Verseur - Versor

En mathématiques , un verseur est un quaternion de norme un (un quaternion d' unité ). Le mot est dérivé du latin versare = "tourner" avec le suffixe -ou formant un nom à partir du verbe (c'est-à-dire versor = "le tourneur"). Il a été introduit par William Rowan Hamilton dans le contexte de sa théorie des quaternions.

Chaque verseur a la forme

${\displaystyle q=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\quad \mathbf {r} ^{2}=-1,\quad a\in [0 ,\pi ],}$

où la condition r ² = −1 signifie que r est un quaternion vectoriel de longueur unitaire (ou que la première composante de r est nulle et que les trois dernières composantes de r sont un vecteur unitaire en 3 dimensions). La rotation tridimensionnelle correspondante a l'angle 2 a autour de l'axe r dans la représentation axe-angle . Dans le cas a = /2 , le verseur est appelé verseur droit .

Présentation sur les 3 et 2 sphères

arc AB + arc BC = arc AC

Hamilton a désigné le verseur d'un quaternion q par le symbole U q . Il a ensuite pu afficher le quaternion général sous forme de coordonnées polaires

q = T q U q ,

où T q est la norme de q . La norme d'un verseur est toujours égale à un ; ils occupent donc l'unité 3-sphère dans H . Des exemples de verseurs incluent les huit éléments du groupe quaternion . Les bons verseurs sont particulièrement importants , qui ont un angle π/2 . Ces verseurs ont une partie scalaire nulle, de même que les vecteurs de longueur un (vecteurs unitaires). Les verseurs de droite forment une sphère de racines carrées de -1 dans l'algèbre des quaternions. Les générateurs i , j et k sont des exemples de verseurs droits, ainsi que leurs inverses additifs . D'autres verseurs incluent les vingt-quatre quaternions de Hurwitz qui ont la norme 1 et forment les sommets d'un polychore à 24 cellules .

Hamilton a défini un quaternion comme le quotient de deux vecteurs. Un verseur peut être défini comme le quotient de deux vecteurs unitaires. Pour tout fixe plan Π le quotient de deux vecteurs unitaires se situant dans Π ne dépend que de l' angle (dirigé) entre eux, même un comme dans la représentation vectorielle de l' angle de l' unité d' un versor expliqué ci - dessus. C'est pourquoi il peut être naturel de comprendre les verseurs correspondants comme des arcs dirigés qui relient des paires de vecteurs unitaires et se situent sur un grand cercle formé par l'intersection de avec la sphère unité , où le plan passe par l'origine. Les arcs de même direction et longueur (ou, le même, son angle sous-tendu en radians ) sont équivalents , c'est-à-dire définissent le même verseur.

Un tel arc, bien que se situant dans l' espace tridimensionnel , ne représente pas une trajectoire d'un point tournant comme décrit avec le produit pris en sandwich avec le verseur. En effet, il représente l'action de multiplication à gauche du verseur sur les quaternions qui préserve le plan Π et le grand cercle correspondant de 3-vecteurs. La rotation tridimensionnelle définie par le verseur a l'angle deux fois l'angle sous-tendu de l'arc, et conserve le même plan. C'est une rotation autour du vecteur correspondant r , qui est perpendiculaire à .

Sur trois vecteurs unitaires, Hamilton écrit

${\displaystyle q=\beta :\alpha =OB:OA\ }$ et

${\displaystyle q'=\gamma :\beta =OC:OB}$

impliquer

${\displaystyle q'q=\gamma :\alpha =OC:OA.}$

La multiplication des quaternions de norme un correspond à l'"addition" (non commutative) des arcs de grand cercle sur la sphère unité. Toute paire de grands cercles est soit le même cercle, soit a deux points d'intersection . Par conséquent, on peut toujours déplacer le point B et le vecteur correspondant vers l'un de ces points de telle sorte que le début du deuxième arc soit le même que la fin du premier arc.

Une équation

${\displaystyle \exp(c\mathbf {r} )\exp(a\mathbf {s} )=\exp(b\mathbf {t} )\!}$

spécifie implicitement la représentation unitaire vecteur-angle pour le produit de deux versors. Sa solution est une instance de la formule générale de Campbell-Baker-Hausdorff dans la théorie des groupes de Lie . Comme la 3-sphère représentée par les verseurs dans est un groupe de Lie à 3 paramètres, la pratique des compositions de verseurs est une étape dans la théorie de Lie . Les verseurs sont évidemment l'image de l'application exponentielle appliquée à une boule de rayon dans le sous-espace quaternionique des vecteurs. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Les verseurs composent les arcs vectoriels susmentionnés, et Hamilton a qualifié cette opération de groupe de « somme des arcs », mais en tant que quaternions, ils se multiplient simplement.

