Quasigroupe - Quasigroup

En mathématiques , en particulier en algèbre abstraite , un quasi-groupe est une structure algébrique ressemblant à un groupe dans le sens où la « division » est toujours possible. Les quasi-groupes diffèrent des groupes principalement en ce qu'ils ne sont pas nécessairement associatifs .

Un quasi-groupe avec un élément d'identité est appelé une boucle .

Structures algébriques
groupe -comme Grouper Semi-groupe  / Monoïde Rack et quandle Quasigroupe et boucle groupe abélien Magma Groupe de mensonges Théorie des groupes
Anneau- comme Anneau Rng Semiring Près de l'anneau Anneau commutatif Domaine intégral Champ Anneau de division Théorie des anneaux
Lattice -comme Treillis Semi-treillis Treillis complémentaire Commande totale Heyting algèbre Algèbre de Boole Carte des treillis Théorie des réseaux
Module- like Module Groupe avec opérateurs Espace vectoriel Algèbre linéaire
comme l' algèbre Algèbre Associatif Non associatif Algèbre de composition algèbre de mensonge Noté Bialgèbre
v t e

Définitions

Il existe au moins deux définitions formelles structurellement équivalentes du quasi-groupe. L'un définit un quasi-groupe comme un ensemble avec une opération binaire , et l'autre, à partir de l'algèbre universelle , définit un quasi-groupe comme ayant trois opérations primitives. L' image homomorphe d'un quasi-groupe défini avec une seule opération binaire, cependant, n'a pas besoin d'être un quasi-groupe. Commençons par la première définition.

Algèbre

A quasigroupe ( Q , *) est un non-vide série Q avec une opération binaire * (qui est, d' un magma , indiquant qu'un quasigoup doit satisfaire à la propriété de fermeture), obéissant à la propriété carré latin . Cela indique que, pour chaque a et b dans Q , il existe des éléments uniques x et y dans Q tels que les deux

a ∗ x = b ,

y ∗ a = b

prise. (En d'autres termes : chaque élément de l'ensemble apparaît exactement une fois dans chaque ligne et exactement une fois dans chaque colonne de la table de multiplication du quasigroupe, ou table de Cayley . Cette propriété garantit que la table de Cayley d'un quasigroupe fini, et en particulier, fini groupe, est un carré latin .) L'exigence d'unicité peut être remplacée par l'exigence que le magma soit annulatif .

Les solutions uniques de ces équations s'écrivent x = a \ b et y = b / a . Les opérations '\' et '/' sont appelées respectivement division gauche et division droite .

L' ensemble vide équipé de l' opération binaire vide satisfait cette définition d'un quasi-groupe. Certains auteurs acceptent le quasi-groupe vide mais d'autres l'excluent explicitement.

Algèbre universelle

Étant donné une certaine structure algébrique , une identité est une équation dans laquelle toutes les variables sont tacitement quantifiées universellement , et dans laquelle toutes les opérations sont parmi les opérations primitives propres à la structure. Les structures algébriques axiomatisées uniquement par des identités sont appelées variétés . De nombreux résultats standard en algèbre universelle ne sont valables que pour les variétés. Les quasi-groupes sont des variétés si les divisions gauche et droite sont considérées comme primitives.

Un quasigroupe ( Q , ∗, \, /) est une algèbre de type (2,2,2) (c'est-à-dire munie de trois opérations binaires) satisfaisant les identités :

y = x ( x \ y ),

y = x \ ( x * y ),

y = ( y / x ) x ,

y = ( y * x ) / x .

En d'autres termes : la multiplication et la division dans l'un ou l'autre ordre, l'une après l'autre, du même côté par le même élément, n'ont aucun effet net.

Donc si ( Q , ) est un quasi-groupe selon la première définition, alors ( Q , , \, /) est le même quasi-groupe au sens de l'algèbre universelle. Et vice versa : si ( Q , ∗, \, /) est un quasi-groupe au sens de l'algèbre universelle, alors ( Q , ) est un quasi-groupe selon la première définition.

Boucles

Une boucle est un quasi-groupe avec un élément d'identité ; c'est-à-dire un élément, e , tel que

x ∗ e = x et e ∗ x = x pour tout x dans Q .

Il s'ensuit que l'élément d'identité, e , est unique et que chaque élément de Q a des inverses gauche et droit uniques (qui n'ont pas besoin d'être les mêmes).

