Espace de couverture - Covering space

Une carte de recouvrement satisfait la condition de trivialité locale. Intuitivement, de telles cartes projettent localement une « pile de crêpes » au-dessus d'une région ouverte , U , sur U .

En mathématiques , en particulier en topologie algébrique , une carte de couverture (également une projection de couverture ) est une fonction continue d'un espace topologique à un espace topologique tel que chaque point a un voisinage ouvert uniformément couvert par (comme indiqué dans l'image). Dans ce cas, est appelé un espace de couverture et l' espace de base de la projection de couverture. La définition implique que chaque carte de recouvrement est un homéomorphisme local . ${\style d'affichage p}$ ${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$ ${\style d'affichage p}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X}$

Les espaces couvrants jouent un rôle important dans la théorie de l'homotopie , l'analyse harmonique , la géométrie riemannienne et la topologie différentielle . En géométrie riemannienne par exemple, la ramification est une généralisation de la notion de cartes couvrantes. Les espaces couvrants sont aussi profondément liés à l'étude des groupes d'homotopie et, en particulier, du groupe fondamental . Une application importante vient du résultat que, si est un espace topologique "suffisamment bon" , il existe une bijection entre la collection de toutes les classes d'isomorphisme des revêtements connexes de et les classes de conjugaison des sous - groupes du groupe fondamental de . ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Définition formelle

Soit un espace topologique . Un espace couvrant de est un espace topologique avec une carte surjective continue${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage C}$

${\displaystyle p\colon C\à X}$

tel que pour tout , il existe un voisinage ouvert de , tel que (la pré-image de under ) est une union d' ensembles ouverts disjoints dans , dont chacun est mappé homéomorphe sur par . ${\style d'affichage x\dans X}$ ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage p^{-1}(U)}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage p}$

De manière équivalente, un espace de couverture de peut être défini comme un faisceau de fibres avec des fibres discrètes. ${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle p\colon C\à X}$

La carte est appelée la carte de couverture , l'espace est souvent appelé l' espace de base de la couverture et l'espace est appelé l' espace total de la couverture. Pour tout point de la base l'image inverse de in est nécessairement un espace discret appelé la fibre sur .${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage x}$

Les quartiers ouverts spéciaux de données dans la définition sont appelés quartiers uniformément couverts . Les quartiers uniformément couverts forment une couverture ouverte de l'espace . Les copies homéomorphes d'un quartier uniformément couvert sont appelées les feuilles au- dessus . On décrit généralement comme "planant au-dessus" , avec une cartographie "vers le bas", les feuilles superposées étant empilées horizontalement les unes au-dessus des autres et au-dessus , et la fibre supérieure consistant en ces points qui se trouvent "verticalement au-dessus" . En particulier, les cartes de couverture sont localement triviales. Cela signifie que localement, chaque carte de recouvrement est « isomorphe » à une projection dans le sens où il existe un homéomorphisme, , à partir de la pré-image , d'un voisinage uniformément couvert , sur , où est la fibre, satisfaisant la condition de banalisation locale , qui énonce ce qui suit : si est la projection sur le premier facteur, alors la composition est égale localement (à l'intérieur de ).${\style d'affichage U}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage U}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage h}$${\style d'affichage p^{-1}(U)}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle U\fois F}$${\style d'affichage F}$${\displaystyle \pi \colon U\times F\to U}$${\displaystyle \pi \circ h:p^{-1}(U)\to U}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p^{-1}(U)}$

Définitions alternatives

De nombreux auteurs imposent des conditions de connectivité sur les espaces et dans la définition d'une carte de couverture. En particulier, de nombreux auteurs exigent que les deux espaces soient connectés au chemin et localement connectés au chemin . Cela peut s'avérer utile car de nombreux théorèmes ne sont valables que si les espaces en question ont ces propriétés. Certains auteurs omettent l'hypothèse de surjectivité, car si est connexe et est non vide alors la surjectivité de la carte de recouvrement découle en fait des autres axiomes. ${\style d'affichage X}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage C}$

