètement comme un sous-groupe discret des quaternions unitaires , sous l'isomorphisme où Sp(1) est le groupe multiplicatif des quaternions unitaires. (Pour une description de cet homomorphisme voir l'article sur les quaternions et les rotations spatiales .) ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

Éléments

120 éléments de quaternions vus en projection 12 fois. Les ordres d'éléments sont donnés : 1,2,3,4,5,6,10

Explicitement, le groupe binaire icosaédrique est donné comme l'union de toutes les permutations paires des vecteurs suivants :

• 8 permutations paires de ${\style d'affichage (\pm 1,0,0,0)}$
• 16 permutations paires de ${\style d'affichage (\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2,\pm 1/2)}$
• 96 permutations paires de ${\style d'affichage (0,\pm 1/2,\pm \phi /2,\pm \phi /2)}$

Voici le nombre d' or . ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Au total il y a 120 éléments, à savoir l'unité icosiens . Ils ont tous une grandeur unitaire et appartiennent donc au groupe de quaternions unitaire Sp(1).

Les 120 éléments dans l'espace à 4 dimensions correspondent aux 120 sommets du 600-cell , un 4-polytope régulier .

Propriétés

Rallonge centrale

Le groupe binaire icosaédrique, noté 2 I , est l' extension centrale parfaite universelle du groupe icosaédrique, et est donc quasi - simple : c'est une extension centrale parfaite d'un groupe simple.

Explicitement, il s'inscrit dans la séquence exacte courte

${\displaystyle 1\à \{\pm 1\}\à 2I\à I\à 1.\,}$

Cette séquence ne se divise pas , ce qui signifie que 2 I n'est pas un produit semi - direct de { ±1 } par I . En fait, il n'y a pas de sous-groupe de 2 I isomorphe à I .

Le centre de 2 I est le sous-groupe { ±1 }, de sorte que le groupe d'automorphisme interne est isomorphe à I . Le groupe d'automorphismes complets est isomorphe à S ₅ (le groupe symétrique sur 5 lettres), de même que pour - tout automorphisme de 2 I fixe l'élément non trivial du centre ( ), descend donc à un automorphisme de I, et inversement, tout automorphisme de I conduit à un automorphisme de 2 I, puisque les levées de générateurs de I sont des générateurs de 2 I (différentes levées donnent le même automorphisme). ${\displaystyle I\cong A_{5}}$${\style d'affichage -1}$

Super parfait

Le groupe binaire icosaédrique est parfait , c'est-à-dire qu'il est égal à son sous-groupe de commutateurs . En fait, 2 I est l'unique groupe parfait d'ordre 120. Il s'ensuit que 2 I n'est pas résoluble .

De plus, le groupe binaire icosaédrique est superparfait , ce qui signifie abstraitement que ses deux premiers groupes d'homologie de groupe disparaissent : Concrètement, cela signifie que son abélianisation est triviale (il n'a pas de quotients abéliens non triviaux) et que son multiplicateur de Schur est trivial (il extensions centrales parfaites non triviales). En fait, le groupe binaire icosaédrique est le plus petit groupe superparfait (non trivial). ${\displaystyle H_{1}(2I;\mathbf {Z} )\cong H_{2}(2I;\mathbf {Z} )\cong 0.}$

Le groupe binaire icosaédrique n'est cependant pas acyclique , car H _n (2 I , Z ) est cyclique d'ordre 120 pour n = 4 k +3, et trivial pour n > 0 sinon, ( Adem & Milgram 1994 , p. 279) .

Isomorphismes

Concrètement, le groupe binaire icosaédrique est un sous-groupe de Spin(3), et recouvre le groupe icosaédrique, qui est un sous-groupe de SO(3). De manière abstraite, le groupe icosaédrique est isomorphe aux symétries du 4- simple , qui est un sous-groupe de SO(4), et le groupe icosaédrique binaire est isomorphe à la double couverture de celui-ci dans Spin(4). Notez que le groupe symétrique fait une représentation de dimension 4 (sa plus faible dimension habituelle représentation irréductible que la totalité des symétries du -simplex), et en ce que la totalité des symétries du 4-simplex sont donc pas le groupe icosaédrique complète (ce sont deux groupes différents d'ordre 120). ${\style d'affichage S_{5}}$ ${\style d'affichage (n-1)}$${\style d'affichage S_{5},}$

Le groupe binaire icosaédrique peut être considéré comme la double couverture du groupe alterné noté cet isomorphisme recouvre l'isomorphisme du groupe icosaédrique avec le groupe alterné . Tout comme un sous-groupe discret de , est un sous-groupe discret du double de , à savoir . L'homomorphisme 2-1 de à se restreint alors à l'homomorphisme 2-1 de à . De même, est un sous-groupe discret de , et ses deux doubles couvertures sont des sous-groupes discrets des deux groupes Pin . ${\style d'affichage A_{5},}$${\displaystyle 2\cdot A_{5}\cong 2I;}$${\displaystyle A_{5}\cong I,}$${\style d'affichage I}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\style d'affichage 2I}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)}$${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$${\style d'affichage 2I}$${\style d'affichage I}$${\style d'affichage S_{5}}$${\style d'affichage O(3)}$ ${\displaystyle \mathrm {Épingle} ^{\pm }(3)}$