La géométrie de l' espace elliptique a été décrite comme l'espace des verseurs.

Représentation de SO(3)

Le groupe orthogonal en trois dimensions, groupe de rotation SO(3) , est fréquemment interprété avec les verseurs via l' automorphisme interne où u est un verseur. En effet, si ${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$

${\displaystyle u=\exp(ar)}$et le vecteur s est perpendiculaire à r ,

alors

${\displaystyle u^{-1}su=s\cos 2a+sr\sin 2a}$

par calcul. Le plan est isomorphe à et l'automorphisme interne, par commutativité, se réduit à l'application d'identité là-bas. Puisque les quaternions peuvent être interprétés comme une algèbre à deux dimensions complexes, l' action de rotation peut également être vue à travers le groupe unitaire spécial SU(2) . ${\displaystyle \{x+yr:(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\}\subset H}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Pour un fixe r , versors de la forme exp ( a r ) où un  ∈  (-π, π] , forment un sous - groupe isomorphe au groupe de cercle . Les orbites de l'action de multiplication gauche de ce sous - groupe sont des fibres d'un faisceau de fibres au cours de la 2-sphère, connue sous le nom de fibration de Hopf dans le cas r  =  i ; d'autres vecteurs donnent des fibrations isomorphes, mais pas identiques. En 2003, David W. Lyons a écrit " les fibres de l'application de Hopf sont des cercles dans S ³ " (page 95). Lyons donne une introduction élémentaire aux quaternions pour élucider la fibration de Hopf en tant qu'application sur les quaternions unitaires.

Les verseurs ont été utilisés pour représenter les rotations de la sphère de Bloch avec la multiplication des quaternions.

Espace elliptique

La facilité des verseurs illustre la géométrie elliptique , en particulier l' espace elliptique , domaine tridimensionnel des rotations. Les verseurs sont les points de cet espace elliptique, bien qu'ils se réfèrent à des rotations dans l'espace euclidien à 4 dimensions . Étant donné deux verseurs fixes u et v , l' application est un mouvement elliptique . Si l'un des verseurs fixes est 1, alors le mouvement est une translation de Clifford de l'espace elliptique, du nom de William Kingdon Clifford qui était un partisan de l'espace. Une ligne elliptique passant par le verseur u est Le parallélisme dans l'espace est exprimé par les parallèles de Clifford . L'une des méthodes de visualisation de l'espace elliptique utilise la transformation de Cayley pour mapper les verseurs à${\displaystyle q\mapsto uqv}$${\displaystyle \{ue^{ar}:0\leq a<\pi \}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Verseur hyperbolique

Un verseur hyperbolique est une généralisation des verseurs quaternioniques à des groupes orthogonaux indéfinis , comme le groupe de Lorentz . Elle est définie comme une quantité de la forme

${\displaystyle \exp(ar)=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a}$ où ${\displaystyle \mathbf {r} ^{2}=+1.}$

De tels éléments apparaissent dans des algèbres de signature mixte , par exemple des nombres complexes scindés ou des quaternions scindés . C'est l'algèbre des tessarines découverte par James Cockle en 1848 qui a fourni les premiers verseurs hyperboliques. En fait, James Cockle a écrit l'équation ci-dessus (avec j à la place de r ) lorsqu'il a découvert que les tessarines incluaient le nouveau type d'élément imaginaire.

Ce verseur a été utilisé par Homersham Cox (1882/83) en relation avec la multiplication des quaternions. Le principal représentant des verseurs hyperboliques était Alexander Macfarlane alors qu'il travaillait à façonner la théorie des quaternions au service de la science physique. Il a vu le pouvoir de modélisation des verseurs hyperboliques fonctionnant sur le plan des nombres complexes divisés, et en 1891, il a introduit les quaternions hyperboliques pour étendre le concept à l'espace 4. Des problèmes dans cette algèbre ont conduit à l'utilisation de biquaternions après 1900. Dans une revue largement diffusée de 1899, Macfarlane a déclaré :

... la racine d'une équation quadratique peut être de nature versor ou scalaire. S'il est de nature versor, alors la partie affectée par le radical implique l'axe perpendiculaire au plan de référence, et il en est ainsi, que le radical implique la racine carrée de moins un ou non. Dans le premier cas, le verseur est circulaire, dans le second hyperbolique.

