Multiplicateur de Schur - Schur multiplier

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe quotient Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( Z ) Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, Z ) SL(2, Z ) Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidienne E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématique la théorie des groupes , le multiplicateur de Schur ou Schur multiplicateur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G . Elle a été introduite par Issai Schur  ( 1904 ) dans ses travaux sur les représentations projectives . ${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )}$

Exemples et propriétés

Le multiplicateur de Schur d'un groupe fini G est un groupe abélien fini dont l' exposant divise l'ordre de G . Si un p -sous-groupe de Sylow de G est cyclique pour un certain p , alors l'ordre de n'est pas divisible par p . En particulier, si tous les sous- groupes Sylow p de G sont cycliques, alors est trivial. ${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$${\displaystyle \operatorname {M} (G)}$

Par exemple, le multiplicateur de Schur du groupe non abélien d'ordre 6 est le groupe trivial puisque chaque sous-groupe de Sylow est cyclique. Le multiplicateur de Schur du groupe abélien élémentaire d'ordre 16 est un groupe abélien élémentaire d'ordre 64, montrant que le multiplicateur peut être strictement plus grand que le groupe lui-même. Le multiplicateur de Schur du groupe quaternionique est trivial, mais le multiplicateur de Schur des 2-groupes dièdres est d'ordre 2.

Les multiplicateurs de Schur des groupes simples finis sont donnés dans la liste des groupes simples finis . Les groupes de recouvrement des groupes alternés et symétriques sont d'un intérêt récent considérable.

Relation avec les représentations projectives

La motivation originale de Schur pour étudier le multiplicateur était de classer les représentations projectives d'un groupe, et la formulation moderne de sa définition est le deuxième groupe de cohomologie . Une représentation projective ressemble beaucoup à une représentation de groupe sauf qu'au lieu d'un homomorphisme dans le groupe linéaire général , on prend un homomorphisme dans le groupe linéaire général projectif . Autrement dit, une représentation projective est une représentation modulo le centre . ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )}$

Schur  ( 1904 , 1907 ) a montré que chaque groupe fini G est associé à au moins un groupe fini C , appelée couvercle Schur , avec la propriété que chaque représentation projective des G peut être soulevé à une représentation ordinaire C . La couverture Schur est également connue sous le nom de groupe de couverture ou Darstellungsgruppe . Les couvertures de Schur des groupes simples finis sont connues, et chacune est un exemple de groupe quasi - simple . La couverture de Schur d'un groupe parfait est uniquement déterminée à isomorphisme près, mais la couverture de Schur d'un groupe fini général n'est déterminée qu'à isoclinisme près .

Relation avec les extensions centrales

L'étude de tels groupes couvrants a conduit naturellement à l'étude des prolongements centraux et des tiges .

Une extension centrale d'un groupe G est une extension

${\style d'affichage 1\à K\à C\à G\à 1}$

où est un sous - groupe du centre de C . ${\displaystyle K\leq Z(C)}$

Une extension radicale d'un groupe G est une extension

${\style d'affichage 1\à K\à C\à G\à 1}$

où est un sous-groupe de l'intersection du centre de C et du sous-groupe dérivé de C ; c'est plus restrictif que central. ${\displaystyle K\leq Z(C)\cap C'}$

Si le groupe G est fini et que l'on ne considère que les extensions de tige, alors il y a une plus grande taille pour un tel groupe C , et pour chaque C de cette taille le sous-groupe K est isomorphe au multiplicateur de Schur de G . Si le groupe fini G est de plus parfait , alors C est unique à isomorphisme près et est lui-même parfait. De tels C sont souvent appelés extensions centrales parfaites universelles de G , ou groupe de recouvrement (car c'est un analogue discret de l' espace de recouvrement universel en topologie). Si le groupe fini G n'est pas parfait, alors ses groupes de recouvrement de Schur (tous ces C d'ordre maximal) ne sont qu'isocliniques .

On l'appelle aussi plus brièvement une extension centrale universelle , mais notez qu'il n'y a pas de plus grande extension centrale, car le produit direct de G et un groupe abélien forment une extension centrale de G de taille arbitraire.

