Analyse dimensionnelle - Dimensional analysis

En ingénierie et en science , l'analyse dimensionnelle est l'analyse des relations entre différentes grandeurs physiques en identifiant leurs grandeurs de base (telles que la longueur , la masse , le temps et la charge électrique ) et les unités de mesure (telles que les miles par rapport aux kilomètres, ou les livres par rapport aux . kilogrammes) et le suivi de ces dimensions lors de calculs ou de comparaisons. La conversion d'unités d'une unité dimensionnelle à une autre est souvent plus facile dans le système métrique ou SI que dans d'autres, en raison de la base régulière de 10 dans toutes les unités. L'analyse dimensionnelle, ou plus spécifiquement la méthode factor-label , également connue sous le nom de méthode unit-factor , est une technique largement utilisée pour de telles conversions en utilisant les règles de l' algèbre .

Le concept de dimension physique a été introduit par Joseph Fourier en 1822. Les grandeurs physiques de même nature (également appelées commensurables ) (par exemple, longueur ou temps ou masse) ont la même dimension et peuvent être directement comparées à d'autres grandeurs physiques du même type, même s'ils sont initialement exprimés en différentes unités de mesure (telles que les yards et les mètres). Si les grandeurs physiques ont des dimensions différentes (telles que la longueur par rapport à la masse), elles ne peuvent pas être exprimées en termes d'unités similaires et ne peuvent pas être comparées en quantité (également appelée incommensurable ). Par exemple, demander si un kilogramme est supérieur à une heure n'a pas de sens.

Toute équation physiquement significative (et toute inégalité ) aura les mêmes dimensions sur ses côtés gauche et droit, une propriété connue sous le nom d' homogénéité dimensionnelle . La vérification de l'homogénéité dimensionnelle est une application courante de l'analyse dimensionnelle, servant de contrôle de plausibilité sur les équations et les calculs dérivés . Il sert également de guide et de contrainte pour dériver des équations qui peuvent décrire un système physique en l'absence d'une dérivation plus rigoureuse.

Numéros de béton et éléments de base

De nombreux paramètres et mesures en sciences physiques et en génie sont exprimés sous la forme d'un nombre concret - une quantité numérique et une unité dimensionnelle correspondante. Souvent, une quantité est exprimée en termes de plusieurs autres quantités; par exemple, la vitesse est une combinaison de longueur et de temps, par exemple 60 kilomètres par heure ou 1,4 kilomètres par seconde. Les relations composées avec "par" sont exprimées par division , par exemple 60 km / 1 h. D'autres relations peuvent impliquer une multiplication (souvent représentée par un point centré ou une juxtaposition ), des puissances (comme m ² pour des mètres carrés) ou des combinaisons de celles-ci.

Un ensemble d' unités de base pour un système de mesure est un ensemble d'unités choisi de manière conventionnelle, dont aucune ne peut être exprimée comme une combinaison des autres et en termes duquel toutes les unités restantes du système peuvent être exprimées. Par exemple, les unités de longueur et de temps sont normalement choisies comme unités de base. Les unités de volume , cependant, peuvent être prises en compte dans les unités de base de longueur (m ³ ), elles sont donc considérées comme des unités dérivées ou composées.

Parfois, les noms d'unités masquent le fait qu'il s'agit d'unités dérivées. Par exemple, un newton (N) est une unité de force , qui a des unités de masse (kg) multipliées par des unités d'accélération (m⋅s ^-2 ). Le newton est défini comme 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

Pourcentages et dérivés

Les pourcentages sont des quantités sans dimension, car ce sont des rapports de deux quantités avec les mêmes dimensions. En d'autres termes, le signe% peut être lu comme des "centièmes", puisque 1% = 1/100 .

Prendre une dérivée par rapport à une quantité ajoute la dimension de la variable que l'on différencie par rapport, au dénominateur. Donc:

• la position ( x ) a la dimension L (longueur);
• la dérivée de la position par rapport au temps ( dx / dt , vitesse ) a la dimension LT ^{-1 -} longueur à partir de la position, temps dû au gradient;
• la dérivée seconde ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , accélération ) a la dimension LT ^-2 .

En économie, on distingue les stocks et les flux : un stock a des unités d '"unités" (disons, des widgets ou des dollars), tandis qu'un flux est un dérivé d'un stock, et a des unités d' "unités / temps" (disons, dollars / année).

Dans certains contextes, les quantités dimensionnelles sont exprimées sous forme de quantités sans dimension ou de pourcentages en omettant certaines dimensions. Par exemple, les ratios dette / PIB sont généralement exprimés en pourcentages: l'encours total de la dette (dimension de la monnaie) divisé par le PIB annuel (dimension de la monnaie) - mais on peut soutenir que, en comparant un stock à un flux, le PIB annuel devrait avoir des dimensions de monnaie / temps (dollars / an, par exemple) et donc la dette / PIB devrait avoir des unités d'années, ce qui indique que la dette / PIB est le nombre d'années nécessaires pour qu'un PIB constant puisse payer la dette, si tout le PIB est consacré à la dette et que la dette est par ailleurs inchangée.

Facteur de conversion

Dans l'analyse dimensionnelle, un rapport qui convertit une unité de mesure en une autre sans changer la quantité est appelé un facteur de conversion . Par exemple, kPa et bar sont tous deux des unités de pression, et 100 kPa = 1 bar . Les règles de l'algèbre permettent de diviser les deux côtés d'une équation par la même expression, ce qui équivaut donc à 100 kPa / 1 bar = 1 . Comme toute quantité peut être multipliée par 1 sans la changer, l'expression « 100 kPa / 1 bar » peut être utilisée pour convertir des barres en kPa en la multipliant par la quantité à convertir, unités comprises. Par exemple, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa car 5 × 100/1 = 500 , et bar / bar s'annule, donc 5 bar = 500 kPa .

Homogénéité dimensionnelle

La règle la plus fondamentale de l'analyse dimensionnelle est celle de l'homogénéité dimensionnelle.

Seules les quantités commensurables (quantités physiques de même dimension) peuvent être comparées , égalées , ajoutées ou soustraites .

Cependant, les dimensions forment un groupe abélien sous multiplication, donc:

On peut prendre des rapports de quantités incommensurables (quantités de dimensions différentes), et les multiplier ou les diviser .

Par exemple, cela n'a aucun sens de demander si 1 heure est plus, la même chose ou moins d'un kilomètre, car elles ont des dimensions différentes, ni d'ajouter 1 heure à 1 kilomètre. Cependant, il est parfaitement logique de se demander si 1 mile est plus, le même ou moins de 1 kilomètre étant la même dimension de la quantité physique même si les unités sont différentes. En revanche, si un objet parcourt 100 km en 2 heures, on peut les diviser et conclure que la vitesse moyenne de l'objet était de 50 km / h.

La règle implique que dans une expression physiquement significative , seules des quantités de même dimension peuvent être ajoutées, soustraites ou comparées. Par exemple, si m _homme , m _rat et L _homme désignent respectivement la masse d'un homme, la masse d'un rat et la longueur de cet homme, l'expression dimensionnellement homogène m _homme + m _rat est significative, mais l'expression hétérogène m _homme + L _homme n'a pas de sens. Cependant, m _man / L ² _man va bien. Ainsi, l'analyse dimensionnelle peut être utilisée comme un contrôle de bon sens des équations physiques: les deux côtés de toute équation doivent être commensurables ou avoir les mêmes dimensions.

Cela implique que la plupart des fonctions mathématiques, en particulier les fonctions transcendantales , doivent avoir une quantité sans dimension, un nombre pur, comme argument et doivent renvoyer un nombre sans dimension en conséquence. Cela est clair car de nombreuses fonctions transcendantales peuvent être exprimées sous la forme d'une série de puissance infinie avec des coefficients sans dimension.

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots}$

Toutes les puissances de x doivent avoir la même dimension pour que les termes soient commensurables. Mais si x n'est pas sans dimension, alors les différentes puissances de x auront des dimensions différentes et incommensurables. Cependant, les fonctions de puissance, y compris les fonctions racine, peuvent avoir un argument dimensionnel et renverront un résultat dont la dimension est la même puissance appliquée à la dimension de l'argument. En effet, les fonctions de puissance et les fonctions racines ne sont, en gros, qu'une expression de la multiplication des quantités.

Même lorsque deux grandeurs physiques ont des dimensions identiques, il peut néanmoins être inutile de les comparer ou de les ajouter. Par exemple, bien que le couple et l' énergie partagent la dimension L ² M T ^-2 , ce sont des grandeurs physiques fondamentalement différentes.

Pour comparer, ajouter ou soustraire des quantités ayant les mêmes dimensions mais exprimées en unités différentes, la procédure standard consiste d'abord à les convertir toutes dans les mêmes unités. Par exemple, pour comparer 32 mètres avec 35 mètres , utilisez 1 mètre = 0,9144 m pour convertir 35 mètres en 32,004 m.