Aujourd'hui, le concept de groupe à un paramètre englobe les concepts de verseur et de verseur hyperbolique, la terminologie de Sophus Lie ayant remplacé celle d'Hamilton et de Macfarlane. En particulier, pour chaque r tel que rr = +1 ou rr = −1 , l'application amène la droite réelle à un groupe de verseurs hyperboliques ou ordinaires. Dans le cas ordinaire, lorsque r et − r sont des antipodes sur une sphère, les groupes à un paramètre ont les mêmes points mais sont dirigés de manière opposée. En physique, cet aspect de la symétrie de rotation est appelé un doublet . ${\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )}$

En 1911, Alfred Robb a publié sa Géométrie optique du mouvement dans laquelle il a identifié le paramètre de rapidité qui spécifie un changement de cadre de référence . Ce paramètre de rapidité correspond à la variable réelle dans un groupe à un paramètre de verseurs hyperboliques. Avec le développement ultérieur de la relativité restreinte, l'action d'un verseur hyperbolique fut appelée un boost de Lorentz .

La théorie du mensonge

Sophus Lie avait moins d'un an lorsque Hamilton a décrit pour la première fois les quaternions, mais le nom de Lie est devenu associé à tous les groupes générés par l'exponentiation. L'ensemble des verseurs avec leur multiplication a été noté Sl(1,q) par Robert Gilmore dans son texte sur la théorie de Lie. Sl(1,q) est le groupe linéaire spécial d'une dimension sur les quaternions, le "spécial" indiquant que tous les éléments sont de norme un. Le groupe est isomorphe à SU(2,c), un groupe unitaire spécial , une désignation fréquemment utilisée car les quaternions et les verseurs sont parfois considérés comme anachroniques pour la théorie des groupes. Le groupe orthogonal spécial SO(3,r) des rotations en trois dimensions est étroitement lié : c'est une image homomorphe 2:1 de SU(2,c).

Le sous - espace est appelé algèbre de Lie du groupe des verseurs. Le produit du commutateur double juste le produit croisé de deux vecteurs, forme la multiplication dans l'algèbre de Lie. La relation étroite avec SU(1,c) et SO(3,r) est évidente dans l'isomorphisme de leurs algèbres de Lie. ${\displaystyle \{xi+yj+zk:x,y,z\in R\}\sous-ensemble H}$${\displaystyle [u,v]=uv-vu\ ,}$

Les groupes de mensonges qui contiennent des verseurs hyperboliques incluent le groupe sur l' hyperbole unitaire et le groupe unitaire spécial SU(1,1) .

Voir également

• cis (mathématiques) ( cis( x ) = cos( x ) + i sin( x ) )
• Quaternions et rotation spatiale
• Rotations dans l'espace euclidien à 4 dimensions
• Tour (géométrie)

Remarques

Les références

• William Rowan Hamilton (1844 à 1850) On quaternions or a new system of imaginaries in algebra , Philosophical Magazine , lien vers la collection David R. Wilkins du Trinity College, Dublin .
• William Rowan Hamilton (1899) Elements of Quaternions , 2e édition, édité par Charles Jasper Joly, Longmans Green & Company. Voir p. 135-147.
• Arthur Sherburne Hardy (1887) Elements of Quaternions , pp. 71,2 "Representation of Versors by spherical arcs" et pp. 112-8 "Applications to Spherical Trigonometry".
• Arthur Stafford Hathaway (1896) A Primer on Quaternions , Chapter 2: Turns, Rotations, Arc Steps, from Project Gutenberg
• Cibelle Celestino Silva, Roberto de Andrade Martins (2002) "Vecteurs polaires et axiaux versus quaternions", American Journal of Physics 70:958. Section IV : Verseurs et vecteurs unitaires dans le système des quaternions. Section V : Verseur et vecteurs unitaires en algèbre vectorielle.
• Pieter Molenbroeck (1891) Theorie der Quaternionen , Seite 48, "Darstellung der Versoren mittelst Bogen auf der Einheitskugel", Leiden: Brill.

Liens externes

• Verseur à l' Encyclopédie des mathématiques .
• Tutoriel Luis Ibáñez Quaternion de la Bibliothèque nationale de médecine