Anneau zéro - Zero ring

Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
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Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine intégralement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Terrain • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Anneau de la série Power formelle Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p -adiques et décimales • Limite directe / limite inverse • Anneau zéro ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Entiers modulo p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Base - anneau de cercle p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - p entiers ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • rationnels p -adiques ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Base - p nombres réels ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • entiers p -adiques ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • nombres p -adiques ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solénoïde p -adic ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Anneau simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre Algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre d'opérateur
v t e

Dans la théorie des anneaux , une branche des mathématiques , l' anneau zéro ou l' anneau trivial est l' anneau unique (jusqu'à l' isomorphisme ) constitué d'un élément. (Moins fréquemment, le terme «anneau zéro» est utilisé pour désigner n'importe quel rng du carré zéro , c'est-à-dire un rng dans lequel xy = 0 pour tous les x et y . Cet article fait référence à l'anneau à un élément.)

Dans la catégorie des anneaux , l'anneau zéro est l' objet terminal , tandis que l'anneau d'entiers Z est l' objet initial .

Définition

L'anneau zéro, noté {0} ou simplement 0 , se compose de l'ensemble à un élément {0} avec les opérations + et · définies telles que 0 + 0 = 0 et 0 · 0 = 0.

Propriétés

• L'anneau zéro est l'anneau unique dans lequel l' identité additive 0 et l' identité multiplicative 1 coïncident. (Preuve: Si 1 = 0 dans un anneau R , alors pour tout r dans R , on a r = 1 r = 0 r = 0. La preuve de la dernière égalité se trouve ici .)
• L'anneau zéro est commutatif.
• L'élément 0 dans l'anneau zéro est une unité , servant de son propre inverse multiplicatif .
• Le groupe d'unité de l'anneau zéro est le groupe trivial {0}.
• L'élément 0 dans l'anneau zéro n'est pas un diviseur nul .
• Le seul idéal dans l'anneau zéro est l'idéal zéro {0}, qui est également l'idéal unitaire, égal à l'anneau entier. Cet idéal n'est ni maximal ni premier .
• L'anneau zéro n'est pas un champ ; cela concorde avec le fait que son idéal nul n'est pas maximal. En fait, il n'y a pas de champ avec moins de 2 éléments. (Lorsque les mathématiciens parlent du " champ avec un élément ", ils se réfèrent à un objet inexistant, et leur intention est de définir la catégorie qui serait la catégorie des schémas sur cet objet s'il existait.)
• L'anneau zéro n'est pas un domaine intégral . La question de savoir si l'anneau zéro est considéré comme un domaine est une question de convention, mais il y a deux avantages à le considérer comme n'étant pas un domaine. Premièrement, cela concorde avec la définition qu'un domaine est un anneau dans lequel 0 est le seul diviseur nul (en particulier, 0 doit être un diviseur nul, qui échoue dans l'anneau zéro). Deuxièmement, de cette façon, pour un entier positif n , l'anneau Z / n Z est un domaine si et seulement si n est premier, mais 1 n'est pas premier.
• Pour chaque anneau A , il existe un homomorphisme d'anneau unique de A à l'anneau zéro. Ainsi, l'anneau zéro est un objet terminal dans la catégorie des anneaux .
• Si A est un anneau non nul, alors il n'y a pas homomorphism anneau de la bague zéro à A . En particulier, l'anneau zéro n'est pas un sous - anneau d' un anneau différent de zéro.
• L'anneau zéro est l'anneau unique de la caractéristique 1.
• Le seul module pour l'anneau zéro est le module zéro. Il est libre de rang א pour tout nombre cardinal א.
• L'anneau zéro n'est pas un anneau local . Il s'agit cependant d'un anneau semi - local .
• L'anneau zéro est Artinien et (donc) Noéthérien .
• Le spectre de l'anneau zéro est le schéma vide .
• La dimension de Krull de l'anneau zéro est −∞.
• L'anneau zéro est semi - simple mais pas simple .
• L'anneau zéro n'est pas une simple algèbre centrale sur n'importe quel champ.
• L' anneau quotient total de l'anneau zéro est lui-même.

Constructions

• Pour tout anneau A et idéal I de A , le quotient A / I est l'anneau zéro si et seulement si I  =  A , c'est-à-dire si et seulement si I est l' idéal unitaire .
• Pour tout anneau commutatif A et ensemble multiplicatif S dans A , la localisation S ⁻¹ A est l'anneau zéro si et seulement si S contient 0.
• Si A est un anneau, alors l'anneau M ₀ ( A ) des matrices 0 × 0 sur A est l'anneau zéro.
• Le produit direct d'une collection vide d'anneaux est l'anneau zéro.
• L' anneau d'endomorphisme du groupe trivial est l'anneau zéro.
• L'anneau des fonctions réelles continues sur l' espace topologique vide est l'anneau zéro.

Remarques

Les références

• Michael Artin , Algèbre , Prentice-Hall, 1991.
• Siegfried Bosch , Géométrie algébrique et algèbre commutative , Springer, 2012.
• MF Atiyah et IG Macdonald , Introduction à l'algèbre commutative , Addison-Wesley, 1969.
• N. Bourbaki , Algèbre I, chapitres 1 à 3 .
• Robin Hartshorne , Géométrie algébrique , Springer, 1977.
• TY Lam , Exercices de théorie classique des anneaux , Springer, 2003.
• Serge Lang , Algebra 3e éd., Springer, 2002.