Un principe connexe est que toute loi physique qui décrit avec précision le monde réel doit être indépendante des unités utilisées pour mesurer les variables physiques. Par exemple, les lois du mouvement de Newton doivent être vraies, que la distance soit mesurée en miles ou en kilomètres. Ce principe donne naissance à la forme que doivent prendre les facteurs de conversion entre unités qui mesurent la même dimension: multiplication par une simple constante. Il assure également l'équivalence; par exemple, si deux bâtiments ont la même hauteur en pieds, ils doivent avoir la même hauteur en mètres.

La méthode d'étiquette de facteur pour la conversion des unités

La méthode d'étiquette de facteur est l'application séquentielle de facteurs de conversion exprimés en fractions et disposés de sorte que toute unité dimensionnelle apparaissant à la fois dans le numérateur et le dénominateur de l'une des fractions puisse être annulée jusqu'à ce que seul l'ensemble souhaité d'unités dimensionnelles soit obtenu. Par exemple, 10 miles par heure peuvent être convertis en mètres par seconde en utilisant une séquence de facteurs de conversion comme indiqué ci-dessous:

${\ displaystyle {\ frac {10 \ {\ cancel {\ text {mile}}}} {1 \ {\ cancel {\ text {hour}}}}} \ times {\ frac {1609.344 {\ text {meter} }} {1 \ {\ cancel {\ text {mile}}}}} \ times {\ frac {1 \ {\ cancel {\ text {hour}}}} {3600 {\ text {second}}}} = 4.4704 \ {\ frac {\ text {mètre}} {\ text {seconde}}}.}$

Chaque facteur de conversion est choisi en fonction de la relation entre l'une des unités d'origine et l'une des unités souhaitées (ou une unité intermédiaire), avant d'être réorganisé pour créer un facteur qui annule l'unité d'origine. Par exemple, comme "mile" est le numérateur dans la fraction d'origine et "mile" devra être le dénominateur dans le facteur de conversion. En divisant les deux côtés de l'équation par 1 mile, on obtient ce qui, une fois simplifié, donne le résultat sans dimension . Multiplier une quantité (quantité physique ou non) par le 1 sans dimension ne change pas cette quantité. Une fois que cela et le facteur de conversion pour les secondes par heure ont été multipliés par la fraction d'origine pour annuler les unités mile et heure , 10 miles par heure se convertit en 4,4704 mètres par seconde. ${\ displaystyle 1 \ {\ text {mile}} = 1609,344 \ {\ text {meter}}}$${\ displaystyle {\ frac {1 \ {\ text {mile}}} {1 \ {\ text {mile}}}} = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {mile}}}}}$${\ displaystyle 1 = {\ frac {1609.344 \ {\ text {mètre}}} {1 \ {\ text {mile}}}}}$

Comme exemple plus complexe, la concentration d' oxydes d'azote (c.-à-d. ) Dans les gaz de combustion d'un four industriel peut être convertie en un débit massique exprimé en grammes par heure (c.-à-d. G / h) en utilisant les informations suivantes comme indiqué ci-dessous: ${\ displaystyle \ color {Bleu} {\ ce {NON}} _ {x}}$${\ displaystyle {\ ce {NON}} _ {x}}$

NO _x concentration

= 10 parties par million en volume = 10 ppmv = 10 volumes / 10 ⁶ volumes

NO _x masse molaire

= 46 kg / kmol = 46 g / mol

Débit des fumées

= 20 mètres cubes par minute = 20 m ³ / min

Les fumées sortent du four à une température de 0 ° C et une pression absolue de 101,325 kPa.

Le volume molaire d'un gaz à une température de 0 ° C et 101,325 kPa est de 22,414 m ³ / kmol .

${\ displaystyle {\ frac {1000 \ {\ ce {g \ NO}} _ {x}} {1 {\ cancel {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}}} \ times {\ frac {46 \ {\ cancel {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}} {1 \ {\ cancel {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}}} \ fois {\ frac {1 \ {\ cancel {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}} {22.414 \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NON }} _ {x}}}}} \ times {\ frac {10 \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO}} _ {x}}}} {10 ^ {6} \ {\ cancel {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}}} \ times {\ frac {20 \ {\ cancel {{\ ce {m} } ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} {1 \ {\ cancel {\ ce {minute}}}}} \ times {\ frac {60 \ {\ cancel {\ ce {minute}} }} {1 \ {\ ce {heure}}}} = 24,63 \ {\ frac {{\ ce {g \ NO}} _ {x}} {\ ce {heure}}}}$

Après avoir annulé toutes les unités dimensionnelles qui apparaissent à la fois dans les numérateurs et les dénominateurs des fractions dans l'équation ci-dessus, la concentration de NO _x de 10 ppm _{v se} convertit en un débit massique de 24,63 grammes par heure.

Vérification des équations qui impliquent des dimensions

La méthode d'étiquette de facteur peut également être utilisée sur n'importe quelle équation mathématique pour vérifier si les unités dimensionnelles du côté gauche de l'équation sont les mêmes que les unités dimensionnelles du côté droit de l'équation. Avoir les mêmes unités des deux côtés d'une équation ne garantit pas que l'équation est correcte, mais avoir des unités différentes des deux côtés (exprimées en unités de base) d'une équation implique que l'équation est fausse.

Par exemple, vérifiez l' équation de la loi universelle des gaz de PV = nRT , lorsque:

• la pression P est en pascals (Pa)
• le volume V est en mètres cubes (m ³ )
• la quantité de substance n est en moles (mol)
• la constante universelle de la loi des gaz R est de 8,3145 Pa⋅m ³ / (mol⋅K)
• la température T est en kelvins (K)

${\ displaystyle {\ ce {Pa.m ^ 3}} = {\ frac {\ cancel {{\ ce {mol}}}} {1}} \ times {\ frac {{\ ce {Pa.m ^ 3 }}} {{\ cancel {{\ ce {mol}}}} \ {\ cancel {{\ ce {K}}}}}} \ times {\ frac {\ cancel {{\ ce {K}}} }{1}}}$

Comme on peut le voir, lorsque les unités dimensionnelles apparaissant dans le numérateur et le dénominateur du côté droit de l'équation sont annulées, les deux côtés de l'équation ont les mêmes unités dimensionnelles. L'analyse dimensionnelle peut être utilisée comme un outil pour construire des équations qui relient des propriétés physico-chimiques non associées. Les équations peuvent révéler des propriétés jusqu'ici inconnues ou négligées de la matière, sous la forme de dimensions restantes - des ajusteurs dimensionnels - qui peuvent alors se voir attribuer une signification physique. Il est important de souligner qu'une telle «manipulation mathématique» n'est ni sans précédent ni sans signification scientifique considérable. En effet, la constante de Planck, une constante fondamentale de l'univers, a été «découverte» comme une abstraction ou une représentation purement mathématique qui s'appuyait sur l'équation de Rayleigh-Jeans pour empêcher la catastrophe ultraviolette. Il a été attribué et a atteint sa signification physique quantique soit en tandem ou après ajustement dimensionnel mathématique - pas plus tôt.

Limites

La méthode d'étiquette de facteur ne peut convertir que des quantités unitaires pour lesquelles les unités sont dans une relation linéaire se croisant à 0. ( Échelle de rapport dans la typologie de Stevens) La plupart des unités correspondent à ce paradigme. Un exemple pour lequel il ne peut pas être utilisé est la conversion entre degrés Celsius et Kelvins (ou degrés Fahrenheit ). Entre les degrés Celsius et les kelvins, il y a une différence constante plutôt qu'un rapport constant, tandis qu'entre les degrés Celsius et les degrés Fahrenheit il n'y a ni différence constante ni rapport constant. Il existe cependant une transformée affine ( plutôt qu'une transformation linéaire ) entre eux. ${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$ ${\ displaystyle x \ mapsto ax}$

Par exemple, le point de congélation de l'eau est de 0 ° C et 32 ​​° F, et un changement de 5 ° C équivaut à un changement de 9 ° F. Ainsi, pour convertir des unités de Fahrenheit en unités de Celsius, on soustrait 32 ° F (le décalage du point de référence), divise par 9 ° F et multiplie par 5 ° C (échelle par le rapport d'unités), et ajoute 0 ° C (le décalage par rapport au point de référence). Inverser ceci donne la formule pour obtenir une quantité en unités de Celsius à partir d'unités de Fahrenheit; on aurait pu commencer avec l'équivalence entre 100 ° C et 212 ° F, même si cela donnerait la même formule à la fin.

Par conséquent, pour convertir la valeur numérique d'une température T [F] en degrés Fahrenheit en une valeur numérique T [C] en degrés Celsius, cette formule peut être utilisée:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9.

Pour convertir T [C] en degrés Celsius en T [F] en degrés Fahrenheit, cette formule peut être utilisée:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

Applications

L'analyse dimensionnelle est le plus souvent utilisée en physique et en chimie - et dans leurs mathématiques - mais trouve également des applications en dehors de ces domaines.

