Groupe non abélien - Non-abelian group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe quotient Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidien E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , et plus précisément dans la théorie des groupes , un groupe non abélien , parfois appelé un groupe non-commutatif , est un groupe ( G , *) , dans lequel il existe au moins une paire d'éléments a et b de G , de telle sorte que la  *  b  ≠  b  *  a . Cette classe de groupes contraste avec les groupes abéliens . (Dans un groupe abélien, toutes les paires d'éléments du groupe commutent ).

Les groupes non abéliens sont omniprésents en mathématiques et en physique . L'un des exemples les plus simples d'un groupe non abélien est le groupe dièdre d'ordre 6 . C'est le plus petit groupe fini non abélien. Un exemple courant de la physique est le groupe de rotation SO(3) en trois dimensions (par exemple, faire pivoter quelque chose de 90 degrés le long d'un axe puis de 90 degrés le long d'un axe différent n'est pas la même chose que de les faire dans l'ordre inverse).

Les groupes discrets et les groupes continus peuvent être non abéliens. La plupart des groupes de Lie intéressants ne sont pas abéliens et jouent un rôle important dans la théorie de jauge .

Voir également

• Algèbre associative
• Géométrie non commutative
• Niels Henrik Abel

Les références