Exemples

• Chaque espace se couvre trivialement.
• Un espace topologique connexe et localement connexe a une couverture universelle si et seulement s'il est semi-localement simplement connexe .${\style d'affichage X}$
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ est la couverture universelle du cercle ${\displaystyle S^{1}.}$
• Le groupe spin est une double couverture du groupe orthogonal spécial et une couverture universelle lorsque . Les isomorphismes accidentels ou exceptionnels pour les groupes de Lie donnent alors des isomorphismes entre les groupes de spins en basse dimension et les groupes de Lie classiques.${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\style d'affichage n>2}$
• Le groupe unitaire a une couverture universelle .${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\times \mathbb {R} }$
• La n-sphère est une double couverture de l'espace projectif réel et est une couverture universelle pour .${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle P_{n}(\mathbb {R} )}$${\style d'affichage n>1}$
• Chaque collecteur a un double couvercle orientable qui est connecté si et seulement si le collecteur est non orientable.
• Le théorème d'uniformisation affirme que chaque surface de Riemann a une couverture universelle conformement équivalente à la sphère de Riemann , le plan complexe ou le disque unité.
• La couverture universelle d'un coin de cercles est le graphe de Cayley du groupe libre sur les générateurs, c'est-à-dire un réseau de Bethe .${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$
• Le tore est un double couvercle de la bouteille de Klein . Ceci peut être vu en utilisant les polygones pour le tore et la bouteille de Klein, et en observant que la double couverture du cercle (encastrement dans l' envoi ).${\displaystyle S^{1}\to S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$
• Chaque graphique a une double couverture bipartite . Puisque chaque graphe est homotope à un coin de cercles, sa couverture universelle est un graphe de Cayley.
• Toute immersion d'une variété compacte à une variété de même dimension est un recouvrement de son image.
• Un autre outil efficace pour construire des espaces de couverture est l'utilisation de quotients par des actions de groupes finis libres.
• Par exemple, l'espace est défini par le quotient de (incorporé dans ) via l' action - . Cet espace, appelé espace de lentille , a un groupe fondamental et a une couverture universelle .${\displaystyle L_{p/q}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /q}$${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/q}z_{1},e^{2\pi ip/q}z_{2})}$${\displaystyle \mathbb {Z} /q}$${\displaystyle S^{3}}$
• La carte des schémas affines forme un espace de couverture avec pour ensemble des transformations de pont. Ceci est un exemple de couverture galoisienne cyclique .${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

Propriétés

Propriétés locales communes

• Chaque couverture est un homéomorphisme local ; c'est-à-dire que pour tout , il existe un voisinage de c et un voisinage de tels que la restriction de p à U donne un homéomorphisme de U à V . Cela implique que C et X partagent toutes les propriétés locales. Si X est simplement connexe et C est connexe, alors cela vaut aussi globalement, et le revêtement p est un homéomorphisme.${\displaystyle p\colon C\à X}$${\style d'affichage c\en C}$${\displaystyle U\subseteq C}$${\displaystyle V\subseteq X}$${\style d'affichage p(c)}$
• Si et couvrent des cartes, alors la carte donnée par .${\displaystyle p\colon E\à B}$${\displaystyle p'\colon E'\to B'}$${\displaystyle p\times p'\colon E\times E'\to B\times B'}$${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$

Homéomorphisme des fibres

Pour tout x dans X , la fibre sur x est un sous- ensemble discret de C . Sur chaque composante connexe de X , les fibres sont homéomorphes.

Si X est connexe, il existe un espace discret F tel que pour tout x dans X la fibre sur x est homéomorphe à F et, de plus, pour tout x dans X il existe un voisinage U de x tel que sa pré-image complète p ⁻¹ ( U ) est homéomorphe à U × F . En particulier, le cardinal de la fibre sur x est égal au cardinal de F et on l'appelle le degré de la couverture p  : C → X . Ainsi, si chaque fibre a n éléments, on parle d'un revêtement n fois (pour le cas n = 1 , le revêtement est trivial ; lorsque n = 2 , le revêtement est un double revêtement ; lorsque n = 3 , le revêtement est une triple couverture et ainsi de suite).

Propriétés de levage

Si p  : C → X est une couverture et γ est un chemin dans X (ie une application continue de l' intervalle unitaire [0, 1] dans X ) et c ∈ C est un point "supérieur" (0) (ie p ( c ) = γ(0)) , alors il existe un unique chemin Γ dans C s'étendant sur γ (ie p ∘ Γ = γ ) tel que Γ(0) = c . La courbe est appelée la portance de γ. Si x et y sont deux points de X reliés par un chemin, alors ce chemin fournit une bijection entre la fibre sur x et la fibre sur y via la propriété de levage.