Mathématiques

Une application simple de l' analyse dimensionnelle aux mathématiques est dans le calcul de la forme du volume d'un n -Ball (la boule solide en n dimensions), ou la zone de sa surface, le n -sphere : étant un n chiffre de dimension, la le volume évolue comme tandis que la surface, étant -dimensionnelle, évolue comme Ainsi le volume de la n- boule en termes de rayon est pour une certaine constante La détermination de la constante nécessite des mathématiques plus complexes, mais la forme peut être déduite et vérifiée par analyse dimensionnelle seul. ${\ displaystyle x ^ {n},}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle x ^ {n-1}.}$${\ displaystyle C_ {n} r ^ {n},}$${\ displaystyle C_ {n}.}$

Finance, économie et comptabilité

En finance, en économie et en comptabilité, l'analyse dimensionnelle est le plus souvent mentionnée en termes de distinction entre stocks et flux . Plus généralement, l'analyse dimensionnelle est utilisée pour interpréter divers ratios financiers, ratios économiques et ratios comptables.

• Par exemple, le ratio P / E a des dimensions de temps (unités d'années) et peut être interprété comme des «années de gains pour gagner le prix payé».
• En économie, le ratio dette / PIB a également des unités d'années (la dette a des unités monétaires, le PIB a des unités monétaires / an).
• Dans l'analyse financière, certains types de duration des obligations ont également une dimension de temps (unité d'années) et peuvent être interprétés comme des «années avant le point d'équilibre entre les paiements d'intérêts et le remboursement nominal».
• La vitesse de la monnaie a des unités de 1 / an (le PIB / masse monétaire a des unités de monnaie / an sur la monnaie): à quelle fréquence une unité de monnaie circule par an.
• Les taux d'intérêt sont souvent exprimés en pourcentage, mais plus exactement en pourcentage par an, qui a des dimensions de 1 / an.

Mécanique des fluides

En mécanique des fluides, l'analyse dimensionnelle est réalisée afin d'obtenir des termes ou groupes pi sans dimension . Selon les principes de l'analyse dimensionnelle, tout prototype peut être décrit par une série de ces termes ou groupes qui décrivent le comportement du système. En utilisant des termes ou des groupes pi appropriés, il est possible de développer un ensemble similaire de termes pi pour un modèle qui a les mêmes relations dimensionnelles. En d'autres termes, les termes pi fournissent un raccourci pour développer un modèle représentant un certain prototype. Les groupes sans dimension courants en mécanique des fluides comprennent:

• Nombre de Reynolds (Re), généralement important dans tous les types de problèmes de fluides:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho \, ud} {\ mu}}}$.

• Nombre de Froude (Fr), modélisation de flux avec une surface libre:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {g \, L}}}.}$

• Nombre d'Euler (Eu), utilisé dans les problèmes dans lesquels la pression est intéressante:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Eu} = {\ frac {\ Delta p} {\ rho u ^ {2}}}.}$

• Nombre de Mach (Ma), important dans les écoulements à grande vitesse où la vitesse s'approche ou dépasse la vitesse locale du son:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {u} {c}},}$où: c est la vitesse locale du son.

Histoire

Les origines de l'analyse dimensionnelle ont été contestées par les historiens.

La première application écrite de l'analyse dimensionnelle a été attribuée à un article de François Daviet de l' Académie des sciences de Turin . Daviet avait le maître Lagrange comme professeur. Ses œuvres fondamentales sont contenues dans les acta de l'Académie datées de 1799.

Cela a conduit à la conclusion que les lois significatives doivent être des équations homogènes dans leurs diverses unités de mesure, un résultat qui a finalement été formalisé plus tard dans le théorème de Buckingham π . Siméon Poisson a également traité le même problème de la loi des parallélogrammes de Daviet, dans son traité de 1811 et 1833 (vol I, p. 39). Dans la deuxième édition de 1833, Poisson introduit explicitement le terme dimension au lieu de l' homogénéité de Daviet .

En 1822, l'important scientifique napoléonien Joseph Fourier a fait les premières contributions importantes créditées basées sur l'idée que les lois physiques comme F = ma devraient être indépendantes des unités utilisées pour mesurer les variables physiques.

Maxwell a joué un rôle majeur dans l'établissement de l'utilisation moderne de l'analyse dimensionnelle en distinguant la masse, la longueur et le temps comme unités fondamentales, tout en se référant aux autres unités comme dérivées. Bien que Maxwell ait défini la longueur, le temps et la masse comme étant "les trois unités fondamentales", il a également noté que la masse gravitationnelle peut être dérivée de la longueur et du temps en supposant une forme de loi de Newton de la gravitation universelle dans laquelle la constante gravitationnelle G est prise comme unité , définissant ainsi M = L ³ T ^-2 . En supposant une forme de loi de Coulomb dans laquelle la constante de Coulomb k _e est prise comme unité, Maxwell a alors déterminé que les dimensions d'une unité de charge électrostatique étaient Q = L ^3/2 M ^1/2 T ⁻¹ , ce qui, après avoir substitué son M = L ³ T ⁻² équation pour la masse, résulte en une charge ayant les mêmes dimensions que la masse, à savoir. Q = L ³ T ⁻² .

L'analyse dimensionnelle est également utilisée pour dériver des relations entre les grandeurs physiques impliquées dans un phénomène particulier que l'on souhaite comprendre et caractériser. Il a été utilisé pour la première fois ( Pesic 2005 ) de cette manière en 1872 par Lord Rayleigh , qui essayait de comprendre pourquoi le ciel est bleu. Rayleigh a publié la technique pour la première fois dans son livre de 1877 The Theory of Sound .

La signification originale du mot dimension , dans la Théorie de la Chaleur de Fourier , était la valeur numérique des exposants des unités de base. Par exemple, l'accélération a été considérée comme ayant la dimension 1 par rapport à l'unité de longueur et la dimension -2 par rapport à l'unité de temps. Cela a été légèrement modifié par Maxwell, qui a déclaré que les dimensions de l'accélération sont LT ⁻² , au lieu des exposants uniquement.

Formulation mathématique

Le théorème de Buckingham π décrit comment chaque équation physiquement significative impliquant n variables peut être réécrite de manière équivalente comme une équation de n - m paramètres sans dimension, où m est le rang de la matrice dimensionnelle. En outre, et surtout, il fournit une méthode pour calculer ces paramètres sans dimension à partir des variables données.

Une équation dimensionnelle peut avoir les dimensions réduites ou éliminées par la non dimensionnalisation , qui commence par une analyse dimensionnelle, et implique la mise à l'échelle des quantités par unités caractéristiques d'un système ou unités naturelles de la nature. Cela donne un aperçu des propriétés fondamentales du système, comme illustré dans les exemples ci-dessous.

Définition

La dimension d'une quantité physique peut être exprimée comme un produit des dimensions physiques de base telles que la longueur , la masse et le temps , chacune élevée à une puissance rationnelle . La dimension d'une quantité physique est plus fondamentale que certaines unités d' échelle utilisées pour exprimer la quantité de cette quantité physique. Par exemple, la masse est une dimension, tandis que le kilogramme est une unité d'échelle particulière choisie pour exprimer une quantité de masse. À l'exception des unités naturelles , le choix de l'échelle est culturel et arbitraire.

Il existe de nombreux choix possibles de dimensions physiques de base. La norme SI recommande l'utilisation des dimensions suivantes et des symboles correspondants: longueur (L), masse (M), temps (T), courant électrique (I), température absolue (Θ), quantité de substance (N) et intensité lumineuse (J). Les symboles sont, par convention, généralement écrits en caractères romains sans empattement . Mathématiquement, la dimension de la quantité Q est donnée par

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {Q} = {\ mathsf {L}} ^ {a} {\ mathsf {M}} ^ {b} {\ mathsf {T}} ^ {c} {\ mathsf {I}} ^ {d} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {e} {\ mathsf {N}} ^ {f} {\ mathsf {J}} ^ {g}}$

où a , b , c , d , e , f , g sont les exposants dimensionnels. D'autres grandeurs physiques pourraient être définies comme les grandeurs de base, à condition qu'elles forment une base linéairement indépendante . Par exemple, on pourrait remplacer la dimension de courant électrique (I) de la base SI par une dimension de charge électrique (Q), puisque Q = IT.

A titre d'exemple, la dimension de la quantité physique vitesse v est

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ v = {\ frac {\ text {length}} {\ text {time}}} = {\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} = {\ mathsf {LT}} ^ {- 1}}$

et la dimension de la force physique F est

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ F = {\ text {masse}} \ times {\ text {accélération}} = {\ text {masse}} \ times {\ frac {\ text {length}} { {\ text {time}} ^ {2}}} = {\ frac {\ mathsf {ML}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} = {\ mathsf {MLT}} ^ {- 2 }}$

L'unité choisie pour exprimer une grandeur physique et sa dimension sont des concepts liés, mais non identiques. Les unités d'une quantité physique sont définies par convention et liées à une norme; par exemple, la longueur peut avoir des unités de mètres, pieds, pouces, miles ou micromètres; mais toute longueur a toujours une dimension de L, quelles que soient les unités de longueur choisies pour l'exprimer. Deux unités différentes de la même quantité physique ont des facteurs de conversion qui les relient. Par exemple, 1  en = 2,54  cm ; dans ce cas (2,54 cm / pouce) est le facteur de conversion, lui-même sans dimension. Par conséquent, multiplier par ce facteur de conversion ne change pas les dimensions d'une quantité physique.