On peut montrer que le groupe binaire icosaédrique est isomorphe au groupe linéaire spécial SL(2,5) — le groupe de toutes les matrices 2×2 sur le corps fini F ₅ avec déterminant unité ; cela recouvre l' isomorphisme exceptionnel de avec le groupe linéaire spécial projectif PSL(2,5). ${\displaystyle I\cong A_{5}}$

Notez également l'isomorphisme exceptionnel qui est un groupe différent d'ordre 120, le carré commutatif de SL, GL, PSL, PGL étant isomorphe à un carré commutatif dont le carré commutatif est isomorphe aux sous-groupes du carré commutatif de Spin(4), Pin( 4), SO(4), O(4). ${\displaystyle PGL(2,5)\cong S_{5},}$${\displaystyle 2\cdot A_{5},2\cdot S_{5},A_{5},S_{5},}$

Présentation

Le groupe 2 I a une présentation donnée par

${\displaystyle \langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{5}=rst\rangle }$

ou équivalent,

${\displaystyle \langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{5}\rangle .}$

Les générateurs avec ces relations sont donnés par

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(\varphi +\varphi ^{-1}i +j).}$

Sous-groupes

Sous-groupes :
• groupe binaire tétraédrique : 2T =⟨2,3,3⟩
• 3 groupes binaires dièdres : Q ₂₀ =⟨2,2,5⟩, Q ₁₂ =⟨2,2,3⟩, Q ₈ =⟨2, 2,2⟩
• 3 groupes cycliques binaires : Z ₁₀ =⟨5⟩, Z ₆ =⟨3⟩, Z ₄ =⟨2⟩
• 3 groupes cycliques : Z ₅ =(5), Z ₃ =(3), Z ₂ =(2)
• 1 groupe trivial : ( )

Le seul sous-groupe normal propre de 2 I est le centre { ±1 }.

D'après le troisième théorème d'isomorphisme , il existe une connexion de Galois entre les sous-groupes de 2 I et les sous-groupes de I , où l' opérateur de fermeture sur les sous-groupes de 2 I est la multiplication par { ±1 }.

${\style d'affichage -1}$est le seul élément d'ordre 2, il est donc contenu dans tous les sous-groupes d'ordre pair : ainsi chaque sous-groupe de 2 I est soit d'ordre impair, soit la préimage d'un sous-groupe de I .

Outre les groupes cycliques générés par les différents éléments (qui peuvent avoir un ordre impair), les seuls autres sous-groupes de 2 I (jusqu'à la conjugaison) sont :

• groupes dièdres binaires , Dic ₅ =Q20=⟨2,2,5⟩, d'ordre 20 et Dic ₃ =Q12=⟨2,2,3⟩ d'ordre 12
• Le groupe quaternion , Q8=⟨2,2,2⟩, constitué des 8 unités Lipschitz forme un sous-groupe d' indice 15, qui est aussi le groupe dicyclique Dic ₂ ; cela couvre le stabilisateur d'un bord.
• Les 24 unités Hurwitz forment un sous-groupe d'indice 5 appelé groupe tétraédrique binaire ; cela couvre un groupe tétraédrique chiral . Ce groupe s'auto-normalise donc sa classe de conjugaison a 5 membres (cela donne une carte dont l'image est ).${\displaystyle 2I\to S_{5}}$${\style d'affichage A_{5}}$

Relation avec les groupes de symétrie à 4 dimensions

L'analogue à 4 dimensions du groupe de symétrie icosaédrique I _h est le groupe de symétrie de la cellule 600 (également celui de son dual, la cellule 120 ). De même que le premier est le groupe de Coxeter de type H ₃ , le second est le groupe de Coxeter de type H ₄ , également noté [3,3,5]. Son sous-groupe rotationnel, noté [3,3,5] ⁺ est un groupe d'ordre 7200 vivant dans SO(4) . SO(4) a une double couverture appelée Spin(4) de la même manière que Spin(3) est la double couverture de SO(3). Similaire à l'isomorphisme Spin(3) = Sp(1), le groupe Spin(4) est isomorphe à Sp(1) × Sp(1).

La préimage de [3,3,5] ⁺ dans Spin(4) (un analogue à quatre dimensions de 2 I ) est précisément le groupe de produits 2 I × 2 I d'ordre 14400. Le groupe de symétrie de rotation de la cellule 600 est alors

[3,3,5] ⁺ = ( 2 I × 2 I ) / { ±1 }.

Divers autres groupes de symétrie à 4 dimensions peuvent être construits à partir de 2 I . Pour plus de détails, voir (Conway et Smith, 2003).

Applications

L' espace coset Spin(3) / 2 I = S ³ / 2 I est une 3-variété sphérique appelée sphère d'homologie de Poincaré . C'est un exemple de sphère d'homologie , c'est-à-dire une 3-variété dont les groupes d'homologie sont identiques à ceux d'une 3-sphère . Le groupe fondamental de la sphère de Poincaré est isomorphe au groupe binaire icosaédrique, car la sphère de Poincaré est le quotient d'une 3-sphère par le groupe binaire icosaédrique.

Voir également

• groupe polyédrique binaire
• groupe cyclique binaire , n ⟩, ordre 2 n
• groupe dièdre binaire , ⟨2,2, n ⟩, ordre 4 n
• groupe tétraédrique binaire , 2T=⟨2,3,3⟩, ordre 24
• groupe octaédrique binaire , 2O=⟨2,3,4⟩, ordre 48

Les références

Remarques