Plus généralement, soit f  : Z → X une application continue sur X à partir d'un espace connexe et localement connexe Z . Fixer un point de base z ∈ Z , et choisir un point c ∈ C "couché sur" f ( z ) ( par exemple p ( c ) = f ( z ) ). Il existe alors une remontée de f (qui est, une application continue g  : Z → C pour lesquels p ∘ g = f et g ( z ) = c ) si et seulement si les homomorphismes induits f _#  : π ₁ ( Z , z ) → π ₁ ( X , f ( z )) et p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , f ( z )) au niveau des groupes fondamentaux satisfont

${\displaystyle f_{\#}(\pi _{1}(Z,z))\subset p_{\#}(\pi _{1}(C,c)).}$

( ♠ )

De plus, si une telle levée g de f existe, elle est unique.

En particulier, si l'espace Z est supposé être simplement connexe ( de sorte que π ₁ ( Z , Z ) est triviale), la condition (♠) est automatiquement vérifiée, et chaque carte continue à partir de Z à X peut être soulevé. Puisque l'intervalle unitaire [0, 1] est simplement connexe, la propriété de levage pour les chemins est un cas particulier de la propriété de levage pour les cartes indiquées ci-dessus.

Si p  : C → X est un revêtement et c ∈ C et x ∈ X sont tels que p ( c ) = x , alors p _# est injectif au niveau des groupes fondamentaux , et les homomorphismes induits p _#  : π _n ( C , c ) → π _n ( X , x ) sont des isomorphismes pour tout n 2 . Ces deux énoncés peuvent être déduits de la propriété de levage pour les applications continues. La surjectivité de p _# pour n 2 découle du fait que pour tous ces n , la n -sphère S ⁿ est simplement connexe et donc toute application continue de S ⁿ à X peut être élevée à C .

Équivalence

Soient p ₁  : C ₁ → X et p ₂  : C ₂ → X deux revêtements. On dit que les deux revêtements p ₁ et p ₂ sont équivalents s'il existe un homéomorphisme p ₂₁  : C ₂ → C ₁ et tel que p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ . Les classes d'équivalence de revêtements correspondent aux classes de conjugaison des sous-groupes du groupe fondamental de X , comme discuté ci-dessous. Si p ₂₁  : C ₂ → C ₁ est un revêtement (plutôt qu'un homéomorphisme) et p ₂ = p ₁ ∘ p ₂₁ , alors on dit que p ₂ domine p ₁ .

Recouvrement d'un collecteur

Puisque les revêtements sont des homéomorphismes locaux , un revêtement d'une n - variété topologique est une n- variété. (On peut prouver que l'espace couvrant est dénombrable en second du fait que le groupe fondamental d'une variété est toujours dénombrable .) Cependant, un espace couvert par une n- variété peut être une variété non Hausdorff . Un exemple est donné en prenant C le plan dont l'origine est supprimée et X l'espace quotient obtenu en identifiant chaque point ( x , y ) avec (2 x , y /2) . Si p  : C → X est l'application quotient alors c'est un revêtement puisque l'action de Z sur C engendrée par f ( x , y ) = (2 x , y /2) est proprement discontinue . Les points p (1, 0) et p (0, 1) n'ont pas de voisinages disjoints en X .

Tout espace couvrant d'une variété différentiable peut être équipé d'une structure différentiable (naturelle) qui transforme p (l'application couvrante en question) en un difféomorphisme local - une application de rang constant n .

Housses universelles

Un espace de recouvrement est un espace de recouvrement universel s'il est simplement connexe . Le nom couverture universelle vient de la propriété importante suivante : si l'application q : D → X est une couverture universelle de l'espace X et l'application p  : C → X est toute couverture de l'espace X où l'espace de couverture C est connexe, il existe une carte couvrant f  : D → C telle que p ∘ f = q . Cela peut être formulé comme

La couverture universelle (de l'espace X ) couvre toute couverture connectée (de l'espace X ).