Il y a aussi des physiciens qui ont mis en doute l'existence même de dimensions fondamentales incompatibles de la quantité physique, bien que cela n'invalide pas l'utilité de l'analyse dimensionnelle.

Propriétés mathématiques

Les dimensions qui peuvent être formées à partir d'un ensemble donné de dimensions physiques de base, telles que M, L et T, forment un groupe abélien : l'identité s'écrit 1; L ⁰ = 1 , et l'inverse de L est 1 / L ou L ⁻¹ . L élevé à toute puissance rationnelle p est un membre du groupe, ayant un inverse de L ^{- p} ou 1 / L ^p . Le fonctionnement du groupe est la multiplication, ayant les règles habituelles de manipulation des exposants ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

Ce groupe peut être décrit comme un espace vectoriel sur les nombres rationnels, avec par exemple le symbole dimensionnel M ⁱ L ^j T ^k correspondant au vecteur ( i , j , k ) . Lorsque des grandeurs physiques mesurées (qu'elles soient de même dimension ou de dimension différente) sont multipliées ou divisées par une autre, leurs unités dimensionnelles sont également multipliées ou divisées; cela correspond à l'addition ou à la soustraction dans l'espace vectoriel. Lorsque des quantités mesurables sont élevées à une puissance rationnelle, il en va de même pour les symboles dimensionnels attachés à ces quantités; cela correspond à la multiplication scalaire dans l'espace vectoriel.

Une base pour un tel espace vectoriel de symboles dimensionnels est appelée un ensemble de grandeurs de base , et tous les autres vecteurs sont appelés unités dérivées. Comme dans tout espace vectoriel, on peut choisir différentes bases , ce qui donne différents systèmes d'unités (par exemple, en choisissant si l'unité de charge est dérivée de l'unité de courant, ou vice versa).

L'identité de groupe 1, la dimension des grandeurs sans dimension, correspond à l'origine dans cet espace vectoriel.

L'ensemble des unités des grandeurs physiques impliquées dans un problème correspond à un ensemble de vecteurs (ou une matrice). La nullité décrit un certain nombre (par exemple, m ) de façons dont ces vecteurs peuvent être combinés pour produire un vecteur nul. Celles-ci correspondent à la production (à partir des mesures) d'un certain nombre de grandeurs sans dimension, {π ₁ , ..., π _m }. (En fait, ces manières couvrent complètement le sous-espace nul d'un autre espace différent, des puissances des mesures.) Toutes les manières possibles de multiplier (et d' exponentiellement ) ensemble les quantités mesurées pour produire quelque chose avec les mêmes unités qu'une certaine quantité dérivée X peuvent être exprimées sous la forme générale

${\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ pi _ {i}) ^ {k_ {i}} \ ,.}$

Par conséquent, toutes les équations correspondantes possibles pour la physique du système peuvent être réécrites sous la forme

${\ displaystyle f (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, ..., \ pi _ {m}) = 0 \ ,.}$

Connaître cette restriction peut être un outil puissant pour obtenir de nouvelles informations sur le système.

Mécanique

La dimension des grandeurs physiques d'intérêt en mécanique peut être exprimée en termes de dimensions de base M, L et T - celles-ci forment un espace vectoriel tridimensionnel. Ce n'est pas le seul choix valide de dimensions de base, mais c'est celui le plus couramment utilisé. Par exemple, on peut choisir la force, la longueur et la masse comme dimensions de base (comme certains l'ont fait), avec les dimensions associées F, L, M; cela correspond à une base différente, et on peut convertir entre ces représentations par un changement de base . Le choix du jeu de dimensions de base est donc une convention, avec l'avantage d'une utilité et d'une familiarité accrues. Le choix des dimensions de base n'est pas entièrement arbitraire, car elles doivent former une base : elles doivent couvrir l'espace, et être linéairement indépendantes .

Par exemple, F, L, M forment un ensemble de dimensions fondamentales car elles forment une base équivalente à M, L, T: la première peut être exprimée par [F = ML / T ² ], L, M, tandis que la ce dernier peut être exprimé par M, L, [T = (ML / F) ^1/2 ].

En revanche, la longueur, la vitesse et le temps (L, V, T) ne forment pas un ensemble de dimensions de base pour les mécaniciens, pour deux raisons:

• Il n'y a aucun moyen d'obtenir la masse - ou quoi que ce soit qui en dérive, comme la force - sans introduire une autre dimension de base (ainsi, ils ne couvrent pas l'espace ).
• La vitesse, exprimable en termes de longueur et de temps (V = L / T), est redondante (l'ensemble n'est pas linéairement indépendant ).

Autres domaines de la physique et de la chimie

Selon le domaine de la physique, il peut être avantageux de choisir l'un ou l'autre ensemble étendu de symboles dimensionnels. En électromagnétisme, par exemple, il peut être utile d'utiliser des dimensions de M, L, T et Q, où Q représente la dimension de la charge électrique . En thermodynamique , l'ensemble de base des dimensions est souvent étendu pour inclure une dimension pour la température, Θ. En chimie, la quantité de substance (le nombre de molécules divisé par la constante d'Avogadro , ≈6,02 × 10 ²³  mol ^-1 ) est également définie comme une dimension de base, N. Dans l'interaction du plasma relativiste avec de fortes impulsions laser, un paramètre de similitude relativiste sans dimension , lié aux propriétés de symétrie de l' équation de Vlasov sans collision , est construit à partir des densités de plasma, d'électrons et critiques en plus du potentiel vectoriel électromagnétique. Le choix des dimensions ou même du nombre de dimensions à utiliser dans différents domaines de la physique est dans une certaine mesure arbitraire, mais la cohérence dans l'utilisation et la facilité de communication sont des caractéristiques courantes et nécessaires.

Polynômes et fonctions transcendantales

Les arguments scalaires aux fonctions transcendantales telles que les fonctions exponentielles , trigonométriques et logarithmiques , ou aux polynômes non homogènes , doivent être des quantités sans dimension . (Remarque: cette exigence est quelque peu assouplie dans l'analyse d'orientation de Siano décrite ci-dessous, dans laquelle le carré de certaines quantités dimensionnées est sans dimension.)

Alors que la plupart des identités mathématiques sur les nombres sans dimension se traduisent de manière directe en quantités dimensionnelles, il faut faire attention aux logarithmes des rapports: le journal d'identité (a / b) = log a - log b, où le logarithme est pris dans n'importe quelle base, tient pour les nombres sans dimension a et b, mais cela ne vaut pas si a et b sont dimensionnels, car dans ce cas le côté gauche est bien défini mais le côté droit ne l'est pas.

De même, si l'on peut évaluer des monômes ( x ⁿ ) de grandeurs dimensionnelles, on ne peut pas évaluer des polynômes de degré mixte avec des coefficients adimensionnels sur des grandeurs dimensionnelles: pour x ² , l'expression (3 m) ²  = 9 m ^{2 a du} sens (en tant qu'aire ), tandis que pour x ²  +  x , l'expression (3 m) ²  + 3 m = 9 m ²  + 3 m n'a pas de sens.

Cependant, des polynômes de degré mixte peuvent avoir un sens si les coefficients sont des quantités physiques convenablement choisies qui ne sont pas sans dimension. Par exemple,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9.8 \ {\ frac {\ text {mètre}} {{\ text {second}} ^ {2}}} \ right) \ cdot t ^ {2} + \ left (500 \ {\ frac {\ text {mètre}} {\ text {seconde}}} \ right) \ cdot t.}$

C'est la hauteur à laquelle un objet s'élève au temps  t si l'accélération de la gravité est de 9,8 mètres par seconde par seconde et la vitesse ascendante initiale est de 500 mètres par seconde. Il n'est pas nécessaire que t soit en secondes . Par exemple, supposons que t  = 0,01 minute. Ensuite, le premier terme serait

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9.8 \ {\ frac {\ text {mètre}} {{\ text {second}} ^ {2} }} \ right) \ cdot (0.01 {\ text {minute}}) ^ {2} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ text {minute}} {\ text {seconde}}} \ right) ^ {2} \ cdot {\ text {mètre}} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ right) \ cdot 60 ^ {2} \ cdot {\ text {mètre}}. \ end { aligné}}}$

Incorporer des unités

La valeur d'une grandeur physique dimensionnelle Z est écrite comme le produit d'une unité [ Z ] dans la dimension et d'un facteur numérique sans dimension, n .