Un quasigroupe avec un élément idempotent est appelé un pique ("quasigroupe idempotent pointu"); c'est une notion plus faible qu'une boucle mais néanmoins courante car, par exemple, étant donné un groupe abélien , ( A , +) , prenant son opération de soustraction comme multiplication de quasigroupe donne un piqué ( A , −) avec l'identité de groupe (zéro) tourné en un « idempotent pointu ». (C'est-à-dire qu'il existe une isotopie principale ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

Une boucle associative est un groupe. Un groupe peut avoir un isotope pique non associatif, mais il ne peut pas avoir un isotope de boucle non associatif.

Il existe des propriétés d'associativité plus faibles qui ont reçu des noms spéciaux.

Par exemple, une boucle Bol est une boucle qui satisfait soit :

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z      pour chaque x , y et z dans Q (une boucle de Bol gauche ),

ou sinon

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) pour chaque x , y et z dans Q (une boucle de Bol droite ).

Une boucle qui est à la fois une boucle Bol gauche et droite est une boucle Moufang . Ceci est équivalent à l'une des seules identités Moufang suivantes valables pour tous les x , y , z :

x * ( y * ( x * z )) = (( x * y ) * x ) * z ,

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) x ,

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ), ou

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) x .

Symétries

Smith (2007) nomme les propriétés et sous-classes importantes suivantes :

Semisymétrie

Un quasigroupe est semi - symétrique si les identités équivalentes suivantes sont vérifiées :

x ∗ y = y / x ,

y ∗ x = x \ y ,

x = ( y ∗ x ) ∗ y ,

x = y ( x ∗ y ).

Bien que cette classe puisse sembler particulière, tout quasigroupe Q induit un quasigroupe semi-symétrique Q sur le cube produit direct Q ³ via l'opération suivante :

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},y_ {1}\barre oblique inverse x_{3},x_{1}*y_{2})=(x_{2}//y_{3},x_{3}\barre oblique inverse \barre oblique inverse y_{1},x_{1} *y_{2}),}$

où "//" et "\\" sont les opérations de division conjuguées données par et . ${\style d'affichage y//x=x/y}$${\displaystyle y\backslash \backslash x=x\backslash y}$

Trialité

Symétrie totale

Une classe plus étroite est un quasi-groupe totalement symétrique (parfois abrégé TS-quasigroupe ) dans lequel tous les conjugués coïncident en une seule opération : x ∗ y = x / y = x \ y . Une autre façon de définir (la même notion de) quasi-groupe totalement symétrique est comme un quasi-groupe semi-symétrique qui est également commutatif, c'est-à-dire x ∗ y = y ∗ x .

Les quasigroupes symétriques totaux idempotents sont précisément (c'est-à-dire dans une bijection avec) des triplets de Steiner , donc un tel quasigroupe est aussi appelé quasigroupe de Steiner , et parfois ce dernier est même abrégé en squag ; le terme sloop est défini de la même manière pour un quasi-groupe de Steiner qui est également une boucle. Sans idempotence, les quasigroupes symétriques totaux correspondent à la notion géométrique de triple de Steiner étendu , également appelée Courbe cubique elliptique généralisée (GECC).

Antisymétrie totale

A quasigroupe ( Q *) est appelée totalement anti-symétrique si pour tout c , x , y ∈ Q , à la fois des implications suivantes sont satisfaites :

1. ( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x implique que x = y
2. x ∗ y = y ∗ x implique que x = y .

Elle est dite faiblement totalement antisymétrique si seule la première implication est vraie.

Cette propriété est requise, par exemple, dans l' algorithme de Damm .

Exemples

• Chaque groupe est une boucle, en raison d' un * x = b si et seulement si x = a ^-1 * b , et y * a = b si et seulement si y = b * a ^-1 .
• Les entiers Z (ou les rationnels Q ou les réels R ) avec soustraction (−) forment un quasi-groupe. Ces quasiqgroupes ne sont pas des boucles car il n'y a pas d'élément d'identité (0 est une identité à droite car a − 0 = a , mais pas une identité à gauche car, en général, 0 − a ≠ a ).
• Les rationnels non nuls Q ^× (ou les réels non nuls R ^× ) de division (÷) forment un quasi-groupe.
• Tout espace vectoriel sur un champ de caractéristique non égale à 2 forme un quasigroupe idempotent , commutatif sous l' opération x ∗ y = ( x + y ) / 2 .
• Tout système triple de Steiner définit un quasigroupe idempotent , commutatif : a ∗ b est le troisième élément du triplet contenant a et b . Ces quasigroupes satisfont également ( x ∗ y ) ∗ y = x pour tout x et y dans le quasigroupe. Ces quasi-groupes sont connus sous le nom de quasi-groupes de Steiner .
• L'ensemble {±1, ±i, ±j, ±k} où ii = jj = kk = +1 et avec tous les autres produits comme dans le groupe des quaternions forme une boucle non associative d'ordre 8. Voir les quaternions hyperboliques pour son application. (Les quaternions hyperboliques eux-mêmes ne forment pas une boucle ou un quasi-groupe.)
• Les octonions non nuls forment une boucle non associative sous multiplication. Les octonions sont un type particulier de boucle connue sous le nom de boucle de Moufang .
• Un quasi-groupe associatif est soit vide, soit est un groupe, puisque s'il y a au moins un élément, l' inversibilité de l'opération binaire du quasi-groupe combinée à l'associativité implique l'existence d'un élément d'identité qui implique alors l'existence d'éléments inverses, satisfaisant ainsi les trois exigences d'un groupe.
• La construction suivante est due à Hans Zassenhaus . Sur l'ensemble sous-jacent de l' espace vectoriel à quatre dimensions F ⁴ sur le champ de Galois à 3 éléments F = Z /3 Z définir

( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ − y ₃ )( x ₁ y ₂ − x ₂ y ₁ )).

Alors, ( F ⁴ , ∗) est une boucle de Moufang commutative qui n'est pas un groupe.

• Plus généralement, les éléments non nuls de toute algèbre de division forment un quasi-groupe.

Propriétés

Dans la suite de l'article nous désignerons la multiplication de quasigroupe simplement par juxtaposition .

Les quasi-groupes ont la propriété d'annulation : si ab = ac , alors b = c . Cela découle de l'unicité de la division à gauche de ab ou ac par a . De même, si ba = ca , alors b = c .

La propriété du carré latin des quasigroupes implique que, étant donné deux des trois variables dans xy = z , la troisième variable est déterminée de manière unique.

Opérateurs de multiplication

La définition d'un quasigroupe peut être traitée comme des conditions sur les opérateurs de multiplication gauche et droit L _x , R _x : Q → Q , définis par

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\end{aligned}}}$

La définition dit que les deux mappages sont des bijections de Q à lui-même. Un magma Q est un quasi-groupe précisément lorsque tous ces opérateurs, pour tout x dans Q , sont bijectifs. Les mappages inverses sont la division gauche et droite, c'est-à-dire

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}^{-1}(y)&=x\backslash y\\R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aligned }}}$

Dans cette notation, les identités parmi les opérations de multiplication et de division du quasigroupe (indiquées dans la section sur l'algèbre universelle ) sont

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}L_{x}^{-1}&=1\qquad &{\text{correspondant à}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\ L_{x}^{-1}L_{x}&=1\qquad &{\text{correspondant à}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{ -1}&=1\qquad &{\text{correspondant à}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=1\qquad &{\ text{correspondant à}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}}$

où 1 désigne le mappage d'identité sur Q .

carrés latins

La table de multiplication d'un quasi-groupe fini est un carré latin : une table n × n remplie de n symboles différents de telle sorte que chaque symbole apparaît exactement une fois dans chaque ligne et exactement une fois dans chaque colonne.

Inversement, chaque carré latin peut être considéré comme la table de multiplication d'un quasi-groupe de plusieurs manières : la ligne de bordure (contenant les en-têtes de colonne) et la colonne de bordure (contenant les en-têtes de ligne) peuvent chacune être n'importe quelle permutation des éléments. Voir petits carrés latins et quasigroupes .

Quasigroupes infinis

Pour un quasigroupe Q dénombrable infini , il est possible d' imaginer un tableau infini dans lequel chaque ligne et chaque colonne correspond à un élément q de Q , et où l' élément a * b est dans la ligne correspondant à a et la colonne répondant à b . Dans cette situation également, la propriété Latin Square dit que chaque ligne et chaque colonne du tableau infini contiendra chaque valeur possible précisément une fois.

Pour un quasi-groupe indénombrable infini , tel que le groupe des nombres réels non nuls sous multiplication, la propriété du carré latin est toujours valable, bien que le nom soit quelque peu insatisfaisant, car il n'est pas possible de produire le tableau de combinaisons auquel l'idée ci-dessus de un tableau infini s'étend puisque les nombres réels ne peuvent pas tous être écrits dans une séquence . (Ceci est quelque peu trompeur cependant, car les réels peuvent être écrits dans une séquence de longueur , en supposant le théorème de bon ordre.) ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Propriétés inverses

L'opération binaire d'un quasigroupe est inversible en ce sens que les deux et , les opérateurs de multiplication gauche et droit , sont bijectifs, et donc inversibles . ${\style d'affichage L_{x}}$${\style d'affichage R_{x}}$