L'application f est unique au sens suivant : si l'on fixe un point x dans l'espace X et un point d dans l'espace D avec q ( d ) = x et un point c dans l'espace C avec p ( c ) = x , alors il existe une carte de couverture unique , f  : D → C telle que p ∘ f = q et f ( d ) = c .

Si l'espace X a une couverture universelle alors cette couverture universelle est essentiellement unique : si les applications q ₁  : D ₁ → X et q ₂  : D ₂ → X sont deux couvertures universelles de l'espace X alors il existe un homéomorphisme f  : D ₁ → D ₂ de telle sorte que q ₂ ∘ f = q ₁ .

L'espace X a une couverture universelle s'il est connexe , connexe localement chemin et semi-localement simplement connexe . La couverture universelle de l'espace X peut être construite comme un certain espace de chemins dans l'espace X . Plus explicitement, il forme un fibré principal avec le groupe fondamental π ₁ ( X ) comme groupe structurel.

L'exemple R → S ¹ donné ci-dessus est une couverture universelle. L'application S ³ → SO(3) des quaternions unitaires aux rotations de l'espace 3D décrites en quaternions et rotation spatiale est également une couverture universelle.

Si l'espace porte une structure supplémentaire, alors sa couverture universelle hérite généralement de cette structure : ${\style d'affichage X}$

• Si l'espace est une variété , alors son enveloppe universelle D l'est aussi .${\style d'affichage X}$
• Si l'espace est une surface de Riemann , alors sa couverture universelle D , et est une application holomorphe .${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p}$
• Si l'espace est une variété riemannienne , alors sa couverture universelle l'est aussi, et est une isométrie locale .${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p}$
• Si l'espace est une variété lorentzienne , alors sa couverture universelle l'est aussi. De plus, supposons que le sous-ensemble p ⁻¹ ( U ) est une union disjointe d'ouverts dont chacun est difféomorphe avec U par l'application . Si l'espace contient une courbe temporelle fermée (CTC), alors l'espace est multiconnecté de manière temporelle (aucune CTC ne peut être homotope temporellement à un point, car ce point ne se comporterait pas causalement bien), sa couverture universelle (difféomorphe) est simplement temporelle connecté (il ne contient pas de CTC).${\style d'affichage X}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$
• Si X est un groupe de Lie (comme dans les deux exemples ci-dessus), alors sa couverture universelle D l'est aussi , et l'application p est un homomorphisme de groupes de Lie. Dans ce cas, la couverture universelle est également appelée groupe de couverture universelle . Cela a une application particulière à la théorie des représentations et à la mécanique quantique , puisque les représentations ordinaires du groupe de revêtement universel ( D ) sont des représentations projectives du groupe original (classique) ( X ).

La couverture universelle est apparue d'abord dans la théorie des fonctions analytiques comme domaine naturel d'une continuation analytique .

G-couvertures

Soit G un groupe discret agissant sur l' espace topologique X . Cela signifie que chaque élément g de G est associé à un homéomorphisme H _g de X sur lui-même, de sorte que H _{g h} est toujours égal à H _g H _h pour deux éléments g et h quelconques de G . (Ou en d'autres termes, une action de groupe du groupe G sur l'espace X n'est qu'un homomorphisme de groupe du groupe G dans le groupe Homeo( X ) des auto-homéomorphismes de X .) Il est naturel de se demander dans quelles conditions le projection de X vers l' espace orbital X / G est une carte de couverture. Ce n'est pas toujours vrai puisque l'action peut avoir des points fixes. Un exemple en est le groupe cyclique d'ordre 2 agissant sur un produit X × X par l'action de torsion où l'élément non identitaire agit par ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Ainsi l'étude de la relation entre les groupes fondamentaux de X et X / G n'est pas si simple.

Cependant, le groupe G agit sur le groupoïde fondamental de X , et donc l'étude est mieux gérée en considérant les groupes agissant sur les groupoïdes, et les groupoïdes d'orbite correspondants . La théorie pour cela est exposée dans le chapitre 11 du livre Topologie et groupoïdes mentionnés ci-dessous. Le résultat principal est que pour les actions discontinues d'un groupe G sur un espace de Hausdorff X qui admet une couverture universelle, alors le groupoïde fondamental de l'espace des orbites X / G est isomorphe au groupoïde des orbites du groupoïde fondamental de X , c'est-à-dire le quotient de ce groupoïde par l'action du groupe G . Cela conduit à des calculs explicites, par exemple du groupe fondamental du carré symétrique d'un espace.