${\ displaystyle Z = n \ fois [Z] = n [Z]}$

Lorsque des quantités de dimension similaire sont ajoutées, soustraites ou comparées, il est commode de les exprimer en unités cohérentes de sorte que les valeurs numériques de ces quantités puissent être directement ajoutées ou soustraites. Mais, dans le concept, il n'y a aucun problème à ajouter des quantités de même dimension exprimées en différentes unités. Par exemple, 1 mètre ajouté à 1 pied est une longueur, mais on ne peut pas dériver cette longueur en ajoutant simplement 1 et 1. Un facteur de conversion , qui est un rapport de quantités de même dimension et est égal à l'unité sans dimension, est nécessaire:

${\ displaystyle 1 \ {\ mbox {ft}} = 0,3048 \ {\ mbox {m}} \}$ est identique à ${\ displaystyle 1 = {\ frac {0,3048 \ {\ mbox {m}}} {1 \ {\ mbox {ft}}}}. \}$

Le facteur est identique au 1 sans dimension, donc multiplier par ce facteur de conversion ne change rien. Ensuite, lors de l'ajout de deux quantités de même dimension, mais exprimées en unités différentes, le facteur de conversion approprié, qui est essentiellement le 1 sans dimension, est utilisé pour convertir les quantités en unités identiques afin que leurs valeurs numériques puissent être ajoutées ou soustraites. ${\ displaystyle 0.3048 \ {\ frac {\ mbox {m}} {\ mbox {ft}}}}$

Ce n'est que de cette manière qu'il est significatif de parler d'ajouter des quantités de dimension similaire d'unités différentes.

Position vs déplacement

Certaines discussions sur l'analyse dimensionnelle décrivent implicitement toutes les quantités comme des vecteurs mathématiques. (En mathématiques, les scalaires sont considérés comme un cas particulier de vecteurs; les vecteurs peuvent être ajoutés ou soustraits d'autres vecteurs et, entre autres, multipliés ou divisés par des scalaires. Si un vecteur est utilisé pour définir une position, cela suppose un point implicite de référence: une origine . Bien que cela soit utile et souvent parfaitement adéquat, permettant de détecter de nombreuses erreurs importantes, il peut ne pas modéliser certains aspects de la physique. Une approche plus rigoureuse nécessite de faire la distinction entre position et déplacement (ou moment dans le temps et durée, ou température absolue en fonction du changement de température).

Considérez les points sur une ligne, chacun avec une position par rapport à une origine donnée, et les distances entre eux. Les positions et les déplacements ont tous des unités de longueur, mais leur signification n'est pas interchangeable:

• l'ajout de deux déplacements devrait donner un nouveau déplacement (marcher dix pas puis vingt pas vous fait avancer trente pas),
• l'ajout d'un déplacement à une position devrait donner une nouvelle position (marcher un pâté de maisons dans la rue à partir d'une intersection vous amène à l'intersection suivante),
• la soustraction de deux positions devrait produire un déplacement,
• mais on ne peut pas ajouter deux positions.

Ceci illustre la distinction subtile entre les quantités affines (celles modélisées par un espace affine , comme la position) et les quantités vectorielles (celles modélisées par un espace vectoriel , comme le déplacement).

• Des quantités vectorielles peuvent être ajoutées les unes aux autres, donnant une nouvelle quantité vectorielle, et une quantité vectorielle peut être ajoutée à une quantité affine appropriée (un espace vectoriel agit sur un espace affine), donnant une nouvelle quantité affine.
• Les quantités affines ne peuvent pas être ajoutées, mais peuvent être soustraites, donnant des quantités relatives qui sont des vecteurs, et ces différences relatives peuvent alors être ajoutées les unes aux autres ou à une quantité affine.

Bien alors, les positions ont une dimension de longueur affine , tandis que les déplacements ont une dimension de longueur vectorielle . Pour attribuer un nombre à une unité affine , il faut non seulement choisir une unité de mesure, mais aussi un point de référence , tandis que pour attribuer un nombre à une unité vectorielle , il suffit d'une unité de mesure.

Ainsi, certaines grandeurs physiques sont mieux modélisées par des quantités vectorielles tandis que d'autres ont tendance à exiger une représentation affine, et la distinction se reflète dans leur analyse dimensionnelle.

Cette distinction est particulièrement importante dans le cas de la température, pour laquelle la valeur numérique du zéro absolu n'est pas l'origine 0 dans certaines échelles. Pour le zéro absolu,

−273,15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ −459,67 ° F,

où le symbole ≘ signifie correspond à , car bien que ces valeurs sur les échelles de température respectives correspondent, elles représentent des quantités distinctes de la même manière que les distances entre des points de départ distincts et un même point final sont des quantités distinctes, et ne peuvent en général être assimilées.

Pour les différences de température,

1 K = 1 ° C ≠ 1 ° F = 1 ° R.

(Ici ° R fait référence à l' échelle de Rankine , pas à l' échelle de Réaumur ). La conversion d'unité pour les différences de température est simplement une question de multiplication par, par exemple, 1 ° F / 1 K (bien que le rapport ne soit pas une valeur constante). Mais comme certaines de ces échelles ont des origines qui ne correspondent pas au zéro absolu, la conversion d'une échelle de température à une autre nécessite d'en tenir compte. En conséquence, une simple analyse dimensionnelle peut conduire à des erreurs s'il est ambigu de savoir si 1 K signifie la température absolue égale à -272,15 ° C, ou la différence de température égale à 1 ° C.

Orientation et cadre de référence

Semblable à la question d'un point de référence est la question de l'orientation: un déplacement en 2 ou 3 dimensions n'est pas seulement une longueur, mais est une longueur avec une direction . (Ce problème ne se pose pas en 1 dimension, ou plutôt équivaut à la distinction entre positif et négatif.) Ainsi, pour comparer ou combiner des quantités bidimensionnelles dans un espace multidimensionnel, il faut aussi une orientation: elles doivent être comparées à un cadre de référence .

Cela conduit aux extensions discutées ci-dessous, à savoir les dimensions dirigées de Huntley et l'analyse d'orientation de Siano.

Exemples

Un exemple simple: période d'un oscillateur harmonique

Quelle est la période d' oscillation T d'une masse m attachée à un ressort linéaire idéal avec une constante de ressort k suspendue à une gravité de force g ? Cette période est la solution pour T d'une équation sans dimension dans les variables T , m , k et g . Les quatre grandeurs ont les dimensions suivantes: T [T]; m [M]; k [M / T ² ]; et g [L / T ² ]. A partir de celles-ci, nous ne pouvons former qu'un seul produit sans dimension des puissances de nos variables choisies, = [T ² · M / T ² / M = 1] , et en mettant pour une certaine constante sans dimension C, l'équation sans dimension recherchée. Le produit sans dimension des puissances des variables est parfois appelé un groupe de variables sans dimension; ici, le terme «groupe» signifie «collection» plutôt que groupe mathématique . Ils sont aussi souvent appelés nombres sans dimension . ${\ displaystyle G_ {1}}$${\ displaystyle T ^ {2} k / m}$ ${\ displaystyle G_ {1} = C}$

Notez que la variable g n'apparaît pas dans le groupe. Il est facile de voir qu'il est impossible de former un produit adimensionnel de puissances qui combine g avec k , m et T , car g est la seule grandeur qui implique la dimension L. Cela implique que dans ce problème le g n'est pas pertinent. L'analyse dimensionnelle peut parfois produire des déclarations fortes sur la non - pertinence de certaines quantités dans un problème ou sur la nécessité de paramètres supplémentaires. Si nous avons choisi suffisamment de variables pour décrire correctement le problème, alors à partir de cet argument, nous pouvons conclure que la période de la masse sur le ressort est indépendante de g : c'est la même chose sur la terre ou sur la lune. L'équation démontrant l'existence d'un produit de puissances pour notre problème peut s'écrire d'une manière tout à fait équivalente:, pour une constante sans dimension κ (égale à de l'équation sans dimension originale). ${\ displaystyle T = \ kappa {\ sqrt {\ tfrac {m} {k}}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {C}}}$

Face à un cas où l'analyse dimensionnelle rejette une variable ( g , ici) que l'on s'attend intuitivement à appartenir à une description physique de la situation, une autre possibilité est que la variable rejetée est en fait pertinente, mais qu'une autre variable pertinente a été omis, qui pourrait se combiner avec la variable rejetée pour former une quantité sans dimension. Ce n'est cependant pas le cas ici.

Lorsque l'analyse dimensionnelle ne produit qu'un seul groupe sans dimension, comme ici, il n'y a pas de fonctions inconnues, et la solution est dite "complète" - bien qu'elle puisse encore impliquer des constantes sans dimension inconnues, telles que κ .