Chaque élément de boucle a un unique inverse gauche et droit donné par

${\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}$

${\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}$

Une boucle est dite avoir des inverses ( bilatéral ) si pour tout x . Dans ce cas, l'élément inverse est généralement noté . ${\displaystyle x^{\lambda }=x^{\rho }}$${\style d'affichage x^{-1}}$

Il existe des notions plus fortes d'inverses dans les boucles qui sont souvent utiles :

• Une boucle a la propriété inverse à gauche si pour tout et . Équivalent, ou .${\displaystyle x^{\lambda }(xy)=y}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\displaystyle L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}}$${\displaystyle x\backslash y=x^{\lambda }y}$
• Une boucle a la propriété inverse droite si pour tout et . Équivalent, ou .${\style d'affichage (yx)x^{\rho }=y}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\displaystyle R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}}$${\displaystyle y/x=yx^{\rho }}$
• Une boucle a la propriété inverse antiautomorphe if ou, de manière équivalente, if .${\displaystyle (xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }}$${\displaystyle (xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }}$
• Une boucle a la propriété inverse faible quand si et seulement si . Cela peut être exprimé en termes d'inverses via ou de manière équivalente .${\style d'affichage (xy)z=e}$${\style d'affichage x(yz)=e}$${\style d'affichage (xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }}$${\displaystyle x(yx)^{\rho }=y^{\rho }}$

Une boucle a la propriété inverse si elle a à la fois les propriétés inverses gauche et droite. Les boucles de propriétés inverses ont également les propriétés antiautomorphes et inverses faibles. En fait, toute boucle qui satisfait deux des quatre identités ci-dessus a la propriété inverse et satisfait donc les quatre.

Toute boucle qui satisfait les propriétés inverses gauche, droite ou anti-automorphe a automatiquement des inverses à deux côtés.

Morphismes

Un quasigroupe ou homomorphisme de boucle est une application f  : Q → P entre deux quasigroupes tels que f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Les homomorphismes de quasigroupe préservent nécessairement la division gauche et droite, ainsi que les éléments d'identité (s'ils existent).

Homotopie et isotopie

Soient Q et P des quasigroupes. Une homotopie de quasigroupe de Q dans P est un triplet (α, β, γ) d'applications de Q dans P telles que

${\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,}$

pour tout x , y dans Q . Un homomorphisme de quasigroupe est juste une homotopie pour laquelle les trois applications sont égales.

Une isotopie est une homotopie pour laquelle chacune des trois applications (α, β, γ) est une bijection . Deux quasigroupes sont isotopiques s'il existe une isotopie entre eux. En termes de carrés latins, une isotopie (α, β, γ) est donnée par une permutation des lignes α, une permutation des colonnes β et une permutation sur l'ensemble d'éléments sous-jacent γ.

Une autotopie est une isotopie d'un quasi-groupe à lui-même. L'ensemble de toutes les autotopies d'un quasi-groupe forme un groupe avec le groupe des automorphismes comme sous-groupe.

Chaque quasigroupe est isotopique à une boucle. Si une boucle est isotopique à un groupe, alors elle est isomorphe à ce groupe et est donc elle-même un groupe. Cependant, un quasi-groupe qui est isotopique à un groupe n'a pas besoin d'être un groupe. Par exemple, le quasigroupe sur R avec la multiplication donnée par ( x + y )/2 est isotopique au groupe additif ( R , +) , mais n'est pas lui-même un groupe. Chaque quasigroupe médial est isotopique à un groupe abélien par le théorème de Bruck-Toyoda .

Conjugaison (parastrophe)

Les divisions gauche et droite sont des exemples de formation d'un quasi-groupe en permutant les variables dans l'équation de définition. A partir de l'opération originale ∗ (c'est-à-dire x ∗ y = z ) nous pouvons former cinq nouvelles opérations : x o y  := y ∗ x (l' opération opposée ), / et \, et leurs opposés. Cela fait un total de six opérations de quasigroupe, qui sont appelées les conjugués ou les parastrophes de . Deux de ces opérations sont dites "conjuguées" ou "parastrophiques" l'une à l'autre (et à elles-mêmes).

Isostrophe (paratopie)

Si l'ensemble Q a deux opérations de quasigroupe, et ·, et que l'une d'elles est isotopique à un conjugué de l'autre, les opérations sont dites isostrophes l'une à l'autre. Il existe également de nombreux autres noms pour cette relation d'"isostrophe", par exemple, paratopie .