Groupe de transformation de pont (couverture), couvertures régulières

Une transformation de couverture ou une transformation de pont ou un automorphisme d'une couverture est un homéomorphisme tel que . L'ensemble de toutes les transformations de deck de forme un groupe sous composition , le deck transformation group . Les transformations de deck sont aussi appelées transformations de couverture . Chaque transformation de pont permute les éléments de chaque fibre. Ceci définit une action de groupe du groupe de transformation de pont sur chaque fibre. Notez que par la propriété de levage unique, si n'est pas l'identité et est connecté au chemin, alors n'a pas de points fixes . ${\displaystyle p:C\to X}$ ${\displaystyle f:C\to C}$${\style d'affichage p\circ f=p}$${\style d'affichage p}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$${\style d'affichage f}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage f}$

Supposons maintenant que est une carte de couverture et (et donc aussi ) est connecté et localement chemin connecté. L'action de sur chaque fibre est libre . Si cette action est transitive sur certaines fibres, alors elle est transitive sur toutes les fibres, et nous appelons la couverture régulière (ou normale ou galoisienne ). Chacune de ces couvertures régulières est un faisceau principal , où est considéré comme un groupe topologique discret. ${\displaystyle p:C\to X}$${\style d'affichage C}$${\style d'affichage X}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$${\style d'affichage G}$${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

Chaque couverture universelle est régulière, le groupe de transformation de pont étant isomorphe au groupe fondamental .${\displaystyle p:D\to X}$ ${\style d'affichage \pi _{1}(X)}$

Comme autre exemple important, considérons le plan complexe et le plan complexe moins l'origine. Ensuite, la carte avec est une couverture régulière. Les transformations de pont sont des multiplications avec -ième racine de l'unité et le groupe de transformation de pont est donc isomorphe au groupe cyclique . De même, la carte avec est la couverture universelle. ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle p\colon \mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$${\style d'affichage p(z)=z^{n}}$${\style d'affichage n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}$${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

Action de monodromie

Supposons à nouveau une carte de couverture et C (et donc aussi X ) est connecté et localement chemin connecté. Si x est dans X et c appartient à la fibre sur x (c'est-à-dire, ) et est un chemin avec , alors ce chemin s'élève à un chemin unique dans C avec le point de départ c . Le point final de ce chemin soulevé n'a pas besoin d'être c , mais il doit se trouver dans la fibre sur x . Il s'avère que ce point final ne dépend que de la classe de γ dans le groupe fondamental π ₁ ( X , x ) . De cette façon, nous obtenons une action de groupe à droite de π ₁ ( X , x ) sur la fibre sur x . C'est ce qu'on appelle l' action de monodromie . ${\displaystyle p\colon C\à X}$${\style d'affichage p(c)=x}$${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to X}$${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=x}$

Il y a deux actions sur la fibre sur x  : Aut( p ) agit à gauche et π ₁ ( X , x ) agit à droite. Ces deux actions sont compatibles dans le sens suivant : pour tout f dans Aut( p ), c dans p ⁻¹ ( x ) et γ dans π ₁ ( X , x ) . ${\displaystyle f\cdot (c\cdot \gamma )=(f\cdot c)\cdot \gamma }$

Si p est une couverture universelle, puis Aut ( p ) peut être naturellement identifié avec le groupe opposé de π ₁ ( X , x ) de sorte que l'action de gauche du groupe opposé de tc ₁ ( X , x ) coïncide avec l'action Aut( p ) sur la fibre sur x . Notez que Aut ( p ) et π ₁ ( X , x ) sont naturellement isomorphe dans ce cas ( en tant que groupe est toujours naturellement isomorphe à son opposé par g ↦ g ^-1 ) .

Si p est un régulier couvercle, puis Aut ( p ) est naturellement isomorphe à un quotient de π ₁ ( X , x ) .

En général (pour les bons espaces), Aut( p ) est naturellement isomorphe au quotient du normalisateur de p _* ( π ₁ ( C , c )) dans π ₁ ( X , x ) sur p _* ( π ₁ ( C , c )) , où p ( c ) = x .