Un exemple plus complexe: l'énergie d'un fil vibrant

Prenons le cas d'un fil vibrant de longueur ℓ (L) vibrant d' amplitude A (L). Le fil a une densité linéaire ρ (M / L) et est sous tension s (ML / T ² ), et nous voulons connaître l' énergie E (ML ² / T ² ) dans le fil. Soit π ₁ et π ₂ deux produits adimensionnels des puissances des variables choisies, donnés par

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ pi _ {1} & = {\ frac {E} {As}} \\\ pi _ {2} & = {\ frac {\ ell} {A}}. \ fin {aligné}}}$

La densité linéaire du fil n'est pas impliquée. Les deux groupes trouvés peuvent être combinés sous une forme équivalente sous forme d'équation

${\ displaystyle F \ left ({\ frac {E} {As}}, {\ frac {\ ell} {A}} \ right) = 0,}$

où F est une fonction inconnue, ou, de manière équivalente

${\ displaystyle E = Asf \ left ({\ frac {\ ell} {A}} \ right),}$

où f est une autre fonction inconnue. Ici, la fonction inconnue implique que notre solution est maintenant incomplète, mais l'analyse dimensionnelle nous a donné quelque chose qui n'était peut-être pas évident: l'énergie est proportionnelle à la première puissance de la tension. Sauf analyse analytique plus approfondie, nous pourrions procéder à des expériences pour découvrir la forme de la fonction inconnue f . Mais nos expériences sont plus simples qu'en l'absence d'analyse dimensionnelle. Nous n'en ferions aucun pour vérifier que l'énergie est proportionnelle à la tension. Ou peut-être pourrions-nous deviner que l'énergie est proportionnelle à ℓ , et ainsi en déduire que E = ℓs . Le pouvoir de l'analyse dimensionnelle comme aide à l'expérimentation et à la formation d'hypothèses devient évident.

La puissance de l'analyse dimensionnelle devient vraiment apparente lorsqu'elle est appliquée à des situations, contrairement à celles données ci-dessus, qui sont plus compliquées, l'ensemble des variables impliquées ne sont pas apparentes et les équations sous-jacentes désespérément complexes. Prenons par exemple un petit caillou posé sur le lit d'une rivière. Si la rivière coule assez vite, elle soulèvera le caillou et le fera couler avec l'eau. À quelle vitesse critique cela se produira-t-il? Le tri des variables devinées n'est pas aussi simple qu'avant. Mais l'analyse dimensionnelle peut être une aide puissante pour comprendre des problèmes comme celui-ci, et est généralement le tout premier outil à être appliqué à des problèmes complexes où les équations et contraintes sous-jacentes sont mal comprises. Dans de tels cas, la réponse peut dépendre d'un nombre sans dimension tel que le nombre de Reynolds , qui peut être interprété par analyse dimensionnelle.

Un troisième exemple: la demande par rapport à la capacité d'un disque rotatif

Prenons le cas d'un disque rotatif mince, solide et à faces parallèles d'épaisseur axiale t (L) et de rayon R (L). Le disque a une densité ρ (M / L ³ ), tourne à une vitesse angulaire ω (T ^-1 ) et cela conduit à une contrainte S (ML ^-1 T ^-2 ) dans le matériau. Il existe une solution élastique linéaire théorique, donnée par Lame, à ce problème lorsque le disque est mince par rapport à son rayon, les faces du disque sont libres de se déplacer axialement, et les relations constitutives des contraintes planes peuvent être supposées valides. Lorsque le disque devient plus épais par rapport au rayon, la solution de contrainte plane se décompose. Si le disque est retenu axialement sur ses faces libres, un état de déformation plane se produira. Cependant, si ce n'est pas le cas, l'état de contrainte ne peut être déterminé qu'en tenant compte de l'élasticité tridimensionnelle et il n'y a pas de solution théorique connue pour ce cas. Un ingénieur pourrait donc être intéressé à établir une relation entre les cinq variables. L'analyse dimensionnelle pour ce cas conduit aux groupes non dimensionnels suivants (5 - 3 = 2):

demande / capacité = ρR ² ω ² / S

épaisseur / rayon ou rapport hauteur / largeur = t / R

Grâce à l'utilisation d'expériences numériques utilisant, par exemple, la méthode des éléments finis , la nature de la relation entre les deux groupes non dimensionnels peut être obtenue comme le montre la figure. Comme ce problème n'implique que deux groupes non dimensionnels, l'image complète est fournie dans un seul tracé et cela peut être utilisé comme un tableau de conception / d'évaluation pour les disques rotatifs

Extensions

Extension de Huntley: dimensions dirigées et quantité de matière

Huntley ( Huntley 1967 ) a souligné qu'une analyse dimensionnelle peut devenir plus puissante en découvrant de nouvelles dimensions indépendantes dans les quantités considérées, augmentant ainsi le rang de la matrice dimensionnelle. Il a présenté deux approches pour ce faire: ${\ displaystyle m}$

• Les grandeurs des composantes d'un vecteur doivent être considérées comme indépendantes des dimensions. Par exemple, plutôt qu'une dimension de longueur L indifférenciée, nous pouvons avoir L _x représentant la dimension dans la direction x, et ainsi de suite. Cette exigence découle finalement de l'exigence selon laquelle chaque composant d'une équation physiquement significative (scalaire, vecteur ou tenseur) doit être dimensionnellement cohérent.
• La masse en tant que mesure de la quantité de matière doit être considérée comme indépendante de la masse en tant que mesure d'inertie.

À titre d'exemple de l'utilité de la première approche, supposons que nous souhaitons calculer la distance parcourue par un boulet de canon lorsqu'il est tiré avec une composante de vitesse verticale et une composante de vitesse horizontale , en supposant qu'il est tiré sur une surface plane. En supposant l'absence d'utilisation de longueurs dirigées, les grandeurs d'intérêt sont alors , toutes deux dimensionnées comme LT ^-1 , R , la distance parcourue, de dimension L, et g l'accélération de la gravité vers le bas, de dimension LT ^-2 . ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$

Avec ces quatre grandeurs, on peut conclure que l'équation de l'intervalle R peut s'écrire:

${\ displaystyle R \ propto V _ {\ text {x}} ^ {a} \, V _ {\ text {y}} ^ {b} \, g ^ {c}. \,}$

Ou dimensionnellement

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} = \ gauche ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ droite) ^ {a + b} \ gauche ({\ frac {\ mathsf {L}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c} \,}$

d'où l'on peut déduire cela et , ce qui laisse un exposant indéterminé. C'est normal puisque nous avons deux dimensions fondamentales L et T, et quatre paramètres, avec une équation. ${\ Displaystyle a + b + c = 1}$${\ displaystyle a + b + 2c = 0}$

Si, cependant, nous utilisons des dimensions de longueur dirigées, alors sera dimensionné comme L _x T ⁻¹ , comme L _y T ⁻¹ , R comme L _x et g comme L _y T ⁻² . L'équation dimensionnelle devient: ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}} = \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c}}$

et nous pouvons résoudre complètement comme , et . L'augmentation de la puissance déductive obtenue par l'utilisation de dimensions de longueur dirigées est évidente. ${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle b = 1}$${\ displaystyle c = -1}$

Dans sa seconde approche, Huntley soutient qu'il est parfois utile (par exemple, en mécanique des fluides et en thermodynamique) de faire la distinction entre la masse comme mesure de l'inertie (masse inertielle) et la masse comme mesure de la quantité de matière. La quantité de matière est définie par Huntley comme une quantité (a) proportionnelle à la masse d'inertie, mais (b) n'impliquant pas de propriétés d'inertie. Aucune autre restriction n'est ajoutée à sa définition.

Par exemple, considérons la dérivation de la loi de Poiseuille . Nous souhaitons trouver le débit massique d'un fluide visqueux à travers un tuyau circulaire. Sans faire de distinction entre masse inertielle et masse substantielle, nous pouvons choisir comme variables pertinentes

• ${\ displaystyle {\ dot {m}}}$le débit massique de dimension MT ⁻¹
• ${\ displaystyle p _ {\ text {x}}}$le gradient de pression le long de la conduite de dimension ML ⁻² T ⁻²
• ρ la densité de dimension ML ⁻³
• η la viscosité dynamique du fluide de dimension ML ⁻¹ T ⁻¹
• r le rayon du tuyau de dimension L

Il y a trois variables fondamentales, donc les cinq équations ci-dessus donneront deux variables sans dimension que nous pouvons prendre pour être et et nous pouvons exprimer l'équation dimensionnelle comme ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ dot {m}} / \ eta r}$${\ displaystyle \ pi _ {2} = p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5} / {\ dot {m}} ^ {2}}$

${\ displaystyle C = \ pi _ {1} \ pi _ {2} ^ {a} = \ left ({\ frac {\ dot {m}} {\ eta r}} \ right) \ left ({\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5}} {{\ dot {m}} ^ {2}}} \ right) ^ {a}}$

où C et a sont des constantes indéterminées. Si nous faisons une distinction entre la masse inertielle avec dimension et la quantité de matière avec dimension , alors le débit massique et la densité utiliseront la quantité de matière comme paramètre de masse, tandis que le gradient de pression et le coefficient de viscosité utiliseront la masse inertielle. Nous avons maintenant quatre paramètres fondamentaux et une constante sans dimension, de sorte que l'équation dimensionnelle peut s'écrire: ${\ displaystyle M _ {\ text {i}}}$${\ displaystyle M _ {\ text {m}}}$

${\ displaystyle C = {\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {4}} {\ eta {\ dot {m}}}}}$

où maintenant seul C est une constante indéterminée (trouvée égale à par des méthodes en dehors de l'analyse dimensionnelle). Cette équation peut être résolue pour le débit massique pour donner la loi de Poiseuille . ${\ displaystyle \ pi / 8}$

La reconnaissance par Huntley de la quantité de matière comme dimension indépendante de la quantité réussit évidemment dans les problèmes où elle est applicable, mais sa définition de la quantité de matière est sujette à interprétation, car elle manque de spécificité au-delà des deux exigences (a) et (b). postulé pour cela. Pour une substance donnée, la quantité de substance de dimension SI , avec l'unité mole , satisfait les deux exigences de Huntley en tant que mesure de la quantité de matière, et pourrait être utilisée comme quantité de matière dans tout problème d'analyse dimensionnelle où le concept de Huntley est applicable.