Les extensions de tige ont la propriété agréable que toute levée d'un ensemble générateur de G est un ensemble générateur de C . Si le groupe G est présenté en termes de groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et un sous-groupe normal R généré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que , alors le groupe couvrant lui-même peut être présenté en termes de F mais avec un sous-groupe normal S plus petit , c'est-à-dire . Puisque les relations de G spécifient des éléments de K lorsqu'ils sont considérés comme faisant partie de C , on doit avoir . ${\displaystyle G\cong F/R}$${\displaystyle C\cong F/S}$${\displaystyle S\leq [F,R]}$

En fait si G est parfait, c'est tout ce qu'il faut : C [ F , F ]/[ F , R ] et M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. En raison de cette simplicité, des expositions telles que ( Aschbacher 2000 , §33) traitent d'abord le cas parfait. Le cas général du multiplicateur de Schur est similaire mais garantit que l'extension est une extension radicale en se restreignant au sous-groupe dérivé de F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Ce sont tous des résultats un peu plus tardifs de Schur, qui a également donné un certain nombre de critères utiles pour les calculer plus explicitement.

Relation avec des présentations efficaces

Dans la théorie combinatoire des groupes , un groupe provient souvent d'une présentation . Un thème important dans ce domaine des mathématiques est d'étudier les présentations avec le moins de relations possible, comme les groupes à un seul relateur comme les groupes Baumslag-Solitar . Ces groupes sont des groupes infinis avec deux générateurs et une relation, et un ancien résultat de Schreier montre que dans toute présentation avec plus de générateurs que de relations, le groupe résultant est infini. Le cas limite est donc assez intéressant : on dit que les groupes finis avec le même nombre de générateurs que de relations ont une déficience nulle. Pour qu'un groupe ait une déficience nulle, le groupe doit avoir un multiplicateur de Schur trivial car le nombre minimum de générateurs du multiplicateur de Schur est toujours inférieur ou égal à la différence entre le nombre de relations et le nombre de générateurs, qui est le négatif carence. Un groupe efficace est celui où le multiplicateur de Schur nécessite ce nombre de générateurs.

Un sujet de recherche assez récent est de trouver des présentations efficaces pour tous les groupes simples finis avec des multiplicateurs de Schur triviaux. De telles présentations sont dans un certain sens agréables parce qu'elles sont généralement courtes, mais elles sont difficiles à trouver et à utiliser car elles sont mal adaptées aux méthodes standard telles que l' énumération des cosets .

Relation avec la topologie

En topologie , les groupes peuvent souvent être décrits comme des groupes de présentation finie et une question fondamentale est de calculer leur homologie intégrale . En particulier, la seconde homologie joue un rôle particulier et cela a conduit Heinz Hopf à trouver une méthode efficace pour la calculer. La méthode de ( Hopf 1942 ) est également connue sous le nom de formule d'homologie intégrale de Hopf et est identique à la formule de Schur pour le multiplicateur de Schur d'un groupe fini : ${\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]}$

où et F est un groupe libre. La même formule s'applique également lorsque G est un groupe parfait. ${\displaystyle G\cong F/R}$

La reconnaissance que ces formules étaient les mêmes a conduit Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane à la création de la cohomologie des groupes . En général,

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{* }}$

où l'étoile désigne le groupe algébrique dual. De plus, lorsque G est fini, il existe un isomorphisme non naturel

${\displaystyle {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C } ^{\fois }).}$

La formule de Hopf pour a été généralisée à des dimensions supérieures. Pour une approche et des références, voir l'article d'Everaert, Gran et Van der Linden listé ci-dessous. ${\style d'affichage H_{2}(G)}$

Un groupe parfait est celui dont la première homologie intégrale s'annule. Un groupe super-parfait est un groupe dont les deux premiers groupes d'homologie intégrale disparaissent. Les couvertures de Schur des groupes parfaits finis sont superparfaites. Un groupe acyclique est un groupe dont l'homologie intégrale réduite s'annule.

Applications

Le deuxième K-groupe algébrique K ₂ ( R ) d'un anneau commutatif R peut être identifié avec le deuxième groupe d'homologie H ₂ ( E ( R ), Z ) du groupe E ( R ) de (infinie) matrices élémentaires avec des entrées dans R .

Voir également

• Groupe quasi-simple

Les références de Clair Miller donnent une autre vision du multiplicateur de Schur comme noyau d'un morphisme κ : G ∧ G → G induit par l'application du commutateur.

Remarques

Les références