En savoir plus sur la structure du groupe

Soit p  : C → X une application de recouvrement où X et C sont tous les deux connectés par des chemins. Soit x ∈ X un point de base de X et soit c ∈ C une de ses pré-images dans C , soit p ( c ) = x . Il y a un morphisme induit des groupes fondamental p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , x ) qui est injective par la propriété de levage de revêtements. Spécifiquement si γ est une boucle fermée en c telle que p _# ([ γ ]) = 1 , c'est-à-dire que p ∘ γ est nul-homopique dans X , alors considérons une nulle-homotopie de p ∘ γ comme une application f  : D ² → X du disque 2- D ² à X de telle sorte que la restriction de f à la limite S ¹ de D ² est égale à p ∘ la y . Par la propriété de levage l'application f s'élève en une application continue g  : D ² → C telle que la restriction de g à la frontière S ¹ de D ² est égale à γ . Par conséquent, γ est nul, homotope en C , de sorte que le noyau de p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , x ) est trivial et donc p _#  : π ₁ ( C , c ) → π ₁ ( X , x ) est un homomorphisme injectif.

Par conséquent, π ₁ ( C , c ) est isomorphe au sous-groupe p _# ( π ₁ ( C , c )) de π ₁ ( X , x ) . Si c ₁ ∈ C est un autre pré-image de x dans C puis la sous - groupes p _# ( π ₁ ( C , c )) et p _# ( π ₁ ( C , C ₁ )) sont conjugués en π ₁ ( X , x ) par p -image d'une courbe en C reliant c à c ₁ . Ainsi , une carte couvrant p  : C → X définit une classe de conjugaison de sous - groupes de π ₁ ( X , x ) et on peut montrer que les couvertures équivalentes de X définissent la même classe de conjugaison de sous - groupes de π ₁ ( X , x ) .

Pour un revêtement p  : C → X le groupe p _# ( π ₁ ( C , c )) peut aussi être vu égal à

${\displaystyle \Gamma _{p}(c)=\{[\gamma ]:\gamma _{C}{\text{ est une courbe fermée en }}C{\text{ passant par }}c\en C \},}$

l'ensemble des classes d'homotopie de ces courbes fermées basées en x dont les relevés γ _C en C , partant de c , sont des courbes fermées en c . Si X et C sont connectés par le chemin, le degré de la couverture p (c'est-à-dire la cardinalité de toute fibre de p ) est égal à l' indice [ π ₁ ( X , x ) : p _# ( π ₁ ( C , c )) ] du sous - groupe p _# ( π ₁ ( C , c )) dans π ₁ ( X , x ) .

Un résultat clé de la théorie de l'espace couvrant dit que pour un espace X "suffisamment bon" (à savoir, si X est connecté à un chemin, localement connecté à un chemin et semi-localement simplement connecté ), il y a en fait une bijection entre les classes d'équivalence de chemin les couvertures connexes de X et les classes de conjugaison des sous-groupes du groupe fondamental π ₁ ( X , x ) . L'étape principale pour prouver ce résultat est d'établir l'existence d'une couverture universelle, c'est-à-dire une couverture correspondant au sous-groupe trivial de π ₁ ( X , x ) . Une fois que l'existence d'une couverture universelle C de X est établie, si H ≤ tc ₁ ( X , x ) est un sous - groupe quelconque, l'espace C / H est la couverture de X correspondant à H . Il faut aussi vérifier que deux couvertures de X correspondant au même (classe de conjugaison de) sous-groupe de π ₁ ( X , x ) sont équivalentes. Les complexes cellulaires connectés et les variétés connectées sont des exemples d'espaces « suffisamment bons ».

Soit N ( Γ _p ) le normalisateur de Γ _p dans π ₁ ( X , x ) . Le groupe de transformation de pont Aut( p ) est isomorphe au groupe quotient N (Γ _p )/Γ _p . Si p est un revêtement universel, alors Γ _p est le groupe trivial , et Aut( p ) est isomorphe à π ₁ ( X ).