Le concept de Huntley des dimensions de longueur dirigées présente cependant de sérieuses limites:

• Il ne traite pas bien les équations vectorielles impliquant le produit croisé ,
• il ne gère pas non plus bien l'utilisation des angles comme variables physiques.

Il est également souvent assez difficile d'assigner les symboles L, L _x , L _y , L _z , aux variables physiques impliquées dans le problème d'intérêt. Il invoque une procédure qui implique la «symétrie» du problème physique. Ceci est souvent très difficile à appliquer de manière fiable: il est difficile de savoir à quelles parties du problème la notion de «symétrie» est invoquée. Est-ce la symétrie du corps physique sur laquelle les forces agissent ou les points, lignes ou zones où les forces sont appliquées? Et si plus d'un corps est impliqué avec des symétries différentes?

Considérons la bulle sphérique attachée à un tube cylindrique, où l'on veut le débit d'air en fonction de la différence de pression dans les deux parties. Quelles sont les dimensions étendues Huntley de la viscosité de l'air contenu dans les pièces connectées? Quelles sont les dimensions étendues de la pression des deux pièces? Sont-ils identiques ou différents? Ces difficultés sont responsables de l'application limitée des dimensions de longueur dirigées de Huntley à des problèmes réels.

Extension de Siano: analyse d'orientation

Les angles sont, par convention, considérés comme des quantités sans dimension. A titre d'exemple, considérons à nouveau le problème du projectile dans lequel une masse ponctuelle est lancée depuis l'origine ( x , y ) = (0, 0) à une vitesse v et un angle θ au-dessus de l' axe x , avec la force de gravité dirigée le long l' axe y négatif. On souhaite trouver la plage R , point auquel la masse revient sur l' axe des x . L'analyse conventionnelle donnera la variable sans dimension π = R g / v ² , mais n'offre aucun aperçu de la relation entre R et θ .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) a suggéré que les dimensions dirigées de Huntley soient remplacées en utilisant des symboles d'orientation 1 _x  1 _y  1 _z pour désigner les directions vectorielles, et un symbole sans orientation 1 ₀ . Ainsi, L _{x de} Huntley devient L 1 _x avec L spécifiant la dimension de la longueur et 1 _x spécifiant l'orientation. Siano montre en outre que les symboles d'orientation ont leur propre algèbre. Outre l'exigence que 1 _i ⁻¹ = 1 _i , la table de multiplication suivante pour les symboles d'orientation résulte:

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | cccc} & \ mathbf {1_ {0}} & \ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {y}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {z}}} \\\ hline \ mathbf {1_ {0}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z }} \\\ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} \\\ mathbf {1_ {\ text {y}}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} \\\ mathbf {1 _ {\ text {z}}} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} \ end {array}}}$

Notez que les symboles d'orientation forment un groupe (les quatre groupes de Klein ou "Viergruppe"). Dans ce système, les scalaires ont toujours la même orientation que l'élément d'identité, indépendamment de la «symétrie du problème». Les grandeurs physiques qui sont des vecteurs ont l'orientation attendue: une force ou une vitesse dans la direction z a l'orientation de 1 _z . Pour les angles, considérons un angle θ qui se situe dans le plan z. Formez un triangle rectangle dans le plan z avec θ étant l'un des angles aigus. Le côté du triangle rectangle adjacent à l'angle a alors une orientation 1 _x et le côté opposé a une orientation 1 _y . Puisque (en utilisant ~ pour indiquer l'équivalence d'orientation) tan ( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y / 1 _x, nous concluons qu'un angle dans le plan xy doit avoir une orientation 1 _y / 1 _x = 1 _z , qui est pas déraisonnable. Un raisonnement analogue force la conclusion que sin ( θ ) a une orientation 1 _z tandis que cos ( θ ) a une orientation 1 ₀ . Celles-ci sont différentes, donc on conclut (correctement), par exemple, qu'il n'y a pas de solutions d'équations physiques qui sont de la forme a cos ( θ ) + b sin ( θ ) , où a et b sont des scalaires réels. Notez qu'une expression telle que n'est pas dimensionnellement incohérente car il s'agit d'un cas particulier de la formule de la somme des angles et doit être correctement écrite: ${\ displaystyle \ sin (\ theta + \ pi / 2) = \ cos (\ theta)}$

${\ displaystyle \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z}} + b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) = \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z} }) \ cos (b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) + \ sin \ left (b \, 1 _ {\ text {z}}) \ cos (a \, 1 _ {\ text {z} }\droite),}$

qui pour et donne . Siano fait la distinction entre les angles géométriques, qui ont une orientation dans l'espace tridimensionnel, et les angles de phase associés à des oscillations basées sur le temps, qui n'ont pas d'orientation spatiale, c'est-à-dire que l'orientation d'un angle de phase est . ${\ displaystyle a = \ theta}$${\ displaystyle b = \ pi / 2}$${\ displaystyle \ sin (\ theta \, 1 _ {\ text {z}} + [\ pi / 2] \, 1 _ {\ text {z}}) = 1 _ {\ text {z}} \ cos (\ theta \, 1 _ {\ text {z}})}$${\ displaystyle 1_ {0}}$

L'attribution de symboles d'orientation à des quantités physiques et l'exigence que les équations physiques soient homogènes du point de vue de l'orientation peuvent en fait être utilisées d'une manière similaire à l'analyse dimensionnelle pour obtenir un peu plus d'informations sur les solutions acceptables des problèmes physiques. Dans cette approche, on met en place l'équation dimensionnelle et on la résout dans la mesure du possible. Si la puissance la plus basse d'une variable physique est fractionnaire, les deux côtés de la solution sont élevés à une puissance telle que toutes les puissances sont intégrales. Cela le met en "forme normale". L'équation d'orientation est ensuite résolue pour donner une condition plus restrictive sur les puissances inconnues des symboles d'orientation, aboutissant à une solution plus complète que celle que l'analyse dimensionnelle seule donne. Souvent, l'information ajoutée est que l'une des puissances d'une certaine variable est paire ou impaire.

A titre d'exemple, pour le problème du projectile, en utilisant des symboles d'orientation, θ , étant dans le plan xy aura donc la dimension 1 _z et la portée du projectile R sera de la forme:

${\ displaystyle R = g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c} {\ text {ce qui signifie}} {\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ mathrm {x}} \ sim \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ text {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \, 1 _ {\ mathsf {z}} ^ {c}. \,}$

L'homogénéité dimensionnelle donnera désormais correctement a = −1 et b = 2 , et l'homogénéité orientationnelle l'exige . En d'autres termes, ce c doit être un entier impair. En fait, la fonction requise de thêta sera sin ( θ ) cos ( θ ) qui est une série constituée de puissances impaires de θ . ${\ displaystyle 1_ {x} / (1_ {y} ^ {a} 1_ {z} ^ {c}) = 1_ {z} ^ {c + 1} = 1}$

On voit que les séries de Taylor de sin ( θ ) et cos ( θ ) sont homogènes du point de vue de l'orientation en utilisant la table de multiplication ci-dessus, alors que des expressions comme cos ( θ ) + sin ( θ ) et exp ( θ ) ne le sont pas, et sont (correctement ) jugée non physique.

L'analyse orientationnelle de Siano est compatible avec la conception conventionnelle des grandeurs angulaires comme étant sans dimension, et dans l'analyse d'orientation, le radian peut encore être considéré comme une unité sans dimension. L'analyse d'orientation d'une équation de quantité est effectuée séparément de l'analyse dimensionnelle ordinaire, donnant des informations qui complètent l'analyse dimensionnelle.