Généralisations

Quasigroupes polyadiques ou multiaires

Un n - aire quasigroupe est un ensemble avec un n opération -aire , ( Q , f ) avec f : Q ⁿ → Q , de telle sorte que l'équation f ( x ₁ , ..., x _n ) = y a une solution unique pour une variable si toutes les autres n variables sont spécifiées arbitrairement. Polyadique ou multiaire signifie n -aire pour un entier non négatif n .

Un quasigroupe 0-aire, ou nullaire , n'est qu'un élément constant de Q . Un quasigroupe 1-aire, ou unaire , est une bijection de Q à lui-même. Un quasi -groupe binaire ou 2-aire est un quasi-groupe ordinaire.

Un exemple de quasigroupe multiaire est une opération de groupe itérée, y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; il n'est pas nécessaire d'utiliser des parenthèses pour spécifier l'ordre des opérations car le groupe est associatif. On peut également former un quasi-groupe multiaire en effectuant n'importe quelle séquence d'opérations de groupe ou de quasi-groupe identiques ou différentes, si l'ordre des opérations est spécifié.

Il existe des quasi-groupes multiaires qui ne peuvent être représentés par aucune de ces manières. Un quasigroupe n -aire est irréductible si son opération ne peut être factorisée dans la composition de deux opérations de la manière suivante :

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{ j}),\,x_{j+1},\points ,x_{n}),}$

où 1 ≤ i < j ≤ n et ( i, j ) ≠ (1, n ) . Des quasigroupes n -aires irréductibles finis existent pour tout n > 2 ; voir Akivis et Goldberg (2001) pour plus de détails.

Un quasi-groupe n- aire avec une version n- aire de l' associativité est appelé un groupe n- aire .

Quasigroupes droit et gauche

Un quasi-groupe à droite ( Q , ∗, /) est une algèbre de type (2,2) satisfaisant les deux identités : y = ( y / x ) ∗ x ; y = ( y * x ) / x .

De même, un quasi-groupe à gauche ( Q , ∗, \) est une algèbre de type (2,2) satisfaisant les deux identités : y = x ∗ ( x \ y ) ; y = x \ ( x * y ).

Nombre de petits quasigroupes et de boucles

Le nombre de classes d'isomorphismes de petits quasigroupes (séquence A057991 dans l' OEIS ) et de boucles (séquence A057771 dans l' OEIS ) est donné ici :

Commander	Nombre de quasi-groupes	Nombre de boucles
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1 411	6
6	1 130 531	109
7	12.198.455.835	23 746
8	2 697 818 331 680 661	106 228 849
9	15 224 734 061 438 247 321 497	9.365.022.303.540
dix	2 750 892 211 809 150 446 995 735 533 513	20 890 436 195 945 769 617
11	19 464 657 391 668 924 966 791 023 043 937 578 299 025	1 478 157 455 158 044 452 849 321 016

Voir également

• Anneau de division - un anneau dans lequel chaque élément non nul a un inverse multiplicatif
• Semi-groupe - une structure algébrique constituée d'un ensemble avec une opération binaire associative
• Monoïde - un semi-groupe avec un élément d'identité
• Anneau ternaire planaire - a une structure de boucle additive et multiplicative
• Problèmes en théorie des boucles et théorie des quasigroupes
• Mathématiques du Sudoku

Remarques

Les références

• Akivis, MA ; Goldberg, Vladislav V. (2001). "Solution du problème de Belousov". Discussiones Mathematicae - Algèbre générale et applications . 21 (1) : 93-103. arXiv : math/0010175 . doi : 10.7151/dmgaa.1030 . S2CID  18421746 .
• Bruck, RH (1971) [1958]. Une enquête sur les systèmes binaires . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-03497-3.
• Chein, O.; Pflugfelder, HO; Smith, JDH, éd. (1990). Quasigroupes et boucles : théorie et applications . Berlin : Heldermann. ISBN 978-3-88538-008-5.
• Colbourn, Charles J. ; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (2e éd.), Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
• Dudek, WA ; Glazek, K. (2008). « Autour du théorème de Hosszu-Gluskin pour les groupes n-aires ». Mathématiques discrètes . 308 (21) : 4861-76. arXiv : math/0510185 . doi : 10.1016/j.disc.2007.09.005 . S2CID  9545943 .
• Pflugfelder, HO (1990). Quasigroupes et boucles : Introduction . Berlin : Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8.
• Smith, JDH (2007). Une introduction aux quasi-groupes et à leurs représentations . Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-537-5.
• Shcherbacov, Virginie (2017). Éléments de théorie du quasigroupe et applications . Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-4987-2155-4.

Liens externes

• quasi-groupes
• "Quasi-groupe" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]