Renversons cet argument. Soit N soit un sous - groupe de π ₁ ( X , x ) . Par les arguments ci-dessus, cela définit un revêtement (régulier) p  : C → X . Soit c ₁ dans C dans la fibre de x . Alors pour chaque autre c ₂ dans la fibre de x , il y a précisément une transformation de pont qui prend c ₁ à c ₂ . Cette transformation de pont correspond à une courbe g en C reliant c ₁ à c ₂ .

Relations avec les groupoïdes

L'une des façons d'exprimer le contenu algébrique de la théorie des espaces couvrants est d'utiliser les groupoïdes et le groupoïde fondamental . Ce dernier foncteur donne une équivalence de catégories

${\displaystyle \pi _{1}:\operatorname {TopCov} (X)\to \operatorname {GpdCov} (\pi _{1}X)}$

entre la catégorie des espaces couvrants d'un espace raisonnablement agréable X et la catégorie des morphismes couvrants groupoïdes de π ₁ ( X ). Ainsi un type particulier de carte d'espaces est bien modélisé par un type particulier de morphisme de groupoïdes. La catégorie des morphismes de revêtement d'un groupoïde G est également équivalente à la catégorie des actions de G sur des ensembles, ce qui permet de retrouver des classifications plus traditionnelles des revêtements.

Relations avec les espaces classifiants et cohomologie de groupe

Si X est un complexe cellulaire connexe avec des groupes d'homotopie π _n ( X ) = 0 pour tout n 2 , alors l'espace de recouvrement universel T de X est contractile, comme suit en appliquant le théorème de Whitehead à T . Dans ce cas X est un espace de classement ou K ( G , 1) pour G = π ₁ ( X ) .

En outre, pour chaque n ≥ 0 le groupe de cellules n chaînes a C _n ( T ) (qui est, d' un groupe abélien libre de base donnée par n cellules ß en T ) comporte également un normal Z G - module de structure. Ici pour une n- cellule σ dans T et pour g dans G la cellule g σ est exactement la translation de σ par une transformation couvrante de T correspondant à g . En outre, C _n ( T ) est un libre Z G -module libre avec Z G -basis donnée par les représentants de G -orbits de n cellules ß en T . Dans ce cas, le complexe de chaîne topologique standard

${\displaystyle \cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{n}(T){\overset {\partial }{\to }}C_{n-1}(T){\overset {\ partiel }{\à }}\cdots {\overset {\partial }{\to }}C_{0}(T){\overset {\varepsilon }{\to }}\mathbf {Z} ,}$

où ε est l'application d' augmentation , est une Z G -résolution libre de Z (où Z est équipé de la structure triviale Z G -module, gm = m pour chaque g ∈ G et chaque m ∈ Z ). Cette résolution peut être utilisée pour calculer la cohomologie de groupe de G avec des coefficients arbitraires.

La méthode de Graham Ellis pour le calcul des résolutions de groupe et d'autres aspects de l'algèbre homologique, comme le montre son article dans J. Symbolic Comp. et sa page web listée ci-dessous, est de construire une couverture universelle d'une prospective K ( G , 1) inductivement en même temps qu'une homotopie contractante de cette couverture universelle. C'est ce dernier qui donne la méthode de calcul.

Généralisations

En tant que théorie d'homotopie, la notion d'espaces couvrants fonctionne bien lorsque le groupe de transformation de pont est discret, ou, de manière équivalente, lorsque l'espace est localement connecté au chemin . Cependant, lorsque le groupe de transformation de pont est un groupe topologique dont la topologie n'est pas discrète , des difficultés surviennent. Des progrès ont été faits pour des espaces plus complexes, comme la boucle d'oreille hawaïenne ; voir les références pour plus d'informations.

Un certain nombre de ces difficultés sont résolues avec la notion de semi - couverture due à Jeremy Brazas, voir l'article cité ci-dessous. Chaque carte de recouvrement est une semi-revêtement, mais les semi-revêtements satisfont à la règle du « 2 sur 3 » : étant donné une composition h = fg de cartes d'espaces, si deux des cartes sont des semi-revêtements, la troisième l'est également. Cette règle ne s'applique pas aux revêtements, car la composition des cartes de revêtement n'a pas besoin d'être une carte de revêtement.