Concepts sans dimension

Constantes

Les constantes sans dimension qui surviennent dans les résultats obtenus, comme le C dans le problème de la loi de Poiseuille et les problèmes dans le ressort discutés ci-dessus, proviennent d'une analyse plus détaillée de la physique sous-jacente et résultent souvent de l'intégration d'une équation différentielle. L'analyse dimensionnelle elle-même n'a pas grand-chose à dire sur ces constantes, mais il est utile de savoir qu'elles ont très souvent une grandeur d'ordre unité. Cette observation peut permettre de faire parfois des calculs « dos de l'enveloppe » sur le phénomène d'intérêt, et donc de pouvoir concevoir plus efficacement des expériences pour le mesurer, ou juger s'il est important, etc. ${\ displaystyle \ kappa}$

Formalismes

Paradoxalement, l'analyse dimensionnelle peut être un outil utile même si tous les paramètres de la théorie sous-jacente sont sans dimension, par exemple, des modèles de réseau comme le modèle d'Ising peuvent être utilisés pour étudier les transitions de phase et les phénomènes critiques. De tels modèles peuvent être formulés de manière purement sans dimension. À mesure que nous approchons de plus en plus du point critique, la distance sur laquelle les variables du modèle de réseau sont corrélées (ce que l'on appelle la longueur de corrélation ) devient de plus en plus grande. Maintenant, la longueur de corrélation est l'échelle de longueur pertinente liée aux phénomènes critiques, donc on peut, par exemple, supposer sur des "bases dimensionnelles" que la partie non analytique de l'énergie libre par site de réseau devrait être où est la dimension du réseau. ${\ displaystyle \ xi}$${\ displaystyle \ sim 1 / \ xi ^ {d}}$${\ displaystyle d}$

Certains physiciens, par exemple MJ Duff , ont soutenu que les lois de la physique sont intrinsèquement sans dimension. Le fait que nous ayons attribué des dimensions incompatibles à la longueur, au temps et à la masse n'est, selon ce point de vue, qu'une question de convention, confirmée par le fait qu'avant l'avènement de la physique moderne, il n'y avait aucun moyen de relier la masse, longueur et temps l'un pour l'autre. Les trois constantes dimensionnelles indépendantes: c , ħ et G , dans les équations fondamentales de la physique doivent alors être considérées comme de simples facteurs de conversion pour convertir la masse, le temps et la longueur les uns dans les autres.

Tout comme dans le cas des propriétés critiques des modèles de réseau, on peut récupérer les résultats de l'analyse dimensionnelle dans la limite d'échelle appropriée; par exemple, l'analyse dimensionnelle en mécanique peut être dérivée en réinsérant les constantes ħ , c et G (mais nous pouvons maintenant les considérer comme sans dimension) et en exigeant qu'une relation non singulière entre les quantités existe dans la limite , et . Dans les problèmes impliquant un champ gravitationnel, cette dernière limite doit être prise de telle sorte que le champ reste fini. ${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$${\ displaystyle G \ rightarrow 0}$

Equivalences dimensionnelles

Voici des tableaux d'expressions courantes en physique, liées aux dimensions de l'énergie, de l'élan et de la force.

Unités SI

Énergie, E ML 2 T −2	Expression	Nomenclature
Mécanique	${\ displaystyle Fd}$	F = force , d = distance
	${\ displaystyle S / t \ ​​equiv Pt}$	S = action , t = temps , P = puissance
	${\ displaystyle mv ^ {2} \ equiv pv \ equiv p ^ {2} / m}$	m = masse , v = vitesse , p = quantité de mouvement
	${\ Displaystyle I \ omega ^ {2} \ equiv L \ omega \ equiv L ^ {2} / I}$	L = moment cinétique , I = moment d'inertie , ω = vitesse angulaire
Gaz parfaits	${\ displaystyle pV \ equiv NT}$	p = pression, volume , T = température N = quantité de substance
Vagues	${\ displaystyle IAt \ equiv SAt}$	I = intensité de l' onde , S = vecteur de Poynting
Électromagnétique	${\ displaystyle q \ phi}$	q = charge électrique , ϕ = potentiel électrique (pour les changements, il s'agit de la tension )
	${\ displaystyle \ varepsilon E ^ {2} V \ equiv B ^ {2} V / \ mu}$	E = champ électrique , B = champ magnétique , ε = permittivité , μ = perméabilité , V = volume 3d
	${\ Displaystyle pE \ equiv mB \ equiv IAB}$	p = moment dipolaire électrique , m = moment magnétique, A = aire (délimitée par une boucle de courant), I = courant électrique en boucle

Momentum, p MLT −1	Expression	Nomenclature
Mécanique	${\ displaystyle mv \ equiv Ft}$	m = masse, v = vitesse, F = force, t = temps
	${\ Displaystyle S / r \ equiv L / r}$	S = action, L = moment cinétique, r = déplacement
Thermique	${\ displaystyle m {\ sqrt {\ left \ langle v ^ {2} \ right \ rangle}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ left \ langle v ^ {2} \ right \ rangle}}}$= vitesse quadratique moyenne , m = masse (d'une molécule)
Vagues	${\ displaystyle \ rho Vv}$	ρ = densité , V = volume , v = vitesse de phase
Électromagnétique	${\ displaystyle qA}$	A = potentiel vectoriel magnétique

Force, F MLT −2	Expression	Nomenclature
Mécanique	${\ displaystyle ma \ equiv p / t}$	m = masse, a = accélération
Thermique	${\ displaystyle T \ delta S / \ delta r}$	S = entropie, T = température, r = déplacement (voir force entropique )
Électromagnétique	${\ displaystyle Eq \ equiv Bqv}$	E = champ électrique, B = champ magnétique, v = vitesse, q = charge

Unités naturelles

Si c = ħ = 1 , où c est la vitesse de la lumière et ħ est la constante de Planck réduite , et qu'une unité d'énergie fixe appropriée est choisie, alors toutes les quantités de longueur L , de masse M et de temps T peuvent être exprimées (dimensionnellement) comme une puissance d'énergie E , car la longueur, la masse et le temps peuvent être exprimés en utilisant la vitesse v , l'action S et l'énergie E :

${\ displaystyle M = {\ frac {E} {v ^ {2}}}, \ quad L = {\ frac {Sv} {E}}, \ quad t = {\ frac {S} {E}}}$

bien que la vitesse et l'action soient sans dimension ( v = c = 1 et S = ħ = 1 ) - donc la seule quantité restante avec dimension est l'énergie. En termes de puissances de dimensions:

${\ displaystyle {\ mathsf {E}} ^ {n} = {\ mathsf {M}} ^ {p} {\ mathsf {L}} ^ {q} {\ mathsf {T}} ^ {r} = { \ mathsf {E}} ^ {pqr}}$

Ceci est particulièrement utile en physique des particules et en physique des hautes énergies, auquel cas l'unité d'énergie est l'électron volt (eV). Les vérifications dimensionnelles et les estimations deviennent très simples dans ce système.

Cependant, si des charges électriques et des courants sont impliqués, une autre unité à fixer est la charge électrique, normalement la charge électronique e bien que d'autres choix soient possibles.

Quantité	p , q , r puissances d'énergie			n puissance d'énergie
	p	q	r	n
Action, S	1	2	-1	0
Vitesse, v	0	1	-1	0
Masse, M	1	0	0	1
Longueur, L	0	1	0	-1
Temps, t	0	0	1	-1
Momentum, p	1	1	-1	1
Énergie, E	1	2	–2	1

Voir également

• Théorème de Buckingham π
• Nombres sans dimension en mécanique des fluides
• Estimation de Fermi - utilisée pour enseigner l'analyse dimensionnelle
• Méthode d'analyse dimensionnelle de Rayleigh
• Similitude (modèle) - une application de l'analyse dimensionnelle
• Système de mesure

Domaines mathématiques connexes

• Covariance et contravariance des vecteurs
• Algèbre extérieure
• Algèbre géométrique
• Calcul des quantités

Langages de programmation

L'exactitude dimensionnelle dans le cadre de la vérification de type a été étudiée depuis 1977. Des implémentations pour Ada et C ++ ont été décrites en 1985 et 1988. La thèse de Kennedy de 1996 décrit une implémentation en Standard ML , et plus tard en F # . La thèse 2019 de Griffioen a étendu le système de type Hindley – Milner de Kennedy pour prendre en charge les matrices de Hart.

Remarques

Les références

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Liens externes

• Liste des dimensions pour une variété de grandeurs physiques
• Calculatrice Web Unicalc Live effectuant la conversion d'unités par analyse dimensionnelle
• Une implémentation C ++ de l'analyse dimensionnelle à la compilation dans les bibliothèques open source Boost
• Théorème pi de Buckingham
• Calculateur de système de quantité pour la conversion des unités basée sur l'approche dimensionnelle
• Unités, quantités et constantes fondamentales des cartes d'analyse dimensionnelle du projet
• Bowley, Roger (2009). "[] Analyse dimensionnelle" . Soixante symboles . Brady Haran pour l' Université de Nottingham .
• Dureisseix, David (2019). Une introduction à l'analyse dimensionnelle (cours magistral). INSA Lyon.

Conversion d'unités

• Calculatrice Web Unicalc Live effectuant la conversion d'unités par analyse dimensionnelle
• Examen des compétences en mathématiques
• Tutoriel US EPA
• Une discussion des unités
• Petit guide des conversions d'unités
• Annulation de la leçon d'unités
• Chapitre 11: Comportement de la chimie des gaz : concepts et applications , district scolaire indépendant de Denton
• Conversions et formules de modélisation de la dispersion de l'air
• www.gnu.org/software/units programme gratuit, très pratique