Une autre généralisation concerne les actions d'un groupe qui ne sont pas libres. Ross Geoghegan dans sa revue de 1986 ( MR 0760769 ) de deux articles de MA Armstrong sur les groupes fondamentaux d' espaces d'orbite a écrit : genre de matériel de base qui aurait dû figurer dans les manuels standard sur les groupes fondamentaux au cours des cinquante dernières années. » À l'heure actuelle, "Topologie et groupoïdes" répertoriés ci-dessous semble être le seul texte de topologie de base à couvrir de tels résultats.

Applications

Le verrouillage du cardan se produit car toute carte T ³ → RP ³ n'est pas une carte de couverture. En particulier, la carte correspondante comporte un élément quelconque de T ³ , qui est un triple (a, b, c) des angles (nombres réels mod 2 ordonné π ), la composition des trois axes de coordonnées rotations R _x (a) ∘R _y (b)∘R _z (c) par ces angles, respectivement. Chacune de ces rotations, et leur composition, est un élément du groupe de rotation SO (3), qui est topologiquement RP ³ . Cette animation montre un ensemble de trois cardans montés ensemble pour permettre trois degrés de liberté. Lorsque les trois nacelles sont alignées (dans le même plan), le système ne peut se déplacer que dans deux dimensions à partir de cette configuration, pas trois, et est en verrouillage de nacelle . Dans ce cas, il peut tanguer ou lacet, mais pas rouler (tourner dans le plan dans lequel se trouvent tous les axes).

Une application pratique importante de la couverture des espaces apparaît dans les graphiques sur SO(3) , le groupe de rotation . Ce groupe se produit largement dans l'ingénierie, en raison des rotations tridimensionnelles largement utilisées dans la navigation , l' ingénierie nautique et l'ingénierie aérospatiale , parmi de nombreuses autres utilisations. Topologiquement, SO(3) est l' espace projectif réel RP ³ , de groupe fondamental Z /2, et seul (non trivial) couvrant l'espace l'hypersphère S ³ , qui est le groupe Spin(3) , et représenté par les quaternions unitaires . Ainsi, les quaternions sont une méthode préférée pour représenter les rotations spatiales - voir quaternions et rotation spatiale .

Cependant, il est souvent souhaitable de représenter les rotations par un ensemble de trois nombres, appelés angles d'Euler (dans de nombreuses variantes), à la fois parce que c'est conceptuellement plus simple pour quelqu'un qui connaît la rotation planaire, et parce que l'on peut construire une combinaison de trois cardans pour produire des rotations en trois dimensions. Topologiquement cela correspond à une carte du 3-tore T ³ de trois angles à l'espace projectif réel RP ³ des rotations, et la carte résultante présente des imperfections dues au fait que cette carte ne peut pas être une carte de couverture. Plus précisément, l'échec de la carte à être un homéomorphisme local à certains points est appelé verrouillage du cardan , et est démontré dans l'animation à droite - à certains points (lorsque les axes sont coplanaires) le rang de la carte est 2, plutôt que 3, ce qui signifie que seules 2 dimensions de rotations peuvent être réalisées à partir de ce point en changeant les angles. Ceci pose des problèmes dans les applications, et est formalisé par la notion d'espace de recouvrement.

Voir également

• Le réseau de Bethe est la couverture universelle d'un graphique de Cayley
• Graphe de couverture , un espace de couverture pour un graphe non orienté , et son cas particulier la double couverture bipartite
• Groupe de couverture
• Connexion Galois
• Espace quotient (topologie)

Remarques

Les références

• Brown, Ronald (2006). Topologie et groupoïdes . Charleston, Caroline du Sud : Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8. Voir chapitre 10.
• Chernavskii, AV (2001) [1994], "Couvrant" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Farkas, Hershel M. ; Kra, Irwin (1980). Surfaces de Riemann (2e éd.). New York : Springer. ISBN 0-387-90465-4. Voir le chapitre 1 pour un examen simple.
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• Higgins, Philip J. (1971). Notes sur les catégories et les groupoïdes . Etudes Mathématiques. 32 . Londres-New York-Melbourne : Van Nostrand Reinhold. MR  0327946 .
• Jost, Jürgen (2002). Surfaces compactes de Riemann . New York : Springer. ISBN 3-540-43299-X. Voir la section 1.3
• Massey, Guillaume (1991). Un cours de base en topologie algébrique . New York : Springer. ISBN 0-387-97430-X. Voir chapitre 5.
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